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[考研类试卷]考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷55及答案与解析.doc

1、考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷 55 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 已知 则在(一 ,+)内,下列结论中正确的是 ( )(A)f(x)不连续且不可微, F(x)可微且为 f(x)的一个原函数(B) f(x)不连续,不存在原函数,因而 F(x)不是 f(x)的原函数(C) f(x)和 F(x)均为可微函数,且 F(x)为 f(x)的一个原函数(D)f(x)连续,且 F(x)=f(x)2 设 f(x)是以 T 为周期的可微函数,则下列函数中以 T 为周期的函数是 ( )3 设 f(x)是以 2 为周期的连续函数, 则 ( )(A)G(x)是以

2、2 为周期的周期函数,G(x) 也是以 2 为周期的周期函数(B) G(x)是以 2 为周期的周期函数,G(x)不是以 2 为周期的周期函数(C) G(x)不是以 2 为周期的周期函数,G(x)是以 2 为周期的周期函数(D)G(x)不是以 2 为周期的周期函数,G(x) 也不是以 2 为周期的周期函数4 设常数 a 0,积分 则 ( )(A)I 1I 2(B) I1I 2(C) I1=I2(D)I 1 与 I2 的大小与 有关二、填空题5 6 7 8 设 f(x)连续,且 为常数,则9 设两曲线 y=f(x)与 在点(0,0)处有相同的切线,则10 设 n 是正整数,则11 12 位于 x

3、轴上区间一 a, a内质量为 m 的均匀细棒对位于 y 轴上点(0,一 a)处质量为 m0 的质点的引力为_13 设函数 f(x)在(0,+)上连续且对任意正值 a 与 b,积分 的值与 a 无关,且 f(1)=1,则 f(x)=_14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设函数 f(x)在a,b上连续,且 f(a)=0,试证明: 16 设 f(x),g(x) 在0 ,1上的导数连续,且 f(0)=0,f(x)0,g(x)0 证明:对任何a0,1,有 17 设 f(x)在a,b上连续,且 g(x)0,证明:存在一点 a,b,使 17 设 f(x)在区间一 a,a(a0)上具

4、有二阶连续导数,f(0)=018 写出 f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式;19 证明:在一 a,a上存在 ,使20 设 f(x)在0,1上连续, (0,1)内可导,且 试证:至少存在一点 (0,1),使f()=f()21 f(x)在0,1上连续,(0,1)内可导,且 证明:至少存在一点 (0,1),使 f()=(1 一 -1)f()22 铁锤将一铁钉击入木板,设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比,在击第一次时,将铁钉击入木板 1 cm 如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等,问铁锤击第二次时,铁钉又击入多少?23 设一锥形贮水池,深 15m,口径 20m,盛满水,今以吸筒将水吸尽,

5、问做多少功?24 设有一半径为 R,中心角为 的圆弧形细棒,其线密度为常数 ,在圆心处有一质量为 m 的质点 M,试求这细棒对质点 M 的引力25 求极限26 设常数 0a 1,求27 设 a,b 均为常数, a一 2,a0,求 a,b 为何值时,使 28 设 求曲线 y=f(x)与直线 所围成平面图形绕 x 轴旋转所成的旋转体的体积29 设 ab,证明:不等式考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷 55 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 可以验证 x=0 为 f(x)的第二类间断点,因为 故 x=0 为 f(x)的第二类振

6、荡间断点,可能存在原函数 通过计算,有 故 F(x)可微容易证明 F(x)=f(x),故(A) 正确【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 当 g(x+T)=g(x)时,因为 若则 反之,若 则因为 f(x)是以 T 为周期的函数,且所以是以 T 为周期的函数,即(D)正确;(A) 不正确,因为不一定有(B),(C) 显然也不正确【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 A【试题解析】 因为对任意的 x,有 所以 G(x)也是以 2 为周期的周期函数又 显然,G(x)也是以 2 为周期的周期函数故选择(A) 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 A【试题解析】

7、 当 时,cosxsinx, 所以 I1 一 I20故应选(A)【知识模块】 一元函数积分学二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 a【试题解析】 f(x)是抽象函数,不能具体地计算积分,要用积分中值定理然后再计算极限 所以【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 2【试题解析】 由已知条件知 f(0)=0, 故得 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 由 得 故 【知识模块】 一

8、元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 则 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 k 为引力系数【试题解析】 对于任意x,x+dx 一 a,a,将此小区间看作质点,其质量元素为 对应的引力元素为 其中 k 为引力系数 由对称性可知,其在 x 轴上的分力被对称于 y 轴的小区间上分力所抵消,而 所以 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 由 与 a 无关,所以 即 f(ab)b 一f(a)0 上式对任意 a 成立,所以令 a=1 亦应成立,有 f(b)b 一 f(1)=0,即有 可以验算, 与 a无关【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 为任意常

9、数【试题解析】 C 为任意常数【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 因为 而 所以 【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 令则 F(a)=g(a)f(a)一 f(a)g(1)=f(a)g(a)一 g(1) 因为 x0,1时,f(x)0 ,g(x)0,即函数 f(x),g(x) 在0 ,1上单调递增,又 a1,所以 F(a)=f(a)g(a)一 g(1)0,即函数 F(a)在0,1上单调递减,又 所以 F(a)F(1)=0,即 即 【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 因 f(x)在a ,b上连续,故 mf(x)M

10、因为 g(x)0,所以 mg(x)f(x)g(x)Mg(x),故 从而由介值定理得,存在 a,b,使得 【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 对任意 x-a,a,有 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 由上题易得因为f“(x)在一 a,a上连续,故 mf“(x)M,x-a,a故 mx 2f“()x2Mx2, 由介值定理知,存在 一 a,a ,使得 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 令 且有 由此可知 f(c)0,否则f(1)=0,与题设 f(0)f(1)0 矛盾,不妨设 f?0,则 f(1)0,f(0)0 由连续函数的零点定理知存

11、在 a(0, c),b(c ,1),使 f(a)=f(b)=0,即 F(a)=F(b),由罗尔定理可知,存在 (a,b) ,使 F()=0,即 由得 f()=f()【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 令 F(x)=xe-xf(x),则由中值定理得 F(1)=e-1f(1)=e-f()=F(),故在,1 0,1上,对 F(x)运用罗尔定理,可得存在 (,1) (0,1) ,使f()=(1 一 -1)f()【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 由题设知阻力 f=kx(其中 k 为比例系数),设第二次锤击时击入了Lcm,则第一次锤击时所做的功 第二次锤击时所做的功因 W1=W2

12、,故有 L2+2L=1,解方程得 舍去负值,则得【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 如图 133 所示建立坐标系, 取 x 为积分变量,0,15为积分区间,由图上数据可知 由此可知锥型贮水池在 x 处截面半径为 区间x,x+dx 上所对应之体积元素 做功元素 故所做功为 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 如图 134 所示建立坐标系,并把质点 M 放在原点 O,取 作为积分变量, 为积分区间,典型区间为,+d所对应的圆弧形细棒小段可近似看作质点,其质量为 Rd,与 M 相距为 R,它对于质点 M 的引力F的大小为 其中 k 为引力系数 在 x 轴上的投影, 从而得出

13、于是 由对称性可知 Fy=0【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 对后者作积分变换 x=t ,得 所以 【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 而若 b 一 a0,上述极限不存在,所以要使原等式成立,必须有 a=b,那么 所以解得 a=b=8e-2 一 2【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 先求 f(x)的表达式,注意到函数 ex 在 x+与 x一 的极限,可知 当 x0 时,y=f(x)与的交点横坐标为 x=1,且当 0x1 时, 所以所求旋转体体积 其中,令 x=tant 得, 【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 构造辅助函数则 F(a)=0,且 所以 F(b)0,即 即 【知识模块】 一元函数积分学

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