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[考研类试卷]考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷57及答案与解析.doc

1、考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷 57 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 则 F(x) ( )(A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数2 设 f(x)是以 l 为周期的周期函数,则 之值 ( )(A)仅与 a 有关(B)仅与 a 无关(C)与 a 及 k 都无关(D)与 a 及 k 都有关3 设则 ( )(A)NPM(B) MPN(C) NM P(D)PM N4 下列反常积分收敛的是 ( ) 5 二、填空题6 设 则 a=_7 设 是 f(x)的一个原函数,则8 设 f(x)有一个原函数 则9 10 设 y=y(x),如果 y(

2、0)=1,且当 x+ 时,y0,则y=_11 设 f(x)连续,则12 13 14 曲线 9y2=4x3(y0)上从 x=0 到 x=1 的一段弧的长度为 _15 积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0,y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x,y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线,上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为S1,区间0,x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2,并设 2S1 一 S2 恒为 1,求此曲线 y=y(x)的方程17 设有一正椭圆柱体,其底面的长、短轴分别为 2a,2b,用过此柱

3、体底面的短轴且与底面成 角 的平面截此柱体,得一楔形体(如图 132),求此楔形体的体积 V 18 设 f(x)在( 一,+)内连续,以 T 为周期,证明: 19 计算不定积分20 计算定积分21 已知 求22 直线 y=x 将椭圆 x2+3y2=6y 分为两块,设小块面积为 A,大块面积为 B,求的值23 设 f(x)是( 一,+)上的连续非负函数,且 求 f(x)在区间0 , 上的平均值23 设24 说明 y=f(x)为奇函数,并求其曲线的水平渐近线;25 求曲线 y=f(x)与它所有水平渐近线及 y 轴围成图形的面积26 设函数 f(x)在0,1上连续, (0,1)内可导,且 证明:在(

4、0,1)内存在一点 ,使 f()=027 设 f(x),g(x) 在a,b 上连续,证明:至少存在一点 (a,b),使得 28 设 f(x)在区间0,1上连续,在 (0,1)内可导,且满足 证明:存在 (0,1),使得 f()=2()29 设函数 f(x)有连续导数, 证明: F(2a)一 2F(2a)=f2(a)一 f(0)f(2a)30 f(x)在0,1上有连续导数,且 f(0)=0,证明:存在 0,1,使得 31 设 f(x)与 g(x)在0 ,1上都是正值连续函数,且有相同的单调性试讨论 的大小关系考研数学二(一元函数积分学)模拟试卷 57 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中

5、,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因 esinxsinx 是以 2 为周期的周期函数,所以 又esinxcos 2x0,且不恒等于 0,故选(A)【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)是以 l 为周期的周期函数,所以 故此积分与 a 及 k 都无关【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 D【试题解析】 因 是奇函数,所以 M=0 所以PMN【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 选项(A) 中,故发散; 在选项(B)中, 在选项(C)中, 收敛; 在选项(D) 中, 发散【知识模块】 一元函数积分学5

6、 【正确答案】 B【试题解析】 此题若立刻作变换 tanx=t 或 则在 0x2 上不能确定出单值连续的反函数 x=(t)可先利用周期性和奇偶性将积分区间缩小,在此小区间上作变换 tanx=t 在第 2 式中作变换 x= 一 t,即可化为第 1 式,于是 【知识模块】 一元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 2【试题解析】 所以 ea=(a 一 1)ea,a=2【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】 由于是 f(x)的原函数,所以 所以 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 一 2+2+6【试题解析】 因 是 f(x)的原函数, 所以 【知识模块】 一元函数积分学

7、9 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 e -x【试题解析】 由已知得 由不定积分定义有 所以 即分离变量,两边积分,再由已知条件得结果 y=e-x【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 xf(x 2)【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 令 则 x=t2+2,dx=2tdt,所以 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 曲线方程可化为 弧长元素 所以弧长 【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】

8、其中 C 为任意常数【试题解析】 设 则 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 曲线 y=y(x)上点 P(x,y)处的切线方程为 Y y=y(Xx) 它与 x轴的交点为 由于 y(x)0,y(0)=1 ,从而 y(x)0,于是 又 由条件 2S1 一 S2=1 知 两边对 x 求导并化简得 yy“=(y)2令 p=y,则上述方程可化为 从而解得 p=C1y,即 于是 y=eC1x+C2 注意到 y(0)=1,并由式得 y(0)=1由此可得 C1=1,C 2=0,故所求曲线的方程是 y=ex【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案

9、】 方法一 底面椭圆的方程为 以垂直于 y 轴的平行平面截此楔形体所得的截面为直角三角形,两直角边长分别为 及故截面积 楔形体的体积 方法二 底面椭圆方程为以垂直于 x 轴的平行平面截此楔形体所得的截面为矩形,其边长分别为 及 xtan,故截面面积 楔形体的体积 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 (1)方法一 由上可得 方法二 其中 代入上式得 (2)以 T 为周期(3)只需注意是 f(x)的一个原函数【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 令 对于任意的 有 用变量代换可得 所以【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案

10、】 令 上式两边对 a 求导得 令 y=2ax,则dy=2adx,所以 将上式积分可得 由于 所以 C=0,令 a=1,得到【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 直线与椭圆的交点为(0,0), 则 令 y 一 1=sint,则 而 所以 由于椭圆面积为 故从而有【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 令 x 一 t=u,则则 F(x)F(x)=sin4x,两端在(0,) 上积分得 故 又 f(x)是非负函数,可知 从而 f(x)在区间0,上的平均值为【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 显然,g(0)=1,而当 x0时,由“1 ”型极限得

11、 其中于是不论 x 是否为零都有 g(x)=e-x2, 因令t=一 u,有 故 f(x)为奇函数因 故 y=f(x)有两条水平渐近线【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 由所求平面图形的对称性及分部积分法得所求的面积为 其中,由洛必达法则得而 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 由积分中值定理知,在 上存在一点 1,使 从而有 f(1)=f(0),故 f(x)在区间0, 1上满足罗尔定理条件,因此在(0, 1)内存在一点 ,使 f()=0, (0, 1) (0,1)【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 记 求得 G(x)的原函数为 其中 C 为任意常数,因为 f

12、(x),g(x)在a, b上连续,所以 F(x)在 a,b上连续,在(a ,b)内可导,且 F(a)=F(b)=C,即F(x)在a,b上满足罗尔定理,所以至少存在一点 (a,b),使得 F()=0,即【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 由积分中值定理,得 令F(x)=e1-x2f(x),则 F(x)在 1,1上连续,在( 1,1) 内可导,且 F(1)=f(1)=e 1-12(1)=F(1) 由罗尔定理知,在( 1,1)内至少有一点 ,使得 F ,()=e 1-2f()一 2f()=0,由于 e1-20,于是 f()=2f(), (1,1) (0,1)【知识模块】 一元函数积分学2

13、9 【正确答案】 其中所以 又所以, F(2a) 一 2F(a)=f2(a)一 f(0)f(2a)【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 因为 f(x)在0 ,1上连续,所以 f(x)在0,1上有最小值和最大值,设为 m,M ,即有 x1,x 2Eo,1,使 f(x1)=m,f(x 2)=M 由中值定理知,对任意x0,1,存在 (0,x),使 f(x)=f(x)一 f(0)=f()x,于是有 f(x 1)x=mxf(x)=f(x)一 f(0)=f()xMx=f(x2)x,积分得 因为 f(x)在0,1 上连续,由介值定理知,必有 x1,x 2 0,1或 x2,x 10, 1,使【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 考虑分子,并令 有 (0)=0,且 题设 f(x)与 g(x)有相同的单调性,从而知 f(t)一 f(x)g(t)一 g(x)0又因 f(t)0,f(x)0,故当 t0 时,(t)0从而推知当 t0 时,(t)0 ,所以 I1I2【知识模块】 一元函数积分学

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