1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 63 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 y=xx 在区间 上 ( )（A）不存在最大值和最小值（B）最大值是（C）最大值是（D）最小值是2 设函数 则 ( )（A）在其有定义的任何区间(x 1，x 2)内，f(x) 必是单调减少的（B）在点 x1 及 x2 处有定义，且当 x1x 2 时，必有 f(x1)f(x 2)（C）在其有定义的任何区间(x 1，x 2)内，f(x) 必是单调增加的（D）在点 x1 及 x2 处有定义，且当 x1x 2 时，必有 f(x1)f(x 2)3 设函数 f(x)在 x=0 处
2、连续，且 则 ( )（A）f(0)=0 且 f-(0)存在（B） f(0)=1 且 f-(0)存在（C） f(=)=0 且 f+(0)存在（D）f(0)=1 且 f+(0)存在4 设 f(x)在( 一，+)内可导，且对任意 x1，x 2，当 x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)，则 ( )（A）对任意 x，f(x)0（B）对任意 x，f(一 x)0（C）函数 f(一 x)单调增加（D）函数一 f(一 x)单调增加5 若 f(x)在点 x0 处可导，则|f(x)|在点 x0 处 ( )（A）必可导（B）连续，但不一定可导（C）一定不可导（D）不连续6 设函数 则 f(x)在点 x=0 处
3、 ( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导7 设 其中 f(x)在 x=0 处可导， f(0)0，f(0)=0 ，则 x=0是 F(x)的 ( )（A）连续点（B）第一类间断点（C）第二类间断点（D）连续点或间断点不能由此确定二、填空题8 曲线 的斜渐近线为_9 若 则 f(t)=_10 设函数 且 1+bx0，则当 f(x)在 x=0 处可导时，f(0)=_.11 若函数 在 处取得极值，则a=_12 已知 a，b e ，则不等式 成立的条件是 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 用导数定义证明：可导的偶函数的导函数是奇函数，而可导的
4、奇函数的导函数是偶函数14 用导数定义证明：可导的周期函数的导函数仍是周期函数，且其周期不变15 求 的反函数的导数16 求函数 的导数17 设 y=y(x)是由 确定的隐函数，求 y(0)和 y“(0)的值18 设函数 f(x)在=2 的某邻域内可导，且 f(x)=e f(x)，f(2)=1 ， 求 f(n)(2)19 设 a，b，c 是三个互不相等的常数，求 y(n)20 曲线 的切线与 x 轴和 y 轴围成一个图形，记切点的横坐标为 a，求切线方程和这个图形的面积当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何?21 设 又函数 f(x)可导，求 F(x)=f(x)的导数21 设 fn(x
5、)=x+x2+xn，n=2，3，22 证明方程 fn(x)=1 在0，+)上有唯一实根 xn；23 23 设 fn(x)=1 一(1 一 cosx)n，求证：24 对于任意正整数 n， 中仅有一根；25 设有 满足 则26 在数 中求出最大值27 证明：方程 x=lnx( 0)在(0 ，+) 上有且仅有一个实根28 设 0k1，f(x)=kxarctanx证明：f(x) 在(0 ，+)中有唯一的零点，即存在唯一的 x0(0，+)，使 f(x0)=029 f(x)在( 一，+)上连续， 且 f(x)的最小值 f(x0)x 0，证明：ff(x)至少在两点处取得最小值考研数学二（一元函数微分学）模拟
6、试卷 63 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 y=x x(In x+1)，令 y=0，得 当 时，y0，函数单调增加，故选(D) 【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)的定义域是( 一 0(3，3)(3，+)，其导数 则 f(x)在区间(一，3)及(3，+)上均是单调减少的，(B)，(D)可举反例，设 x 一 2，x 一 4 可排除(B)，设 x 一 4，x 一5 可排除(D)【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在 x 一 0 处连续，且 所以 f(0
7、)=0从而有 【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 根据单调性的定义直接可以得出 D 项正确【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 若取 f(x)=x 在 x=0 处可导，但|f(x)|=|x|在 x=0 处不可导，排除(A)若取 f(x)=x2 在 x=0 处可导，则|f(x)|=|x 2|在 x=0 处也可导，排除(C)，(D)故选(B)【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 不存在，故 f(0)不存在【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 F(0)=f(0)=0，【知识模块】 一元函数微分学二、填空
8、题8 【正确答案】 y=2x+1【试题解析】 所以斜渐近线为 y=2x+1【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 (2t+1)e 2t【试题解析】 故 f(t)=e2t+2te2t=(2t+1)e2t【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 由于 f(x)在 x=0 处可导，则在该点处连续，利用洛必达法则，所以 b=f(0)=一 1，再由导数的定义及洛必达法则，有 【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 2【试题解析】 f(x)=acosx+cos3x ，因 为极值点，则a=2这时 f“(x)=-2sinx-3sin3x，故 为极大值点【知识模块】 一元函数微
9、分学12 【正确答案】 e a b【试题解析】 令 则由 得 x=e当 xe 时，f(x)0，函数 f(x)单调递减，因此有 eab【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 由 f(一 x)=f(x)，而 故 f(x)为奇函数 由 f(一 x)=一 f(x)，而 故 f(x)为偶函数【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 设 f(x)的周期为 T，即 f(x+T)=f(x)，而 所以 f(x)仍是周期为 T 的周期函数【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 先求 yx，令 所以所以【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答
10、案】 【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 在方程中令 x=0 可得 将方程两边对 x 求导，得 将x=0，y(0)=e 2 代入式 ，有 即 y(0)=ee4 将式两边再对 x求导数，得 将 x=0，y(0)=e 2 和 y(0)=ee4 代入式，有 故 y“(0)=e3(3e3 一 4)【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 由 f(x)=ef(x)两边对 x 求导，得 f“(x)=e f(x)f(x)=e2f(x)， 两边再对 x 求导，得 f“(x)=e 2f(x)2f(x)=2e3f(x)， 两边再对 x 求导，得 f(4)(x)=2e 3f(x)3f(x)=3!e
11、4f(x)， 由以上规律可得 n 阶导数 f (n)(x)=(n 一 1)!enf(x)， 所以 f(n)(2)=(n 一 1)!en【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 运用高阶导数公式，得【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 先求曲线 在点 处的切线方程因为函数导数为 所以切线斜率 切线方程为 切线与 x 轴，y 轴的交点坐标分别为 A(3a，0)，于是AOB 的面积为 当切点沿 x轴正向趋于无穷远时，有 当切点沿 y 轴正向趋于无穷远时，有【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 当 x1 时，用复合函数求导法则求导得 当x=0 时 (分段点)，因 (0)=0，
12、 又 f(x)在 x=0 处可导，于是根据复合函数的求导法则，有 F(0)=f(0)(0)=0，所以 【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 f n(x)连续，且 fn(0)=0，f n(1)=n1，由介值定理可得，存在xn(0，1)，使 fn(xn)=1，n=2，3，又 x0 时， fn(x)=1+2x+nxn-10，故fn(x)严格单调递增，因此 xn 是 fn(x)一 1 在0，+)内的唯一实根【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 由(1)可得，x n(0，1)，n=2，3，所以x n有界 又因为fn(xn)一 1=fn+1(xn+1)，n=
13、2 ， 3，所以 x n+xn2+xnnxn+1+xn+12+xn+1n+xn+1n+1， 即(x n+xn2+xnn)一(x n+1+xn+12+xn+1n)=xn+1n+10，因此 xnx n+1(n=2，3，)，即x n严格单调递减于是由单调有界准则知 存在，记 由xn+xn2+xnn=1 得 因为 0x n1 ，所以 于是解得 即【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 因为 fn(x)连续，又 fn(0)=1， 所以由介值定理知存在使得 又因为 fn(x)=一 n(1 一 cosx)n-1sinx0，所以 fn(x)在 内严格单调递减因此，满足方程的
14、根 是唯一的，即 在 中仅有一根【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 因为 所以由保号性知，存在 N0，当 nN 时，有由 fn(x)的单调递减性质知由夹逼准则知【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 先考查连续函数 令得 x=e，且有当 xe 时，f(x)0，f(x)单调递增；当 xe 时，f(x)0，f(x)单调递减所以 f(e)为 f(x)的最大值，而2e3，于是所求的最大值必在 中取到，又因为所以 即最大值为【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 令 f(x)=lnx-x(0)，则 f(x)在(0，+)上 4 连续，f(1)=-10，故对任意 M0，存在 X1
15、，当 xX 时，有 f(x)M0任取 x0X，则 f(1)f(x0)0，根据零点定理知，存在 (1，x 0)，使得 f()=0，即方程x=lnx 在(0，+)上至少有一实根 又 lnx 在(0，+)上单调递增，因 0，一 x也单调递增，从而 f(x)在(0 ，+)上单调递增，因此方程 f(x)=0 在(0 ，+) 上只有一个实根，即方程 x=lnx 在(0，+)上只有一个实根【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 令 则 而所以 f(x)在 处取极小值，因 f(0)=0，则又 由 f(x)的连续性，知在中有一个零点 x0，另外 f(0)=0， f(x)在 上单调递减，在 上单调递增，故这样的零点是唯一的【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 令 F(x)=f(x)一 x0，则 F(x)在(一，+)上连续，且 由 知存在 ax 0，使得 F(a)0；存在 bx 0，使得 F(b)0，于是由零点定理知存在 x1(a，x 0)，使得 F(x1)=0；存在 x2(x0，b)，使得 F(x2)=0，即有 x1x 0 x2，使得 f(x1)=x0=f(x2)，从而得ff(x1)=f(x0)=ff(x2)，即 ff(x)至少在两点处取得最小值【知识模块】 一元函数微分学
