1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 62 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 f(x)是定义在(-1 ， 1)内的奇函数，且 则 f(x)在 x=0 处的导数为 ( )（A）a（B）一 a（C） 0（D）不存在2 设 其中 g(x)是有界函数，则 f(x)在 x=0 处 ( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导3 设函数 f(x)可导，且曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线与直线 y=2 一 x 垂直，则当x0 时，该函数在 x=x0 处的微分 dy 是 ( )（A）与x 同阶但非等价的无穷
2、小（B）与 x 等价的无穷小（C）比 x 高阶的无穷小（D）比x 低阶的无穷小4 已知函数 f(x)=ln|x 一 1|，则 ( )5 函数 的图形在点(0，1)处的切线与 x 轴交点的坐标是 ( )（A）(一 1，0)（B）（C） (1，0)（D）6 函数 y=f(x)满足条件 f(0)=1，f(0)=0，当 x0 时，f(x)0则它的图形可能是 ( ) 二、填空题7 曲线 在 t=1 处的曲率 k=_8 如果 f(x)在a，b上连续，无零点，但有使 f(x)取正值的点，则 f(x)在a，b上的取值符号为_9 曲线 的凹区间是_10 设曲线 y=ax3+bx2+cx+d 经过( 一 2，44
3、)，x=一 2 为驻点，(1，一 10)为拐点，则a，b，c，d 分别为_ 11 曲线 的渐近线是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设函数 f(y)的反函数 f-1(x)及 ff-1(x)与 f“f-1(x)都存在，且 ff-1(x)0证明：13 设 f(x)=x3+4x2 一 3x 一 1，试讨论方程 f(x)=0 在(一，0)内的实根情况14 求 y15 设 y=f(lnx)ef(x)，其中 f 可微，求16 设曲线 f(x)=xn 在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点为(x n，0)，n=1，2，计算17 证明：不等式 一x+ 18 已知 求 f(1)19 求函
4、数的导数：y=a ax+axx+axa+aaa(a0)20 求函数的导数：y=e f(x)f(e x)，其中 f(x)具有一阶导数21 函数 y=y(x)由方程 cos(x2+y2)+ex 一 x2y=0 所确定，求22 设 求 y23 设 试问当 取何值时，f(x)在点 x=0 处(1)连续；(2)可导；(3)一阶导数连续； (4)二阶导数存在24 设 且 f“(x)0，证明：f(x)x25 证明：当 x0 时，有不等式26 利用导数证明：当 x1 时，27 设 ba e，证明：a bb a考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 62 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
5、符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由于 f(x)为( 一 1，1)内的奇函数，则 f(0)=0于是 而令 x=一 t 时， 故 f-(0)=f+(0)=a，得 f(0)=a，应选(A)【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 显然 f(x)在 x=0 处连续由于 所以 f-(0)=0 又 故 f+(0)=0，从而 f(0)存在，且 f(0)=0，应选(D)【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 由题设可知 f(x0)=1，故 因而即 dy 与x 是等价无穷小，故选(B)【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 应当把绝
6、对值函数写成分段函数，当 x1 时， 当 x1时， 故选(B)【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(x)=x2+x+6，所以 f(0)=6故过(0，1)的切线方程为 y 一1=6x，因此与 x 轴的交点为【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 B【试题解析】 因函数单调增加，且在 x=0 处有水平切线，故选 B.【知识模块】 一元函数微分学二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 因为则因此【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 正【试题解析】 利用反证法，假设存在点 x1a，b，使得 f(x1)0又由题意知存在点 x2a，b，x 2x1，使得 f
7、(x2)0由闭区间连续函数介值定理可知，至少存在一点 介于 x1 和 x2 之间，使得 f()=0，显然 a，b，这与已知条件矛盾【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 (0，+)【试题解析】 当 x0 时，y“0，曲线是凹的；当x0 时，y“0，曲线是凸的【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 1；一 3；一 24；16【试题解析】 由条件有 即 解方程可得 a=1，b= 一 3，c=一 24，d=16【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 y=1【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 设 x=f(
8、y)则其反函数为 y=f-1(x)，x=f(y)两边关于 x 求导，得 所以【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 方法一 因为 f(一 5)=一 110，f(一 1)=50，f(0)=一 10，所以f(x)在一 5，一 1及 一 1，0上满足零点定理的条件，故存在 1(一 5，一 1)及2(一 1，0)，使得 f(1)=f(2)=0，所以方程 f(x)=0 在(一，0)内至少存在两个不等的实根又因为 f(1)=10，同样 f(x)在0，1 上满足零点定理的条件，在(0，1)内存在一点 3，使得 f(3)=0，而 f(x)=0 为三次多项式方程，最多只有三个实根，因此方程 f(x)=0
9、 在(一，0)内只有两个不等的实根 方法二 由题可知 f(x)=3x2+8x一 3，令 f(x)=0，可得 x2=一 3，则 f(x)在(一，一 3)上单调增加，在(一 3， 0)上单调递减又因为 f(一) 0，f( 一 3)=170，f(0)=一 1 所以由函数的单调性及零点定理，原函数在(一，0)内有两实根【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 由 知 【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 由导数几何意义，曲线 f(x)=xn 在点 (1，1) 处的切线斜率 所以切线方程为 y=1+n(x 一 1)，令 y=0 解得因此 【
10、知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 设 则 令 f(x)=0，得驻点为 x=0，由 知 f“(0)0，则 x=0 为极小值点，即最小值点f(x)的最小值为 f(0)=0，于是，对一切 x(一，+)，有f(x)0，即有 【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 y=a axlnaa xlna+axxlna(xx)+axalnaaxa-1，其中 (x x)=(exlnx)=exlnx(lnx+1)=xx(lnx+1)【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 y=e f(x)f(x)f(ex)+ef(x)f(ex)ex【知识模块】
11、 一元函数微分学21 【正确答案】 方程两边对 x 求导，得 一 sin(x2+y2)(2x+2yy)+ex 一 2xyx2y=0，则 【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 两边取对数，得 两边关于 x 求导，得 则 【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 (1)因当 a0 时，极限 不存在；当 0 时，所以当 0 时，f(x) 在 x=0 处连续 (2)当 一10 时，即 1 时，f(0)=0，f(x) 在 x=0 处可导 (3)当 2 时，f(x)在 x=0 处一阶导数连续 (4)当 3 时，f“(0)不存在；当 3 时， f“(0)=0，即 f(x)在点 x=0 处二阶
12、可导【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 因 得 f(0)=0，f(0)=1 因 f(x)二阶可导，故 f(x)在 x=0 处的一阶泰勒公式成立，即有 因 f“(x)0，故f(x)x，当且仅当 x=0 时等号成立原命题得证【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 设 则因为 所以 f(x)单调递减，故当 0x+时，f(x)f(+)=0，即 【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 设 f(x)=(1+x)ln(1+x)一 xlnx，有 f(1)=2ln20 由知，f(x)单调递增，则当 x1 时， f(x)f(1)=2ln2 0，lnx 0，从而得 其中 x1【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 设 则 其中lnxlne=1，所以 f(x)0，即 f(x)单调递减所以，当 ba e 时，即 blnaalnb，则有 lnablnb a，因此 abb a【知识模块】 一元函数微分学
