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[考研类试卷]考研数学二(一元函数微分学)模拟试卷62及答案与解析.doc

1、考研数学二(一元函数微分学)模拟试卷 62 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)是定义在(-1 , 1)内的奇函数,且 则 f(x)在 x=0 处的导数为 ( )(A)a(B)一 a(C) 0(D)不存在2 设 其中 g(x)是有界函数,则 f(x)在 x=0 处 ( )(A)极限不存在(B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可导(D)可导3 设函数 f(x)可导,且曲线 y=f(x)在点(x 0,f(x 0)处的切线与直线 y=2 一 x 垂直,则当x0 时,该函数在 x=x0 处的微分 dy 是 ( )(A)与x 同阶但非等价的无穷

2、小(B)与 x 等价的无穷小(C)比 x 高阶的无穷小(D)比x 低阶的无穷小4 已知函数 f(x)=ln|x 一 1|,则 ( )5 函数 的图形在点(0,1)处的切线与 x 轴交点的坐标是 ( )(A)(一 1,0)(B)(C) (1,0)(D)6 函数 y=f(x)满足条件 f(0)=1,f(0)=0,当 x0 时,f(x)0则它的图形可能是 ( ) 二、填空题7 曲线 在 t=1 处的曲率 k=_8 如果 f(x)在a,b上连续,无零点,但有使 f(x)取正值的点,则 f(x)在a,b上的取值符号为_9 曲线 的凹区间是_10 设曲线 y=ax3+bx2+cx+d 经过( 一 2,44

3、),x=一 2 为驻点,(1,一 10)为拐点,则a,b,c,d 分别为_ 11 曲线 的渐近线是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设函数 f(y)的反函数 f-1(x)及 ff-1(x)与 f“f-1(x)都存在,且 ff-1(x)0证明:13 设 f(x)=x3+4x2 一 3x 一 1,试讨论方程 f(x)=0 在(一,0)内的实根情况14 求 y15 设 y=f(lnx)ef(x),其中 f 可微,求16 设曲线 f(x)=xn 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点为(x n,0),n=1,2,计算17 证明:不等式 一x+ 18 已知 求 f(1)19 求函

4、数的导数:y=a ax+axx+axa+aaa(a0)20 求函数的导数:y=e f(x)f(e x),其中 f(x)具有一阶导数21 函数 y=y(x)由方程 cos(x2+y2)+ex 一 x2y=0 所确定,求22 设 求 y23 设 试问当 取何值时,f(x)在点 x=0 处(1)连续;(2)可导;(3)一阶导数连续; (4)二阶导数存在24 设 且 f“(x)0,证明:f(x)x25 证明:当 x0 时,有不等式26 利用导数证明:当 x1 时,27 设 ba e,证明:a bb a考研数学二(一元函数微分学)模拟试卷 62 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项

5、符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由于 f(x)为( 一 1,1)内的奇函数,则 f(0)=0于是 而令 x=一 t 时, 故 f-(0)=f+(0)=a,得 f(0)=a,应选(A)【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 显然 f(x)在 x=0 处连续由于 所以 f-(0)=0 又 故 f+(0)=0,从而 f(0)存在,且 f(0)=0,应选(D)【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 由题设可知 f(x0)=1,故 因而即 dy 与x 是等价无穷小,故选(B)【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 应当把绝

6、对值函数写成分段函数,当 x1 时, 当 x1时, 故选(B)【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)=x2+x+6,所以 f(0)=6故过(0,1)的切线方程为 y 一1=6x,因此与 x 轴的交点为【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 B【试题解析】 因函数单调增加,且在 x=0 处有水平切线,故选 B.【知识模块】 一元函数微分学二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 因为则因此【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 正【试题解析】 利用反证法,假设存在点 x1a,b,使得 f(x1)0又由题意知存在点 x2a,b,x 2x1,使得 f

7、(x2)0由闭区间连续函数介值定理可知,至少存在一点 介于 x1 和 x2 之间,使得 f()=0,显然 a,b,这与已知条件矛盾【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 (0,+)【试题解析】 当 x0 时,y“0,曲线是凹的;当x0 时,y“0,曲线是凸的【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 1;一 3;一 24;16【试题解析】 由条件有 即 解方程可得 a=1,b= 一 3,c=一 24,d=16【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 y=1【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 设 x=f(

8、y)则其反函数为 y=f-1(x),x=f(y)两边关于 x 求导,得 所以【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 方法一 因为 f(一 5)=一 110,f(一 1)=50,f(0)=一 10,所以f(x)在一 5,一 1及 一 1,0上满足零点定理的条件,故存在 1(一 5,一 1)及2(一 1,0),使得 f(1)=f(2)=0,所以方程 f(x)=0 在(一,0)内至少存在两个不等的实根又因为 f(1)=10,同样 f(x)在0,1 上满足零点定理的条件,在(0,1)内存在一点 3,使得 f(3)=0,而 f(x)=0 为三次多项式方程,最多只有三个实根,因此方程 f(x)=0

9、 在(一,0)内只有两个不等的实根 方法二 由题可知 f(x)=3x2+8x一 3,令 f(x)=0,可得 x2=一 3,则 f(x)在(一,一 3)上单调增加,在(一 3, 0)上单调递减又因为 f(一) 0,f( 一 3)=170,f(0)=一 1 所以由函数的单调性及零点定理,原函数在(一,0)内有两实根【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 由 知 【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 由导数几何意义,曲线 f(x)=xn 在点 (1,1) 处的切线斜率 所以切线方程为 y=1+n(x 一 1),令 y=0 解得因此 【

10、知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 设 则 令 f(x)=0,得驻点为 x=0,由 知 f“(0)0,则 x=0 为极小值点,即最小值点f(x)的最小值为 f(0)=0,于是,对一切 x(一,+),有f(x)0,即有 【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 y=a axlnaa xlna+axxlna(xx)+axalnaaxa-1,其中 (x x)=(exlnx)=exlnx(lnx+1)=xx(lnx+1)【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 y=e f(x)f(x)f(ex)+ef(x)f(ex)ex【知识模块】

11、 一元函数微分学21 【正确答案】 方程两边对 x 求导,得 一 sin(x2+y2)(2x+2yy)+ex 一 2xyx2y=0,则 【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 两边取对数,得 两边关于 x 求导,得 则 【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 (1)因当 a0 时,极限 不存在;当 0 时,所以当 0 时,f(x) 在 x=0 处连续 (2)当 一10 时,即 1 时,f(0)=0,f(x) 在 x=0 处可导 (3)当 2 时,f(x)在 x=0 处一阶导数连续 (4)当 3 时,f“(0)不存在;当 3 时, f“(0)=0,即 f(x)在点 x=0 处二阶

12、可导【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 因 得 f(0)=0,f(0)=1 因 f(x)二阶可导,故 f(x)在 x=0 处的一阶泰勒公式成立,即有 因 f“(x)0,故f(x)x,当且仅当 x=0 时等号成立原命题得证【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 设 则因为 所以 f(x)单调递减,故当 0x+时,f(x)f(+)=0,即 【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 设 f(x)=(1+x)ln(1+x)一 xlnx,有 f(1)=2ln20 由知,f(x)单调递增,则当 x1 时, f(x)f(1)=2ln2 0,lnx 0,从而得 其中 x1【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 设 则 其中lnxlne=1,所以 f(x)0,即 f(x)单调递减所以,当 ba e 时,即 blnaalnb,则有 lnablnb a,因此 abb a【知识模块】 一元函数微分学

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