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[考研类试卷]考研数学三(线性代数)模拟试卷95及答案与解析.doc

1、考研数学三(线性代数)模拟试卷 95 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 A 和 B 都是 n 阶矩阵给出下列条件 A 是数量矩阵 A 和 B 都可逆 (A+B)2=A2+2AB+B2 AB=cE (AB) 2=A2B2 则其中可推出 AB=BA 的有( )(A)(B) (C) (D)2 1,2, r,线性无关 ( )(A)存在全为零的实数 k1,k 2,k r,使得 k11+k22+krr=0(B)存在不全为零的实数 k1,k 2,k r,使得 k11+k21+krr0(C)每个 i 都不能用其他向量线性表示(D)有线性无关的部分组3 设 A 是 4

2、5 矩阵, 1,2,3,4,5 是 A 的列向量组,r( 1,2,3,4,5)=3,则( )正确。(A)A 的任何 3 个行向量都线性无关(B) 1,2,3,4,5 的一个含有 3 个向量的部分组(I)如果与 1,2,3,4,5 等价则一定是 1,2,3,4,5 的最大无关组(C) A 的 3 阶子式都不为 0(D) 1,2,3,4,5 的线性相关的部分组含有向量个数一定大于 34 设 1,2, , s 是 n 维向量组,r( 1,2, s)=r,则( ) 不正确(A)如果 r=n,则任何 n 维阳量都可用 1,2, s 线性表示(B)如果任何 n 维向量都可用 1,2, s 线性表示,则 r

3、=n(C)如果 r=s,则任何 n 维向量都可用 1,2, s 唯一线性表示(D)如果 rn,则存在 n 维向量不能用 1,2, s 线性表示5 n 维向量组(I) 1,2, r 可以用 n 维向量组() 12, s 线性表示(A)如果(I)线性无关,则 rs(B)如果 (I)线性相关,则 rs(C)如果 ()线性无关,则 rs(D)如果() 线性相关,则 rs6 已知 n 维向量组 1,2, s 线性无关,则 n 维向量组 12, s 也线性无关的充分必要条件为(A) 1,2, , s 可用 12, s 线性表示(B) 12, , s 可用 1,2, s 线性表示(C) 1,2, s 与 1

4、2, s 等价(D)矩阵( 1,2, s)和( 12, s)等价7 设 A 是 mn 矩阵,B 是 nm 矩阵,则( )(A)当 mn 时,AB0(B)当 mn 时,AB=0(C)当 nm 时,AB0(D)当 nm 时,AB=08 A 是 mn 矩阵, B 都 nm 矩阵AB 可逆,则(A)r(A)=m,r(B)=m (B) r(A)=m,r(B)=n (C) r(A)=n,r(B)=m (D)r(A)=n,r(B)=n 9 n 阶矩阵 的秩为 n 一 1,则 a=( )(A)1(B) 1(1 一 n)(C)一 1(D)1(n 一 1)二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 A

5、,B 都是凡阶矩阵,并且 B 和 E+AB 都可逆,证明: B(E+AB)一 1B 一 1=E 一B(E+AB)一 1A11 设 A,B 都是对称矩阵,并且 E+AB 可逆,证明(E+AB) 一 1A 是对称矩阵12 设 A,B 都是 n 阶矩阵,使得 A+B 可逆,证明 B(A+B)一 1A=A(A+B)一 1B13 设 A,B 都是 n 阶矩阵,并且 A 是可逆矩阵证明:矩阵方程 AX=B 和 XA=B的解相同 AB=BA14 设 求与 A 乘积可交换的所有矩阵15 (I)设 A 是对角矩阵,并且对角线上元素两两不相等证明和 A 乘积可交换的一定是对角矩阵(2)n 阶矩阵 C 如果和任何

6、n 阶矩阵乘积可交换,则 C 必是数量矩阵16 设 1, 2, , s 是一个 n 维向量组, 和 也都是 n 维向量判断下列命题的正确性 如果 , 都可用 1, 2, s 线性表示,则 + 也可用1, 2, s 线性表示 如果 , 都不可用 1, 2, s 线性表示,则+ 也不可用 1, 2, s 线性表示 如果 可用 1, 2, s 线性表示,而 不可用 1, 2, s 线性表示,则 + 可用 1, 2, s 线性表示 如果 可用 1, 2, s 线性表示,而 不可用 1, 2, s 线性表示,则+ 不可用 1, 2, s 线性表示17 设 AB=C,证明:(1)如果 B 是可逆矩阵,则

7、A 的列向量和 C 的列向量组等价(2)如果 A 是可逆矩阵,则 B 的行向量组和 C 的行向量组等价18 (1)如果矩阵 A 用初等列变换化为 B,则 A 的列向量组和 B 的列向量组等价(2)如果矩阵 A 用初等行变换化为 B,则 A 的行向量组和 B 的行向量组等价19 设 1=(2, 1,2,3) T, 2=(一 1,1,5,3) T, 3=(0,一 1,一 4,一 3)T, 4=(1,0,一 2,一 1)T, 5=(1,2,9,8) T求 r(1,2,3,4,5),找出一个最大无关组20 设 1,2,3,4 都是 n 维向量判断下列命题是否成立 如果 1, 2, 3 线性无关, 4

8、不能用 1,2,3 线性表示,则 1,2,3,4 线性无关 如果 1, 2 线性无关, 3,4 都不能用 1,2 线性表示,则 1,2,3,4 线性无关 如果存在 n 阶矩阵A,使得 A1,A2,A3,A4 线性无关,则 1,2,3,4 线性无关 如果1=A1, 2=A2, 3=A3, 4=A4,其中 A 可逆, 1, 2, 3, 4 线性无关,则1,2,3,4 线性无关 其中成立的为21 设 1=(1,一 1,2,4), 2=(0,3,1,2) , 3=(3,0,7,14), 4=(1,一2,2,0) , 5= (2,1,5,1 0) 求 r(1,2,3,4,5) 求一个最大线性无关组,并且

9、把其余向量用它线性表示22 设 1,2,3,4,5 它们的下列部分组中,是最大无关组的有哪几个? (1) 1, 2, 3 (2)1, 2, 4 (3)1, 2, 5 (4)1, 3, 423 已知 r(1,2, s)=r(1,2, s,)=k,r( 1,2, s, ,)=k+1 ,求r(1,2, s, 一 )24 设 已知 r(A*)+r(A)=3,求 a, b 应该满足的关系25 已知 求 r(AB 一 A)26 3 阶矩阵 已知 r(AB)小于 r(A)和 r(B),求 a,b 和 r(AB)27 设 , 都是 3 维列向量,A= T+T证明 (1)r(A)2 (2)如果 , 线性相关,则

10、 r(A)28 设 1=(1, 0,2,3) T, 2=(1,1,3,5) T, 3=(1,一 1,a+2,1)T, 4=(1,2,4,a+8) T, =(1,1,b+3,5) T问: (1)a,b 为什么数时, 不能用1,2,3,4 表示 ? (2)a,b 为什么数时, 可用 1,2,3,4 表示,并且表示方式唯一?29 给定向量组(I) 1=(1,0,2) T, 2=(1,1,3) T, 3=(1,一 1,a+2) T 和()1=(1,2,a+3) T, 2=(2,1,a+b) T, 3=(2,1,a+4) T当 a 为何值时(I) 和()等价?a 为何值时(I)和( )不等价?30 求常

11、数 a,使得向量组 1=(1,1,a) T, 2=(1,a ,1) T, 3=(a,1,1) T 可由向量组 1=(1,1,a) T, 2=(一 2,a ,4) T, 3=(一 2,a,a)T 线性表示,但是 1, 2, 3 不可用 1,2,3 线性表示.考研数学三(线性代数)模拟试卷 95 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 和 的成立是明显的 是不对的,如则 AB=cE,在c0 时可推出 AB=BA,但是 c=0 时则推不出 AB=BA如则 (AB)2=A2B2 推不出AB=BA对于中的 A 和 B,(AB)2 和 A2

12、B2 都是零矩阵,但是 ABBA【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 (A) 不对,当 k1=k2=kr,=0 时,对任何向量组1, 2,k 11+k22+krr=0 都成立 (B)不对, 1,2, r 线性相天时,也存在不全为零的实数 k1,k 2,k 11+k22+krr0; (C) 就是线性无关的意义 (D)不对,线性相关的向量组也可能有线性无关的部分组【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 r( 1,2,3,4,5)=3,说明 1,2,3,4,5 的一个部分组如果包含向量超过 3 个就一定相关,但是相关不一定包含向量超过 3 个D 不对r( 1,2,3

13、,4,5)=3,则 A 的行向量组的秩也是 3,因此存在 3 个行向量线悱无父,但是不是任何3 个行向量都线性无关排除 AA 的秩也是 3,因此有 3 阶非零子式,但是并非每个 3 阶子式都不为 0,C 也不对下面说明 B 对 (I)与 1,2,3,4,5 等价,则(I)的秩=r( 1,2,3,4,5)=3=(I)中向量的个数,于是(I)线性无关,由定义(I) 是最大无关组【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 利用“用秩判断线性表示”的有关性质 当 r=n 时,任何 n 维向量添加进 1,2, s 时,秩不可能增大,从而 (A)正确 如果 B 的条件成立,则任何 n 维向量组

14、 12, t 都可用 1,2, s 线性表示,从而 r(12, t)r(1,2, s)如果取 12, n 是一个 n 阶可逆矩阵的列向量组,则得n=r(12, n)r(1,2, s)n,从而 r(1,2, s)=n,B 正确 D 是B 的逆否命题,也正确 由排除法,得选项应该为 C下面分析为什么 C 不正确 r=s 只能说明 1,2, s 线性无关,如果 rn ,则用 B 的逆否命题知道存在 n 维向量不可用 1,2, s 线性表示,因此 C 不正确【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 C 和 D 容易排除,因为()的相关性显然不能决定 r 和 s 的大小关系的A 是定理 3

15、8 的推论的逆否命题根据该推论,当向量组 (I)可以用()线性表示时,如果 rs ,则(I)线性相关因此现在(I)线性无关,一定有 rsB 则是这个推论的逆命题,是不成立的也可用向量组秩的性质(定理 38)来说明 A 的正确性:由于(I)可以用( )线性表示,有r(I)r()s又因为(I)线性无关,所以 r(I)=r于是 rs【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 从条件 A 可推出 12, s 的秩不小于 1,2, s 的秩12, , s 线性无关即 A 是充分条件,但它不是必要条件条件 C 也是充分条件,不是必要条件条件 B 既非充分的,又非必要的两个矩阵等价就是它们类型相

16、同,并且秩相等现在( 1,2, s)和( 12, s)都是 ns 矩阵,(1,2, s)的秩为 s,于是 12, s 线性无关(即矩阵( 12, s)的秩也为 s) (1,2, s)和( 12, s)等价【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 本题考察 AB 的行列式AB,而条件显然是不能用来计算AB而利用方阵“可逆 满秩”,转化为“r(AB)是否=AB 的阶数 m”的判断则是可行的有不等式 r(AB)minr(A),r(B)minm,n如果 mn,则r(AB)minr(A),r(B)minm,n=nm 于是 r(AB)m,从而 AB 不可逆,AB=0因此 (B)成立(如果 m

17、n,r(AB)minr(A),F(B)minm ,n=m不能断定 r(AB)与 m 的关系,C,D 都不一定成立)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 A【试题解析】 AB 是 m 阶矩阵,AB 可逆,则 m=r(AB)r(A)m,得 r(A)=m同理得 r(B)=m【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 对此等式进行恒等变形:B(E+AB) 一 1B 一 1=EB(E+AB)一1A B(E+AB)一 1=BB(E+AB)一 1AB (用 B 右乘等式两边) B(E+AB)一 1+B(E+AB)一

18、1AB=B B(E+AB)一 1(E+AB)=B最后的等式显然成立【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 (E+AB) 一 1A 对称,就是(E+AB) 一 1AT=(E+AB)一 1A(E+AB) 一1AT=A(E+AB)一 1T=A(E+AB)T一 1=A(E+BA)一 1于是要证明的是(E+AB) 一1A=A(E+BA)一 1对此式作恒等变形: (E+AB)一 1A=A(E+BA)一 1 A=(E+AB)A(E+BA)一 1(用 E+AB 左乘等式两边) A(E+BA)=(E+AB)A(用 E+BA 右乘等式两边)等式 A(E+BA)=(E+AB)A显然成立,于是(E+AB) 一 1A

19、=A(E+BA)一 1 成立【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 两边都加 A(A+B)一 1A 后,都等于 A: B(A+B) 一 1A+A(A+B)一1A=(B+A)(A+B)一 1A=A A(A+B) 一 1B+A(A+B)一 1A=A(A+B)一 1(B+A)=A 因此B(A+B)一 1A=A(A+B)一 1B【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 AX=B 的解为 A 一 1B,XA=B 的解为 BA 一 1AX=B 和 XA=B 的解相同即 A 一 1B=BA 一 1作恒等变形:A 一 1B=BA 一 1 B=ABA 一 1 BA=AB【知识模块】 线性代数14 【正确答案】

20、 与 A 乘积可交换的矩阵一定是 2 阶矩阵设 则AX=XA 即:ax1+x3=ax1+x2,ax 2+x4=x1,x 1=ax3+x4x 2=x3,整理得 x1,x 2,x 3,x 4 的齐次线性方程组 解得通解为 c 1(a,1,1,0) T+c2(1,0,0,1) T,c 1,c 2 任意则与 A 乘积可交换的矩阵的一般形式为 c1A+c2E,c 1,c 2 任意【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 (1)设 B 和 A 乘积可交换,要证明 B 是对角矩阵,即要说明 B 的对角线外的元素 bij(ij)都为 0设 A 的对角线元素为 1, 2, n 则 Ab 的(i ,j)位元素为

21、ibij 而 BA 的(i,j)位元素为 jbij因为 AB=BA,得 ibij=jbij因为ij,所以 bij=0 (2) 先说明 C 一定是对角矩阵由于 C 与对角线上元素两两不相等的 n 阶对角矩阵乘积可交换,由(1)的结论得出 C 是对角矩阵 再说明 C 的对角线元素 c11, c22,c nn 都相等 构造 n 阶矩阵 A,使得其(i,j)位元素为1,ij CA 的(i ,j)位元素为 cii,AC 的(i,j)位元素为 cjj于是 cii=cjj这里的i,j 是任意的,从而 c11=c22=cnn【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 正确的是和 ,和都不对 显然 不对,可用一个

22、反例说明 取 不可用 1, 2, s 线性表示, =一 ,则 也不可用1, 2, s 线性表示,但是 +=0,可用 1, 2, s 线性表示 用反证法说明不对对如果 + 可朋 1, 2, s 线性表示,则因为 可用1, 2, s 线性表示,所以 =(+)一 ;也可刚 1, 2, s 线性表示,与条件矛盾【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 (1)由上面的说明,C 的列向量组可以用 A 的列向量组线性表示当 B 是可逆矩阵时,有 CB 一 1=A,于是 A 的列向量组又可以用 C 的列向量组线性表示 (2)C 的行向量组可以用 B 的行向量组线性表示当 A 是可逆矩阵时,A 一 1C=B,于

23、是 B 的行向量组又可以用的 C 的行向量组线性表示【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (1)利用初等变换与初等矩阵的关系,当矩阵 A 用初等列变换化为曰时,存在一系列初等矩阵 P1,P 2,P s,使得 AP1P2Ps=B 由于 P1P2Ps 是可逆矩阵,A 的列向量组和 B 的列向量组等价 (2)当矩阵 A 用初等行变换化为 B时,存在一系列初等矩阵 P1,P 2,P s,使得 P sP2P1A=B 由于 PsP2P1 是可逆矩阵,A 的行向量组和 B 的行向量组等价【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 以 1,2,3,4,5 为列向量作矩阵 A,用初等行变换把 A 化为阶梯形矩

24、阵: 于是 r(1,2,3,4,5)=3 1,2,4 是 1,2,3,4,5 的一个最大无关组【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 ,【试题解析】 直接从定理 32 得到 明显不对,例如 3 不能用 1, 2 线性表示,而 3=4 时, 3, 4 都不能用 1, 2 线性表示但是 1,2,3,4 线性相关 容易用秩说明:A 1,A2,A3,A4 的秩即矩阵(A 1,A2,A3,A4)的秩,f 而(A1,A2,A3,A4)=A(1,2,3,4),由矩阵秩的性质,r(A 1,A2,A3,A4)r(1,2,3,4)A 1,A2,A3,A4 无关,秩为 4,于是 1,2,3,4 的秩也一定为 4,

25、线性无关 也可从秩看出: A 可逆时,r( 1,2,3,4)=r(A1,A2,A3,A4)=4【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 构造矩阵 A=(1T,2T,3T,4T,5T),并对它作初等行变换:记 B 和 C 分别是中间的阶梯形矩阵和右边的简单阶梯形矩阵B 有 3 个非零行,则 r(1,2,3,4,5)=3B 的台角在 1,2,4 列,则 1,2,4 是 1,2,3,4,5 的一个最大无关组设 C 的列向量组为 1, 2, 3, 4, 5,则 1,2,3,4,5 和1, 2, 3, 4, 5 有相同线性关系显然 3=31+2, 5=21+2,于是3=31+2, 5=21+2【知识模块

26、】 线性代数22 【正确答案】 部分组是最大无关组的条件是个数达到秩,并且线性无关 计算得 r(1,2,3,4,5)=3,这 4 个部分组都包含 3 个向量,只要线性无关就是最大无关组因为 1,2,3,4,5 和 1, 2, 3, 4, 5 有相同线性关系,只要看对应的1, 2, 3, 4, 5 的部分组的相关性 1, 2, 3和 1, 2, 5 都是相关的,1, 2, 4 和 1, 3, 4 都无关于是(1)和(3)不是最大无关组,(2)和(4)是【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 利用定理 36,只用看 一 能不能用 1,2, s 线性表示由条件知,卢可用 1,2, s 线性表示,

27、不能用 1,2, s, 线性表示,从而也就不能用 1,2, s 线性表示于是 一 不能用 1,2, s 线性表示从而 r(1,2, , s, 一 )=k+1【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 根据伴随矩阵的秩的性质(见矩阵的秩的性质),r(A *)+r(A)=3这个条件说明了 r(A)=2于是可用方法求解则 a+2b 和 a 一 b 必须有一个为0(否则 r(A)=3),但是 a 一 b 为 0 则 r(A)2于是得 r(A)=2 的条件是 a+2b=0 且 a一 b0,即 a=一 2b 并且 ab或者表示为:a= 一 2b0【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 如果先求出 AB 一

28、 A,再求它的秩,计算量比较大注意到 AB一 A=A(B 一 E),而 B 一 E 是可逆矩阵,则根据矩阵秩的性质,r(ABA)=r(A),直接计算 r(A)就简单多了得 r(AB 一 A)=r(A)=2【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 求出 也从 r(AB)小于r(A)和 r(B)看出 A 和 B 都不可逆,于是 r(AB) 解得 a=1,b=2【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)r(A)r( T)+r(T),而 r(T)r()1,同理 r(T)1 (2)不妨假设 =c,则 A=T+ca(cT)=(1+c2)T,于是 r(A)r(T)12【知识模块】 线性代数28 【正确

29、答案】 利用秩来判断较简单(见用定理 37 的和 )为此计算出r(1,2,3,4)和 r(1,2,3,4,)作比较构造矩阵( 1,2,3,4),并用初等行变换化阶梯形矩阵:(1)当 a+1=0,而 b0时,r( 1,2,3,4)=2,而 r(1,2,3,4)=3,因此 不能用 1,2,3,4 线性表示(2)当a+10 时(b 任意 ),r( 1,2,3,4)=r(1,2,3,4,)=4, 可用 1,2,3,4 表示,并且表示方式唯一(如果 a+1=0,而 b=0,则 r(1,2,3,4)=r(1,2,3,4,)=2,因此 能用 1,2,3,4 线性表示,但是表示方式不唯一)【知识模块】 线性代

30、数29 【正确答案】 思路(I)和( )等价用秩来刻画,即 r(1, 2, 3, 1, 2, 3)=r(1, 2, 3)=r(1, 2, 3)当 a+1=0 时,r(1,2,3)=2,而 r(1,2,3, 1, 2, 3)=3,因此(I)与()不等价当 a+10 时,r(1,2,3, 1, 2, 3)=r(1,2,3)=3 再来计算 r(1, 2, 3)则r(1, 2, 3)=3(与 a 无关)于是 a+10 时(I) 与( )等价【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 本题的要求用秩来表达就是 r(1, 2, 3)=r(1,2,3, 1, 2, 3)r( 1,2,3).由上面秩的关系式,得 r(1,2,3)3,即 1,2,3 线性相关, 1,2,3=0.求出 1,2,3= 一(a 一 1)2(a+2),a=1 或一 2. a=1 时,r( 1,2,3)=1,r( 1, 2, 3)=r(1,2,3, 1, 2, 3)=3,符合要求。 a=一 2 时,r( 1,2,3)=r(1, 2, 3)=2,不合要求 .【知识模块】 线性代数

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