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[考研类试卷]考研数学二(一元函数微分学)模拟试卷63及答案与解析.doc

1、考研数学二(一元函数微分学)模拟试卷 63 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 函数 y=xx 在区间 上 ( )(A)不存在最大值和最小值(B)最大值是(C)最大值是(D)最小值是2 设函数 则 ( )(A)在其有定义的任何区间(x 1,x 2)内,f(x) 必是单调减少的(B)在点 x1 及 x2 处有定义,且当 x1x 2 时,必有 f(x1)f(x 2)(C)在其有定义的任何区间(x 1,x 2)内,f(x) 必是单调增加的(D)在点 x1 及 x2 处有定义,且当 x1x 2 时,必有 f(x1)f(x 2)3 设函数 f(x)在 x=0 处

2、连续,且 则 ( )(A)f(0)=0 且 f-(0)存在(B) f(0)=1 且 f-(0)存在(C) f(=)=0 且 f+(0)存在(D)f(0)=1 且 f+(0)存在4 设 f(x)在( 一,+)内可导,且对任意 x1,x 2,当 x1x 2 时,都有 f(x1)f(x 2),则 ( )(A)对任意 x,f(x)0(B)对任意 x,f(一 x)0(C)函数 f(一 x)单调增加(D)函数一 f(一 x)单调增加5 若 f(x)在点 x0 处可导,则|f(x)|在点 x0 处 ( )(A)必可导(B)连续,但不一定可导(C)一定不可导(D)不连续6 设函数 则 f(x)在点 x=0 处

3、 ( )(A)极限不存在(B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可导(D)可导7 设 其中 f(x)在 x=0 处可导, f(0)0,f(0)=0 ,则 x=0是 F(x)的 ( )(A)连续点(B)第一类间断点(C)第二类间断点(D)连续点或间断点不能由此确定二、填空题8 曲线 的斜渐近线为_9 若 则 f(t)=_10 设函数 且 1+bx0,则当 f(x)在 x=0 处可导时,f(0)=_.11 若函数 在 处取得极值,则a=_12 已知 a,b e ,则不等式 成立的条件是 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 用导数定义证明:可导的偶函数的导函数是奇函数,而可导的

4、奇函数的导函数是偶函数14 用导数定义证明:可导的周期函数的导函数仍是周期函数,且其周期不变15 求 的反函数的导数16 求函数 的导数17 设 y=y(x)是由 确定的隐函数,求 y(0)和 y“(0)的值18 设函数 f(x)在=2 的某邻域内可导,且 f(x)=e f(x),f(2)=1 , 求 f(n)(2)19 设 a,b,c 是三个互不相等的常数,求 y(n)20 曲线 的切线与 x 轴和 y 轴围成一个图形,记切点的横坐标为 a,求切线方程和这个图形的面积当切点沿曲线趋于无穷远时,该面积的变化趋势如何?21 设 又函数 f(x)可导,求 F(x)=f(x)的导数21 设 fn(x

5、)=x+x2+xn,n=2,3,22 证明方程 fn(x)=1 在0,+)上有唯一实根 xn;23 23 设 fn(x)=1 一(1 一 cosx)n,求证:24 对于任意正整数 n, 中仅有一根;25 设有 满足 则26 在数 中求出最大值27 证明:方程 x=lnx( 0)在(0 ,+) 上有且仅有一个实根28 设 0k1,f(x)=kxarctanx证明:f(x) 在(0 ,+)中有唯一的零点,即存在唯一的 x0(0,+),使 f(x0)=029 f(x)在( 一,+)上连续, 且 f(x)的最小值 f(x0)x 0,证明:ff(x)至少在两点处取得最小值考研数学二(一元函数微分学)模拟

6、试卷 63 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 y=x x(In x+1),令 y=0,得 当 时,y0,函数单调增加,故选(D) 【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)的定义域是( 一 0(3,3)(3,+),其导数 则 f(x)在区间(一,3)及(3,+)上均是单调减少的,(B),(D)可举反例,设 x 一 2,x 一 4 可排除(B),设 x 一 4,x 一5 可排除(D)【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在 x 一 0 处连续,且 所以 f(0

7、)=0从而有 【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 根据单调性的定义直接可以得出 D 项正确【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 若取 f(x)=x 在 x=0 处可导,但|f(x)|=|x|在 x=0 处不可导,排除(A)若取 f(x)=x2 在 x=0 处可导,则|f(x)|=|x 2|在 x=0 处也可导,排除(C),(D)故选(B)【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 不存在,故 f(0)不存在【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 F(0)=f(0)=0,【知识模块】 一元函数微分学二、填空

8、题8 【正确答案】 y=2x+1【试题解析】 所以斜渐近线为 y=2x+1【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 (2t+1)e 2t【试题解析】 故 f(t)=e2t+2te2t=(2t+1)e2t【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 由于 f(x)在 x=0 处可导,则在该点处连续,利用洛必达法则,所以 b=f(0)=一 1,再由导数的定义及洛必达法则,有 【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 2【试题解析】 f(x)=acosx+cos3x ,因 为极值点,则a=2这时 f“(x)=-2sinx-3sin3x,故 为极大值点【知识模块】 一元函数微

9、分学12 【正确答案】 e a b【试题解析】 令 则由 得 x=e当 xe 时,f(x)0,函数 f(x)单调递减,因此有 eab【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 由 f(一 x)=f(x),而 故 f(x)为奇函数 由 f(一 x)=一 f(x),而 故 f(x)为偶函数【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 设 f(x)的周期为 T,即 f(x+T)=f(x),而 所以 f(x)仍是周期为 T 的周期函数【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 先求 yx,令 所以所以【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答

10、案】 【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 在方程中令 x=0 可得 将方程两边对 x 求导,得 将x=0,y(0)=e 2 代入式 ,有 即 y(0)=ee4 将式两边再对 x求导数,得 将 x=0,y(0)=e 2 和 y(0)=ee4 代入式,有 故 y“(0)=e3(3e3 一 4)【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 由 f(x)=ef(x)两边对 x 求导,得 f“(x)=e f(x)f(x)=e2f(x), 两边再对 x 求导,得 f“(x)=e 2f(x)2f(x)=2e3f(x), 两边再对 x 求导,得 f(4)(x)=2e 3f(x)3f(x)=3!e

11、4f(x), 由以上规律可得 n 阶导数 f (n)(x)=(n 一 1)!enf(x), 所以 f(n)(2)=(n 一 1)!en【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 运用高阶导数公式,得【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 先求曲线 在点 处的切线方程因为函数导数为 所以切线斜率 切线方程为 切线与 x 轴,y 轴的交点坐标分别为 A(3a,0),于是AOB 的面积为 当切点沿 x轴正向趋于无穷远时,有 当切点沿 y 轴正向趋于无穷远时,有【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 当 x1 时,用复合函数求导法则求导得 当x=0 时 (分段点),因 (0)=0,

12、 又 f(x)在 x=0 处可导,于是根据复合函数的求导法则,有 F(0)=f(0)(0)=0,所以 【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 f n(x)连续,且 fn(0)=0,f n(1)=n1,由介值定理可得,存在xn(0,1),使 fn(xn)=1,n=2,3,又 x0 时, fn(x)=1+2x+nxn-10,故fn(x)严格单调递增,因此 xn 是 fn(x)一 1 在0,+)内的唯一实根【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 由(1)可得,x n(0,1),n=2,3,所以x n有界 又因为fn(xn)一 1=fn+1(xn+1),n=

13、2 , 3,所以 x n+xn2+xnnxn+1+xn+12+xn+1n+xn+1n+1, 即(x n+xn2+xnn)一(x n+1+xn+12+xn+1n)=xn+1n+10,因此 xnx n+1(n=2,3,),即x n严格单调递减于是由单调有界准则知 存在,记 由xn+xn2+xnn=1 得 因为 0x n1 ,所以 于是解得 即【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 因为 fn(x)连续,又 fn(0)=1, 所以由介值定理知存在使得 又因为 fn(x)=一 n(1 一 cosx)n-1sinx0,所以 fn(x)在 内严格单调递减因此,满足方程的

14、根 是唯一的,即 在 中仅有一根【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 因为 所以由保号性知,存在 N0,当 nN 时,有由 fn(x)的单调递减性质知由夹逼准则知【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 先考查连续函数 令得 x=e,且有当 xe 时,f(x)0,f(x)单调递增;当 xe 时,f(x)0,f(x)单调递减所以 f(e)为 f(x)的最大值,而2e3,于是所求的最大值必在 中取到,又因为所以 即最大值为【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 令 f(x)=lnx-x(0),则 f(x)在(0,+)上 4 连续,f(1)=-10,故对任意 M0,存在 X1

15、,当 xX 时,有 f(x)M0任取 x0X,则 f(1)f(x0)0,根据零点定理知,存在 (1,x 0),使得 f()=0,即方程x=lnx 在(0,+)上至少有一实根 又 lnx 在(0,+)上单调递增,因 0,一 x也单调递增,从而 f(x)在(0 ,+)上单调递增,因此方程 f(x)=0 在(0 ,+) 上只有一个实根,即方程 x=lnx 在(0,+)上只有一个实根【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 令 则 而所以 f(x)在 处取极小值,因 f(0)=0,则又 由 f(x)的连续性,知在中有一个零点 x0,另外 f(0)=0, f(x)在 上单调递减,在 上单调递增,故这样的零点是唯一的【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 令 F(x)=f(x)一 x0,则 F(x)在(一,+)上连续,且 由 知存在 ax 0,使得 F(a)0;存在 bx 0,使得 F(b)0,于是由零点定理知存在 x1(a,x 0),使得 F(x1)=0;存在 x2(x0,b),使得 F(x2)=0,即有 x1x 0 x2,使得 f(x1)=x0=f(x2),从而得ff(x1)=f(x0)=ff(x2),即 ff(x)至少在两点处取得最小值【知识模块】 一元函数微分学

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