1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 57 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 则 F(x) ( )（A）为正常数（B）为负常数（C）恒为零（D）不为常数2 设 f(x)是以 l 为周期的周期函数，则 之值 ( )（A）仅与 a 有关（B）仅与 a 无关（C）与 a 及 k 都无关（D）与 a 及 k 都有关3 设则 ( )（A）NPM（B） MPN（C） NM P（D）PM N4 下列反常积分收敛的是 ( ) 5 二、填空题6 设 则 a=_7 设 是 f(x)的一个原函数，则8 设 f(x)有一个原函数 则9 10 设 y=y(x)，如果 y(
2、0)=1，且当 x+ 时，y0，则y=_11 设 f(x)连续，则12 13 14 曲线 9y2=4x3(y0)上从 x=0 到 x=1 的一段弧的长度为 _15 积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为S1，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1 一 S2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程17 设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为 2a，2b，用过此柱
3、体底面的短轴且与底面成 角 的平面截此柱体，得一楔形体(如图 132)，求此楔形体的体积 V 18 设 f(x)在( 一，+)内连续，以 T 为周期，证明： 19 计算不定积分20 计算定积分21 已知 求22 直线 y=x 将椭圆 x2+3y2=6y 分为两块，设小块面积为 A，大块面积为 B，求的值23 设 f(x)是( 一，+)上的连续非负函数，且 求 f(x)在区间0 ， 上的平均值23 设24 说明 y=f(x)为奇函数，并求其曲线的水平渐近线；25 求曲线 y=f(x)与它所有水平渐近线及 y 轴围成图形的面积26 设函数 f(x)在0，1上连续， (0，1)内可导，且 证明：在(
4、0，1)内存在一点 ，使 f()=027 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，证明：至少存在一点 (a，b)，使得 28 设 f(x)在区间0，1上连续，在 (0，1)内可导，且满足 证明：存在 (0，1)，使得 f()=2()29 设函数 f(x)有连续导数， 证明： F(2a)一 2F(2a)=f2(a)一 f(0)f(2a)30 f(x)在0，1上有连续导数，且 f(0)=0，证明：存在 0，1，使得 31 设 f(x)与 g(x)在0 ，1上都是正值连续函数，且有相同的单调性试讨论 的大小关系考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 57 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中
5、，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因 esinxsinx 是以 2 为周期的周期函数，所以 又esinxcos 2x0，且不恒等于 0，故选(A)【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)是以 l 为周期的周期函数，所以 故此积分与 a 及 k 都无关【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 D【试题解析】 因 是奇函数，所以 M=0 所以PMN【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 选项(A) 中，故发散； 在选项(B)中， 在选项(C)中， 收敛； 在选项(D) 中， 发散【知识模块】 一元函数积分学5
6、 【正确答案】 B【试题解析】 此题若立刻作变换 tanx=t 或 则在 0x2 上不能确定出单值连续的反函数 x=(t)可先利用周期性和奇偶性将积分区间缩小，在此小区间上作变换 tanx=t 在第 2 式中作变换 x= 一 t，即可化为第 1 式，于是 【知识模块】 一元函数积分学二、填空题6 【正确答案】 2【试题解析】 所以 ea=(a 一 1)ea，a=2【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 【试题解析】 由于是 f(x)的原函数，所以 所以 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 一 2+2+6【试题解析】 因 是 f(x)的原函数， 所以 【知识模块】 一元函数积分学
7、9 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 e -x【试题解析】 由已知得 由不定积分定义有 所以 即分离变量，两边积分，再由已知条件得结果 y=e-x【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 xf(x 2)【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 【试题解析】 令 则 x=t2+2，dx=2tdt，所以 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 曲线方程可化为 弧长元素 所以弧长 【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】
8、其中 C 为任意常数【试题解析】 设 则 【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程为 Y y=y(Xx) 它与 x轴的交点为 由于 y(x)0，y(0)=1 ，从而 y(x)0，于是 又 由条件 2S1 一 S2=1 知 两边对 x 求导并化简得 yy“=(y)2令 p=y，则上述方程可化为 从而解得 p=C1y，即 于是 y=eC1x+C2 注意到 y(0)=1，并由式得 y(0)=1由此可得 C1=1，C 2=0，故所求曲线的方程是 y=ex【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案
9、】 方法一 底面椭圆的方程为 以垂直于 y 轴的平行平面截此楔形体所得的截面为直角三角形，两直角边长分别为 及故截面积 楔形体的体积 方法二 底面椭圆方程为以垂直于 x 轴的平行平面截此楔形体所得的截面为矩形，其边长分别为 及 xtan，故截面面积 楔形体的体积 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 (1)方法一 由上可得 方法二 其中 代入上式得 (2)以 T 为周期(3)只需注意是 f(x)的一个原函数【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 令 对于任意的 有 用变量代换可得 所以【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案
10、】 令 上式两边对 a 求导得 令 y=2ax，则dy=2adx，所以 将上式积分可得 由于 所以 C=0，令 a=1，得到【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 直线与椭圆的交点为(0，0)， 则 令 y 一 1=sint，则 而 所以 由于椭圆面积为 故从而有【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 令 x 一 t=u，则则 F(x)F(x)=sin4x，两端在(0，) 上积分得 故 又 f(x)是非负函数，可知 从而 f(x)在区间0，上的平均值为【知识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 显然，g(0)=1，而当 x0时，由“1 ”型极限得
11、 其中于是不论 x 是否为零都有 g(x)=e-x2， 因令t=一 u，有 故 f(x)为奇函数因 故 y=f(x)有两条水平渐近线【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 由所求平面图形的对称性及分部积分法得所求的面积为 其中，由洛必达法则得而 【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 由积分中值定理知，在 上存在一点 1，使 从而有 f(1)=f(0)，故 f(x)在区间0， 1上满足罗尔定理条件，因此在(0， 1)内存在一点 ，使 f()=0， (0， 1) (0，1)【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 记 求得 G(x)的原函数为 其中 C 为任意常数，因为 f
12、(x)，g(x)在a， b上连续，所以 F(x)在 a，b上连续，在(a ，b)内可导，且 F(a)=F(b)=C，即F(x)在a，b上满足罗尔定理，所以至少存在一点 (a，b)，使得 F()=0，即【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 由积分中值定理，得 令F(x)=e1-x2f(x)，则 F(x)在 1，1上连续，在( 1，1) 内可导，且 F(1)=f(1)=e 1-12(1)=F(1) 由罗尔定理知，在( 1，1)内至少有一点 ，使得 F ，()=e 1-2f()一 2f()=0，由于 e1-20，于是 f()=2f()， (1，1) (0，1)【知识模块】 一元函数积分学2
13、9 【正确答案】 其中所以 又所以， F(2a) 一 2F(a)=f2(a)一 f(0)f(2a)【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上连续，所以 f(x)在0，1上有最小值和最大值，设为 m，M ，即有 x1，x 2Eo，1，使 f(x1)=m，f(x 2)=M 由中值定理知，对任意x0，1，存在 (0，x)，使 f(x)=f(x)一 f(0)=f()x，于是有 f(x 1)x=mxf(x)=f(x)一 f(0)=f()xMx=f(x2)x，积分得 因为 f(x)在0，1 上连续，由介值定理知，必有 x1，x 2 0，1或 x2，x 10， 1，使【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 考虑分子，并令 有 (0)=0，且 题设 f(x)与 g(x)有相同的单调性，从而知 f(t)一 f(x)g(t)一 g(x)0又因 f(t)0，f(x)0，故当 t0 时，(t)0从而推知当 t0 时，(t)0 ，所以 I1I2【知识模块】 一元函数积分学
