1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 55 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 则在(一 ，+)内，下列结论中正确的是 ( )（A）f(x)不连续且不可微， F(x)可微且为 f(x)的一个原函数（B） f(x)不连续，不存在原函数，因而 F(x)不是 f(x)的原函数（C） f(x)和 F(x)均为可微函数，且 F(x)为 f(x)的一个原函数（D）f(x)连续，且 F(x)=f(x)2 设 f(x)是以 T 为周期的可微函数，则下列函数中以 T 为周期的函数是 ( )3 设 f(x)是以 2 为周期的连续函数， 则 ( )（A）G(x)是以
2、2 为周期的周期函数，G(x) 也是以 2 为周期的周期函数（B） G(x)是以 2 为周期的周期函数，G(x)不是以 2 为周期的周期函数（C） G(x)不是以 2 为周期的周期函数，G(x)是以 2 为周期的周期函数（D）G(x)不是以 2 为周期的周期函数，G(x) 也不是以 2 为周期的周期函数4 设常数 a 0，积分 则 ( )（A）I 1I 2（B） I1I 2（C） I1=I2（D）I 1 与 I2 的大小与 有关二、填空题5 6 7 8 设 f(x)连续，且 为常数，则9 设两曲线 y=f(x)与 在点(0，0)处有相同的切线，则10 设 n 是正整数，则11 12 位于 x
3、轴上区间一 a， a内质量为 m 的均匀细棒对位于 y 轴上点(0，一 a)处质量为 m0 的质点的引力为_13 设函数 f(x)在(0，+)上连续且对任意正值 a 与 b，积分 的值与 a 无关，且 f(1)=1，则 f(x)=_14 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设函数 f(x)在a，b上连续，且 f(a)=0，试证明： 16 设 f(x)，g(x) 在0 ，1上的导数连续，且 f(0)=0，f(x)0，g(x)0 证明：对任何a0，1，有 17 设 f(x)在a，b上连续，且 g(x)0，证明：存在一点 a，b，使 17 设 f(x)在区间一 a，a(a0)上具
4、有二阶连续导数，f(0)=018 写出 f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；19 证明：在一 a，a上存在 ，使20 设 f(x)在0，1上连续， (0，1)内可导，且 试证：至少存在一点 (0，1)，使f()=f()21 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导，且 证明：至少存在一点 (0，1)，使 f()=(1 一 -1)f()22 铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入木板 1 cm 如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等，问铁锤击第二次时，铁钉又击入多少?23 设一锥形贮水池，深 15m，口径 20m，盛满水，今以吸筒将水吸尽，
5、问做多少功?24 设有一半径为 R，中心角为 的圆弧形细棒，其线密度为常数 ，在圆心处有一质量为 m 的质点 M，试求这细棒对质点 M 的引力25 求极限26 设常数 0a 1，求27 设 a，b 均为常数， a一 2，a0，求 a，b 为何值时，使 28 设 求曲线 y=f(x)与直线 所围成平面图形绕 x 轴旋转所成的旋转体的体积29 设 ab，证明：不等式考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 55 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 可以验证 x=0 为 f(x)的第二类间断点，因为 故 x=0 为 f(x)的第二类振
6、荡间断点，可能存在原函数 通过计算，有 故 F(x)可微容易证明 F(x)=f(x)，故(A) 正确【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 D【试题解析】 当 g(x+T)=g(x)时，因为 若则 反之，若 则因为 f(x)是以 T 为周期的函数，且所以是以 T 为周期的函数，即(D)正确；(A) 不正确，因为不一定有(B)，(C) 显然也不正确【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 A【试题解析】 因为对任意的 x，有 所以 G(x)也是以 2 为周期的周期函数又 显然，G(x)也是以 2 为周期的周期函数故选择(A) 【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 A【试题解析】
7、 当 时，cosxsinx， 所以 I1 一 I20故应选(A)【知识模块】 一元函数积分学二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 a【试题解析】 f(x)是抽象函数，不能具体地计算积分，要用积分中值定理然后再计算极限 所以【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 2【试题解析】 由已知条件知 f(0)=0， 故得 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 【试题解析】 由 得 故 【知识模块】 一
8、元函数积分学11 【正确答案】 【试题解析】 则 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 k 为引力系数【试题解析】 对于任意x，x+dx 一 a，a，将此小区间看作质点，其质量元素为 对应的引力元素为 其中 k 为引力系数 由对称性可知，其在 x 轴上的分力被对称于 y 轴的小区间上分力所抵消，而 所以 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 由 与 a 无关，所以 即 f(ab)b 一f(a)0 上式对任意 a 成立，所以令 a=1 亦应成立，有 f(b)b 一 f(1)=0，即有 可以验算， 与 a无关【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 为任意常
9、数【试题解析】 C 为任意常数【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 因为 而 所以 【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 令则 F(a)=g(a)f(a)一 f(a)g(1)=f(a)g(a)一 g(1) 因为 x0，1时，f(x)0 ，g(x)0，即函数 f(x)，g(x) 在0 ，1上单调递增，又 a1，所以 F(a)=f(a)g(a)一 g(1)0，即函数 F(a)在0，1上单调递减，又 所以 F(a)F(1)=0，即 即 【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 因 f(x)在a ，b上连续，故 mf(x)M
10、因为 g(x)0，所以 mg(x)f(x)g(x)Mg(x)，故 从而由介值定理得，存在 a，b，使得 【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 对任意 x-a，a，有 【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 由上题易得因为f“(x)在一 a，a上连续，故 mf“(x)M，x-a，a故 mx 2f“()x2Mx2， 由介值定理知，存在 一 a，a ，使得 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 令 且有 由此可知 f(c)0，否则f(1)=0，与题设 f(0)f(1)0 矛盾，不妨设 f?0，则 f(1)0，f(0)0 由连续函数的零点定理知存
11、在 a(0， c)，b(c ，1)，使 f(a)=f(b)=0，即 F(a)=F(b)，由罗尔定理可知，存在 (a，b) ，使 F()=0，即 由得 f()=f()【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 令 F(x)=xe-xf(x)，则由中值定理得 F(1)=e-1f(1)=e-f()=F()，故在，1 0，1上，对 F(x)运用罗尔定理，可得存在 (，1) (0，1) ，使f()=(1 一 -1)f()【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 由题设知阻力 f=kx(其中 k 为比例系数)，设第二次锤击时击入了Lcm，则第一次锤击时所做的功 第二次锤击时所做的功因 W1=W2
12、，故有 L2+2L=1，解方程得 舍去负值，则得【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 如图 133 所示建立坐标系， 取 x 为积分变量，0，15为积分区间，由图上数据可知 由此可知锥型贮水池在 x 处截面半径为 区间x，x+dx 上所对应之体积元素 做功元素 故所做功为 【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 如图 134 所示建立坐标系，并把质点 M 放在原点 O，取 作为积分变量， 为积分区间，典型区间为，+d所对应的圆弧形细棒小段可近似看作质点，其质量为 Rd，与 M 相距为 R，它对于质点 M 的引力F的大小为 其中 k 为引力系数 在 x 轴上的投影， 从而得出
13、于是 由对称性可知 Fy=0【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 对后者作积分变换 x=t ，得 所以 【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 而若 b 一 a0，上述极限不存在，所以要使原等式成立，必须有 a=b，那么 所以解得 a=b=8e-2 一 2【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 先求 f(x)的表达式，注意到函数 ex 在 x+与 x一 的极限，可知 当 x0 时，y=f(x)与的交点横坐标为 x=1，且当 0x1 时， 所以所求旋转体体积 其中，令 x=tant 得， 【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 构造辅助函数则 F(a)=0，且 所以 F(b)0，即 即 【知识模块】 一元函数积分学
