1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 95 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 A 和 B 都是 n 阶矩阵给出下列条件 A 是数量矩阵 A 和 B 都可逆 (A+B)2=A2+2AB+B2 AB=cE (AB) 2=A2B2 则其中可推出 AB=BA 的有( )（A）（B） （C） （D）2 1,2， r，线性无关 ( )（A）存在全为零的实数 k1，k 2，k r，使得 k11+k22+krr=0（B）存在不全为零的实数 k1，k 2，k r，使得 k11+k21+krr0（C）每个 i 都不能用其他向量线性表示（D）有线性无关的部分组3 设 A 是 4
2、5 矩阵， 1,2,3,4,5 是 A 的列向量组，r( 1,2,3,4,5)=3，则( )正确。（A）A 的任何 3 个行向量都线性无关（B） 1,2,3,4,5 的一个含有 3 个向量的部分组(I)如果与 1,2,3,4,5 等价则一定是 1,2,3,4,5 的最大无关组（C） A 的 3 阶子式都不为 0（D） 1,2,3,4,5 的线性相关的部分组含有向量个数一定大于 34 设 1,2， ， s 是 n 维向量组，r( 1,2， s)=r，则( ) 不正确（A）如果 r=n，则任何 n 维阳量都可用 1,2， s 线性表示（B）如果任何 n 维向量都可用 1,2， s 线性表示，则 r
3、=n（C）如果 r=s，则任何 n 维向量都可用 1,2， s 唯一线性表示（D）如果 rn，则存在 n 维向量不能用 1,2， s 线性表示5 n 维向量组(I) 1,2， r 可以用 n 维向量组() 12， s 线性表示（A）如果(I)线性无关，则 rs（B）如果 (I)线性相关，则 rs（C）如果 ()线性无关，则 rs（D）如果() 线性相关，则 rs6 已知 n 维向量组 1,2， s 线性无关，则 n 维向量组 12， s 也线性无关的充分必要条件为（A） 1,2， ， s 可用 12， s 线性表示（B） 12， ， s 可用 1,2， s 线性表示（C） 1,2， s 与 1
4、2， s 等价（D）矩阵( 1,2， s)和( 12， s)等价7 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则( )（A）当 mn 时，AB0（B）当 mn 时，AB=0（C）当 nm 时，AB0（D）当 nm 时，AB=08 A 是 mn 矩阵， B 都 nm 矩阵AB 可逆，则（A）r(A)=m，r(B)=m （B） r(A)=m，r(B)=n （C） r(A)=n，r(B)=m （D）r(A)=n，r(B)=n 9 n 阶矩阵 的秩为 n 一 1，则 a=( )（A）1（B） 1(1 一 n)（C）一 1（D）1(n 一 1)二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 A
5、，B 都是凡阶矩阵，并且 B 和 E+AB 都可逆，证明： B(E+AB)一 1B 一 1=E 一B(E+AB)一 1A11 设 A，B 都是对称矩阵，并且 E+AB 可逆，证明(E+AB) 一 1A 是对称矩阵12 设 A，B 都是 n 阶矩阵，使得 A+B 可逆，证明 B(A+B)一 1A=A(A+B)一 1B13 设 A，B 都是 n 阶矩阵，并且 A 是可逆矩阵证明：矩阵方程 AX=B 和 XA=B的解相同 AB=BA14 设 求与 A 乘积可交换的所有矩阵15 (I)设 A 是对角矩阵，并且对角线上元素两两不相等证明和 A 乘积可交换的一定是对角矩阵(2)n 阶矩阵 C 如果和任何
6、n 阶矩阵乘积可交换，则 C 必是数量矩阵16 设 1， 2， ， s 是一个 n 维向量组， 和 也都是 n 维向量判断下列命题的正确性 如果 ， 都可用 1， 2， s 线性表示，则 + 也可用1， 2， s 线性表示 如果 ， 都不可用 1， 2， s 线性表示，则+ 也不可用 1， 2， s 线性表示 如果 可用 1， 2， s 线性表示，而 不可用 1， 2， s 线性表示，则 + 可用 1， 2， s 线性表示 如果 可用 1， 2， s 线性表示，而 不可用 1， 2， s 线性表示，则+ 不可用 1， 2， s 线性表示17 设 AB=C，证明：(1)如果 B 是可逆矩阵，则
7、A 的列向量和 C 的列向量组等价(2)如果 A 是可逆矩阵，则 B 的行向量组和 C 的行向量组等价18 (1)如果矩阵 A 用初等列变换化为 B，则 A 的列向量组和 B 的列向量组等价(2)如果矩阵 A 用初等行变换化为 B，则 A 的行向量组和 B 的行向量组等价19 设 1=(2， 1，2，3) T， 2=(一 1，1，5，3) T， 3=(0，一 1，一 4，一 3)T， 4=(1，0，一 2，一 1)T， 5=(1，2，9，8) T求 r(1,2,3,4,5)，找出一个最大无关组20 设 1,2,3,4 都是 n 维向量判断下列命题是否成立 如果 1， 2， 3 线性无关， 4
8、不能用 1,2,3 线性表示，则 1,2,3,4 线性无关 如果 1， 2 线性无关， 3,4 都不能用 1,2 线性表示，则 1,2,3,4 线性无关 如果存在 n 阶矩阵A，使得 A1,A2,A3,A4 线性无关，则 1,2,3,4 线性无关 如果1=A1， 2=A2， 3=A3， 4=A4，其中 A 可逆， 1， 2， 3， 4 线性无关，则1,2,3,4 线性无关 其中成立的为21 设 1=(1，一 1，2，4)， 2=(0，3，1，2) ， 3=(3，0，7，14)， 4=(1，一2，2，0) ， 5= (2，1，5，1 0) 求 r(1,2,3,4,5) 求一个最大线性无关组，并且
9、把其余向量用它线性表示22 设 1,2,3,4,5 它们的下列部分组中，是最大无关组的有哪几个? (1) 1， 2， 3 (2)1， 2， 4 (3)1， 2， 5 (4)1， 3， 423 已知 r(1,2， s)=r(1,2， s，)=k，r( 1,2， s， ，)=k+1 ，求r(1,2， s， 一 )24 设 已知 r(A*)+r(A)=3，求 a， b 应该满足的关系25 已知 求 r(AB 一 A)26 3 阶矩阵 已知 r(AB)小于 r(A)和 r(B)，求 a，b 和 r(AB)27 设 ， 都是 3 维列向量，A= T+T证明 (1)r(A)2 (2)如果 ， 线性相关，则
10、 r(A)28 设 1=(1， 0，2，3) T， 2=(1，1，3，5) T， 3=(1，一 1，a+2，1)T， 4=(1，2，4，a+8) T， =(1，1，b+3，5) T问： (1)a，b 为什么数时， 不能用1,2,3,4 表示 ? (2)a，b 为什么数时， 可用 1,2,3,4 表示，并且表示方式唯一?29 给定向量组(I) 1=(1，0，2) T， 2=(1，1，3) T， 3=(1，一 1，a+2) T 和()1=(1，2，a+3) T， 2=(2，1，a+b) T， 3=(2，1，a+4) T当 a 为何值时(I) 和()等价?a 为何值时(I)和( )不等价?30 求常
11、数 a，使得向量组 1=(1，1，a) T， 2=(1，a ，1) T， 3=(a，1，1) T 可由向量组 1=(1，1，a) T， 2=(一 2，a ，4) T， 3=(一 2,a,a)T 线性表示，但是 1， 2， 3 不可用 1,2,3 线性表示.考研数学三（线性代数）模拟试卷 95 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 和 的成立是明显的 是不对的，如则 AB=cE，在c0 时可推出 AB=BA，但是 c=0 时则推不出 AB=BA如则 (AB)2=A2B2 推不出AB=BA对于中的 A 和 B,(AB)2 和 A2
12、B2 都是零矩阵，但是 ABBA【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 (A) 不对，当 k1=k2=kr，=0 时，对任何向量组1， 2，k 11+k22+krr=0 都成立 (B)不对， 1,2， r 线性相天时，也存在不全为零的实数 k1，k 2，k 11+k22+krr0； (C) 就是线性无关的意义 (D)不对，线性相关的向量组也可能有线性无关的部分组【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 r( 1,2,3,4,5)=3，说明 1,2,3,4,5 的一个部分组如果包含向量超过 3 个就一定相关，但是相关不一定包含向量超过 3 个D 不对r( 1,2,3
13、,4,5)=3，则 A 的行向量组的秩也是 3，因此存在 3 个行向量线悱无父，但是不是任何3 个行向量都线性无关排除 AA 的秩也是 3，因此有 3 阶非零子式，但是并非每个 3 阶子式都不为 0，C 也不对下面说明 B 对 (I)与 1,2,3,4,5 等价，则(I)的秩=r( 1,2,3,4,5)=3=(I)中向量的个数，于是(I)线性无关，由定义(I) 是最大无关组【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 利用“用秩判断线性表示”的有关性质 当 r=n 时，任何 n 维向量添加进 1,2， s 时，秩不可能增大，从而 (A)正确 如果 B 的条件成立，则任何 n 维向量组
14、 12， t 都可用 1,2， s 线性表示，从而 r(12， t)r(1,2， s)如果取 12， n 是一个 n 阶可逆矩阵的列向量组，则得n=r(12， n)r(1,2， s)n，从而 r(1,2， s)=n，B 正确 D 是B 的逆否命题，也正确 由排除法，得选项应该为 C下面分析为什么 C 不正确 r=s 只能说明 1,2， s 线性无关，如果 rn ，则用 B 的逆否命题知道存在 n 维向量不可用 1,2， s 线性表示，因此 C 不正确【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 C 和 D 容易排除，因为()的相关性显然不能决定 r 和 s 的大小关系的A 是定理 3
15、8 的推论的逆否命题根据该推论，当向量组 (I)可以用()线性表示时，如果 rs ，则(I)线性相关因此现在(I)线性无关，一定有 rsB 则是这个推论的逆命题，是不成立的也可用向量组秩的性质(定理 38)来说明 A 的正确性：由于(I)可以用( )线性表示，有r(I)r()s又因为(I)线性无关，所以 r(I)=r于是 rs【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 从条件 A 可推出 12， s 的秩不小于 1,2， s 的秩12， ， s 线性无关即 A 是充分条件，但它不是必要条件条件 C 也是充分条件，不是必要条件条件 B 既非充分的，又非必要的两个矩阵等价就是它们类型相
16、同，并且秩相等现在( 1,2， s)和( 12， s)都是 ns 矩阵，(1,2， s)的秩为 s，于是 12， s 线性无关(即矩阵( 12， s)的秩也为 s) (1,2， s)和( 12， s)等价【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 本题考察 AB 的行列式AB，而条件显然是不能用来计算AB而利用方阵“可逆 满秩”，转化为“r(AB)是否=AB 的阶数 m”的判断则是可行的有不等式 r(AB)minr(A)，r(B)minm，n如果 mn，则r(AB)minr(A)，r(B)minm，n=nm 于是 r(AB)m，从而 AB 不可逆，AB=0因此 (B)成立(如果 m
17、n，r(AB)minr(A)，F(B)minm ，n=m不能断定 r(AB)与 m 的关系，C，D 都不一定成立)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 A【试题解析】 AB 是 m 阶矩阵，AB 可逆，则 m=r(AB)r(A)m，得 r(A)=m同理得 r(B)=m【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 对此等式进行恒等变形：B(E+AB) 一 1B 一 1=EB(E+AB)一1A B(E+AB)一 1=BB(E+AB)一 1AB (用 B 右乘等式两边) B(E+AB)一 1+B(E+AB)一
18、1AB=B B(E+AB)一 1(E+AB)=B最后的等式显然成立【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 (E+AB) 一 1A 对称，就是(E+AB) 一 1AT=(E+AB)一 1A(E+AB) 一1AT=A(E+AB)一 1T=A(E+AB)T一 1=A(E+BA)一 1于是要证明的是(E+AB) 一1A=A(E+BA)一 1对此式作恒等变形： (E+AB)一 1A=A(E+BA)一 1 A=(E+AB)A(E+BA)一 1(用 E+AB 左乘等式两边) A(E+BA)=(E+AB)A(用 E+BA 右乘等式两边)等式 A(E+BA)=(E+AB)A显然成立，于是(E+AB) 一 1A
19、=A(E+BA)一 1 成立【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 两边都加 A(A+B)一 1A 后，都等于 A： B(A+B) 一 1A+A(A+B)一1A=(B+A)(A+B)一 1A=A A(A+B) 一 1B+A(A+B)一 1A=A(A+B)一 1(B+A)=A 因此B(A+B)一 1A=A(A+B)一 1B【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 AX=B 的解为 A 一 1B，XA=B 的解为 BA 一 1AX=B 和 XA=B 的解相同即 A 一 1B=BA 一 1作恒等变形：A 一 1B=BA 一 1 B=ABA 一 1 BA=AB【知识模块】 线性代数14 【正确答案】
20、 与 A 乘积可交换的矩阵一定是 2 阶矩阵设 则AX=XA 即：ax1+x3=ax1+x2，ax 2+x4=x1，x 1=ax3+x4x 2=x3，整理得 x1，x 2，x 3，x 4 的齐次线性方程组 解得通解为 c 1(a，1，1，0) T+c2(1，0，0，1) T，c 1，c 2 任意则与 A 乘积可交换的矩阵的一般形式为 c1A+c2E，c 1，c 2 任意【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 (1)设 B 和 A 乘积可交换，要证明 B 是对角矩阵，即要说明 B 的对角线外的元素 bij(ij)都为 0设 A 的对角线元素为 1， 2， n 则 Ab 的(i ，j)位元素为
21、ibij 而 BA 的(i，j)位元素为 jbij因为 AB=BA，得 ibij=jbij因为ij，所以 bij=0 (2) 先说明 C 一定是对角矩阵由于 C 与对角线上元素两两不相等的 n 阶对角矩阵乘积可交换，由(1)的结论得出 C 是对角矩阵 再说明 C 的对角线元素 c11， c22，c nn 都相等 构造 n 阶矩阵 A，使得其(i，j)位元素为1，ij CA 的(i ，j)位元素为 cii，AC 的(i，j)位元素为 cjj于是 cii=cjj这里的i，j 是任意的，从而 c11=c22=cnn【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 正确的是和 ，和都不对 显然 不对，可用一个
22、反例说明 取 不可用 1， 2， s 线性表示， =一 ，则 也不可用1， 2， s 线性表示，但是 +=0，可用 1， 2， s 线性表示 用反证法说明不对对如果 + 可朋 1， 2， s 线性表示，则因为 可用1， 2， s 线性表示，所以 =(+)一 ；也可刚 1， 2， s 线性表示，与条件矛盾【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 (1)由上面的说明，C 的列向量组可以用 A 的列向量组线性表示当 B 是可逆矩阵时，有 CB 一 1=A，于是 A 的列向量组又可以用 C 的列向量组线性表示 (2)C 的行向量组可以用 B 的行向量组线性表示当 A 是可逆矩阵时，A 一 1C=B，于
23、是 B 的行向量组又可以用的 C 的行向量组线性表示【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (1)利用初等变换与初等矩阵的关系，当矩阵 A 用初等列变换化为曰时，存在一系列初等矩阵 P1，P 2，P s，使得 AP1P2Ps=B 由于 P1P2Ps 是可逆矩阵，A 的列向量组和 B 的列向量组等价 (2)当矩阵 A 用初等行变换化为 B时，存在一系列初等矩阵 P1，P 2，P s，使得 P sP2P1A=B 由于 PsP2P1 是可逆矩阵，A 的行向量组和 B 的行向量组等价【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 以 1,2,3,4,5 为列向量作矩阵 A，用初等行变换把 A 化为阶梯形矩
24、阵： 于是 r(1,2,3,4,5)=3 1,2,4 是 1,2,3,4,5 的一个最大无关组【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 ，【试题解析】 直接从定理 32 得到 明显不对，例如 3 不能用 1， 2 线性表示，而 3=4 时， 3， 4 都不能用 1， 2 线性表示但是 1,2,3,4 线性相关 容易用秩说明：A 1,A2,A3,A4 的秩即矩阵(A 1,A2,A3,A4)的秩，f 而(A1,A2,A3,A4)=A(1,2,3,4)，由矩阵秩的性质，r(A 1,A2,A3,A4)r(1,2,3,4)A 1,A2,A3,A4 无关，秩为 4，于是 1,2,3,4 的秩也一定为 4，
25、线性无关 也可从秩看出： A 可逆时，r( 1,2,3,4)=r(A1,A2,A3,A4)=4【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 构造矩阵 A=(1T,2T,3T,4T,5T)，并对它作初等行变换：记 B 和 C 分别是中间的阶梯形矩阵和右边的简单阶梯形矩阵B 有 3 个非零行，则 r(1,2,3,4,5)=3B 的台角在 1，2，4 列，则 1,2,4 是 1,2,3,4,5 的一个最大无关组设 C 的列向量组为 1， 2， 3， 4， 5，则 1,2,3,4,5 和1， 2， 3， 4， 5 有相同线性关系显然 3=31+2， 5=21+2，于是3=31+2， 5=21+2【知识模块
26、】 线性代数22 【正确答案】 部分组是最大无关组的条件是个数达到秩，并且线性无关 计算得 r(1,2,3,4,5)=3，这 4 个部分组都包含 3 个向量，只要线性无关就是最大无关组因为 1,2,3,4,5 和 1， 2， 3， 4， 5 有相同线性关系，只要看对应的1， 2， 3， 4， 5 的部分组的相关性 1， 2， 3和 1， 2， 5 都是相关的，1， 2， 4 和 1， 3， 4 都无关于是(1)和(3)不是最大无关组，(2)和(4)是【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 利用定理 36，只用看 一 能不能用 1,2， s 线性表示由条件知，卢可用 1,2， s 线性表示，
27、不能用 1,2， s， 线性表示，从而也就不能用 1,2， s 线性表示于是 一 不能用 1,2， s 线性表示从而 r(1,2， ， s， 一 )=k+1【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 根据伴随矩阵的秩的性质(见矩阵的秩的性质)，r(A *)+r(A)=3这个条件说明了 r(A)=2于是可用方法求解则 a+2b 和 a 一 b 必须有一个为0(否则 r(A)=3)，但是 a 一 b 为 0 则 r(A)2于是得 r(A)=2 的条件是 a+2b=0 且 a一 b0，即 a=一 2b 并且 ab或者表示为：a= 一 2b0【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 如果先求出 AB 一
28、 A，再求它的秩，计算量比较大注意到 AB一 A=A(B 一 E)，而 B 一 E 是可逆矩阵，则根据矩阵秩的性质，r(ABA)=r(A)，直接计算 r(A)就简单多了得 r(AB 一 A)=r(A)=2【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 求出 也从 r(AB)小于r(A)和 r(B)看出 A 和 B 都不可逆，于是 r(AB) 解得 a=1，b=2【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)r(A)r( T)+r(T)，而 r(T)r()1，同理 r(T)1 (2)不妨假设 =c，则 A=T+ca(cT)=(1+c2)T，于是 r(A)r(T)12【知识模块】 线性代数28 【正确
29、答案】 利用秩来判断较简单(见用定理 37 的和 )为此计算出r(1,2,3,4)和 r(1,2,3,4，)作比较构造矩阵( 1,2,3,4)，并用初等行变换化阶梯形矩阵：(1)当 a+1=0，而 b0时，r( 1,2,3,4)=2，而 r(1,2,3,4)=3，因此 不能用 1,2,3,4 线性表示(2)当a+10 时(b 任意 )，r( 1,2,3,4)=r(1,2,3,4，)=4， 可用 1,2,3,4 表示，并且表示方式唯一(如果 a+1=0，而 b=0，则 r(1,2,3,4)=r(1,2,3,4，)=2，因此 能用 1,2,3,4 线性表示，但是表示方式不唯一)【知识模块】 线性代
30、数29 【正确答案】 思路(I)和( )等价用秩来刻画，即 r(1， 2， 3， 1， 2， 3)=r(1， 2， 3)=r(1， 2， 3)当 a+1=0 时，r(1,2,3)=2，而 r(1,2,3， 1， 2， 3)=3，因此(I)与()不等价当 a+10 时，r(1,2,3， 1， 2， 3)=r(1,2,3)=3 再来计算 r(1， 2， 3)则r(1， 2， 3)=3(与 a 无关)于是 a+10 时(I) 与( )等价【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 本题的要求用秩来表达就是 r(1， 2， 3)=r(1,2,3， 1， 2， 3)r( 1,2,3).由上面秩的关系式，得 r(1,2,3)3，即 1,2,3 线性相关， 1,2,3=0.求出 1,2,3= 一(a 一 1)2(a+2)，a=1 或一 2. a=1 时，r( 1,2,3)=1，r( 1， 2， 3)=r(1,2,3， 1， 2， 3)=3，符合要求。 a=一 2 时，r( 1,2,3)=r(1， 2， 3)=2，不合要求 .【知识模块】 线性代数
