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[专升本类试卷]湖北省专升本(高等数学)模拟试卷4及答案与解析.doc

1、湖北省专升本(高等数学)模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。1 已知函数 f(x)的定义域为-1 ,2,则函数 F(x)=f(x+2)+f(2x)的定义域为( )(A)-3,0(B) 3,1(C) -12,1(D)-12 ,02 极限 等于( )(A)(B)不存在(C) 0(D)13 设 f(x)= 则 x=0 是函数 f(x)的( )(A)可去间断点(B)第二类间断点(C)连续点(D)跳跃间断点4 下列区间中,使方程 x4-x-1=0 至少有一个根的区间是( )(A)(0 ,12)(B) (12,1)(C) (2,3)(D)(1 ,2)5 f(

2、x)=(x-x0)(x)其中 f(x0)可导,则 f(x0)=( )(A)0(B) (x0)(C) (x0)(D)6 设 f(x)=xnsin (x0)且 f(0)=0,则 f(x)在 x=0 处( )(A)仅当 =f(0)=0 时才可微(B)在任何条件下都可微(C)当且仅当 n1 时才可微(D)因 sin 在 x=0 处无定义,所以不可微7 若 f(x)在a,+)上二次可微,且 f(x)0,f(a) 0,f“(x)0(x a),则方程 f(x)=0在a ,+)上( )(A)没有实根(B)有多个实根(C)有且仅有一个实根(D)无法判断是否有实根8 下列函数在-1,1上满足罗尔定理条件的是( )

3、(A)y=1x(B) y=1+|x|(C) y=x(x2-1)(D)y=ln(1+x)9 设函数 f(x)有连续的二阶导数,且 f(0)=0, =1,则( )(A)f(0)是函数的极大值(B) f(0)是函数的极小值(C) (0,f(0)是曲线 y=f(x)的拐点(D)f(0)不是 f(x)的极值,(0,f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点10 若d(f(x)=d(g(x),则下列各式中不成立的是( )(A)f(x)=g(x)(B) f(x)=g(x)(C) d(f(x)=d(g(x)(D)df(x)dx=dg(x)dx11 由曲线 y=1x,直线 y=x 及 x=2 所围图形面积为 ( )

4、12 I=02 dx,则求该积分时正确做法为 I=( )13 对于非零向量 a、b 满足 (a+3b)(7a-5b),(a-4b)(7a-2b),则向量 a、b 夹角为( )(A)6(B) 4(C) 3(D)214 曲线 在 xOy 平面上投影曲线方程为 ( )15 函数 f(x, y)在点(x 0,y 0)处的偏导存在是函数 f(x,y)在该点连续的( )(A)充分条件不是必要条件(B)必要条件但不是充分条件(C)充要条件(D)既不是充分条件,也不是必要条件16 函数 的定义域为( )(A)1x 2+y24(B) 1x 2+y24(C) 1x2+y24(D)1x 2+y2417 改变 12d

5、x f(x,y)dy 积分顺序后为( )(A) 01dy2-y2f(x,y)dx(B) 01dy2-y2f(x,y)dx+ 14dy f(x,y)dx(C) 04dy2-y5yf(x,y)dx(D) 01dy22-yf(x,y)dx+ 14dy25yf(x,y)dx18 设区域 D 为 x2+y2R2,则 dxdy=( )(A) Rdxdy=R3(B) 02d0Rrdr=R2(C) 02d0Rr2dr=23R 3(D) 02d0RR2dr=2R319 简单闭曲线 C 所围区域 D 的面积为( )20 设 un=(-1)nln(1+ ),则级数( )21 设有数 收敛(a 为常数 ),则有( )

6、(A)q1(B) |q|1(C) q-1(D)|q|122 级数 ne-nx 的收敛域是 ( )(A)x-1(B) x0(C) 0x1(D)-1 x023 微分方程 y“-2y=x 的特解应设为 y*=( )(A)Ax(B) Ax+B(C) Ax2+Bx(D)Ax 2+Bx+C24 函数 y=f(x)图形上点(0,-2)处的切线方程为 2x-3y=6,且该函数满足微分方程y“=6x,则此函数为( )(A)y=x 3-2(B) y=3x2+2(C) 3y-3x2-2x+6=0(D)y=x 3+ x25 微分方程 xdy-ydx=y2eydy 的通解为( )(A)y=x(e x+C)(B) x=y

7、(ey+C)(C) y=x(C-ex)(D)x=y(C-e y)26 若函数 f(x)满足 f(x0)=0,f“(x 0)0,则函数 y=f(x)在点 x0 处将取得( )(A)极小值(B)极大值(C)最小值(D)最大值27 求广义积分 2+ dx=( )(A)(B) 0(C) 1(D)228 求 dt=( )29 设 anx2n+1 州的收敛半径 R 为( )(A)R=2(B) R=1(C) R=(D)R=30 函数 z= 的定义域为( )(A)(x,y)|x+y1(B) (x,y)|x+y 1(C) (x,y)|x+y2(D)(x,y)|x+y1 且 x+y2二、填空题31 设函数 f(x

8、)= ,则 f(-x)=_32 设 g(x)= 则 gf(x)=_33 设 f (x-1),则 f(1)=_34 函数 f(x)=ln(arcsinx)的连续区间是 _35 设 f(x)=(x-1)|x-1|,则 f(1)=_36 由方程 yx=xy 所确定的隐函数 y=y(x)的导数 dydx=_ 37 若 f(x)是可导函数,y=f(sin 2x)+f(cos2x),则 y=_38 曲面 2x3-yez-ln(z+1)=0 在点(1 ,2,0)处的切平面方程为_39 设 y=f(x)是方程 y“-2y+4y=0 的一个解,若 f(x0)0,且 f(x0)=0,则函数在 x0 有极_值40

9、满足 f(x)+xf(-x)=x 的函数 f(x)是_41 定积分 -(x2+sinx)dx=_42 已知 a,b ,c 为非零向量,且两两不平行,但 a+b 与 c 平行,b+c 与 a 平行,则 a+b+c=_43 u= , du|(1,1,1) =_44 交换二次积分次序 01dx0xf(x,y)dy=_ 45 微分方程 y“-6y+9y=0 的通解为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 47 设函数 y=y(x)由方程 y=arctan 确定,求 y48 求不定积分e xln(1+e x)dx49 计算定积分 14 dx50 设 z=f(exsiny,x 2+y2),其中 f(

10、u,v)可微,求51 计算 dxdy,其中 D 是第一象限中由直线 y=x 和 y=x3 围成的封闭区域52 将函数 f(x)=lnx 展开成(x-2)的幂级数,并指出收敛区间53 求解微分方程 2xy=y+2x2 满足 y|x=1=1 的特解四、综合题54 (1)求曲线 y=x2,y=2-x 2 所围图形的面积 (2)求(1)中图形绕 y 轴旋转一周所生成的旋转体体积55 设 f(x)具有二阶导数,试确定 f(x),使曲线积分 Ce-x-2f(x)-f(x)ydx+f(x)dy 与积分路径无关五、证明题56 证明:当 x0 时,x- x2ln(1+x)湖北省专升本(高等数学)模拟试卷 4 答

11、案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 A【试题解析】 (0)=0,所以 x=0 为可去间断点4 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)=x4-x-1 则 f(1)0,f(2)0 由连续函数介值定理,至少存在一点 (1,2),使 f()=0,即 为方程 f(x)=0 的根5 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=(x)+(x-x 0)(x),所以 f(x0)=(x0)6 【正确答案】 C【试题解析】 当 n1 时, =0,即 f(0)=07 【正确答案】 C【试题解析】 因 f

12、(a)=A0,且 f(a)0,所以过点(以,A)的切线倾斜角为第象限角,切线如图所示设其与 x 轴交点为 C,又 f“(x)0(xa),所以曲线为凸即曲线必位于过(a,A)点切线的下方再 f(x)为减函数由于 f(a)0,所以f(x)0,说明 f(x)为减函数,于是 f(x)与 x 轴只有一个交点为 B,且 BC,即方程 f(x)=0 仅有一个实根8 【正确答案】 C【试题解析】 对于 A 选项 f(-1)=-1f(1)=1,所以 A 不正确;对于 B 选项 f-(0)=-1f+(0)=1,所以 B 不正确;对于 C 选项满足罗尔定理的条件;对于 D 选项 x-1,故选 C9 【正确答案】 C

13、【试题解析】 因函数 f(x)有连续的二阶偏导数,且 =10,可知:f“(0)=0,且 x0 时,f“(x)0,x0 时,f“(x)0,故点(0,f(0)为拐点10 【正确答案】 A【试题解析】 由d(f(x)=d(g(x),可得 f(x)=g(x)+C11 【正确答案】 B【试题解析】 先画图,由图易知:选 B12 【正确答案】 B【试题解析】 13 【正确答案】 C【试题解析】 由 得ab=b 22, ab=a 22 所以(ab) 2=14 【正确答案】 B【试题解析】 联立方程消去 z 可行,通过该曲线母线平行 z 轴的柱面 y2=2x-9,用z=0 平面去截柱面便可得曲线在 xOy 面

14、上投影曲线为15 【正确答案】 D【试题解析】 多元函数偏导数存在是否与函数在该点的连续性没有关系16 【正确答案】 A【试题解析】 由 得 x2+y24且,由 arcsin ,得 x2+y2117 【正确答案】 B【试题解析】 积分区域 D: ,如图所示,可将 D 写成 D1+D2,18 【正确答案】 C【试题解析】 19 【正确答案】 D【试题解析】 在格林公式中 dxdy=CPdx+Qdy 取 Q=x,P=-y,因 2dxdy=C-ydx+xdy 所以闭曲线 C 所围面积为 Cxdy-ydx20 【正确答案】 C【试题解析】 为交错级数,且满足莱布尼兹收敛条件,其为收敛的;而级数 发散故

15、应选 C21 【正确答案】 D【试题解析】 当|q|1 时,级数 为公比绝对值小于 1 的几何级数是收敛的,所以级数 收敛22 【正确答案】 B【试题解析】 =e-x1 即 x0 时,级数收敛23 【正确答案】 C【试题解析】 因对应齐次方程 y“-2y=0 缺函数 y,而非齐次项 f(x)=x 为一次函数,故特解应设为:y*=(Ax+B)x24 【正确答案】 C【试题解析】 因 y“=6x,所以 y=3x2+C1,当 x=0 时,y=23,C 1=23 即 y=3x2+,所以 y=x3+ x+C2,当 x=0,y=-2 时,C 2=-2 即 y=x3+ x-2,故应选 C25 【正确答案】

16、D【试题解析】 微分方程变形: -eydy,即 d(xy)=-eydy26 【正确答案】 A【试题解析】 本题正是判定驻点是否为极值点,是极大值点还是极小值点的判定定理27 【正确答案】 A【试题解析】 2+ dx=lnlnx|2+=+28 【正确答案】 B【试题解析】 29 【正确答案】 D【试题解析】 级数缺少偶次幂的项,从而根据比值审敛法求收敛半径:30 【正确答案】 D【试题解析】 要使二元函数有意义,必须二、填空题31 【正确答案】 【试题解析】 32 【正确答案】 【试题解析】 33 【正确答案】 1【试题解析】 34 【正确答案】 (0,1【试题解析】 f(x)=lnarcsin

17、x 的连续区间就是它的定义区间(0,135 【正确答案】 0【试题解析】 f(x)=(x-1)|x-1|=36 【正确答案】 【试题解析】 方程 yx=xy 改写为 yx-xy=0令 F=yx-xy,F x=yxlny-yxy-1,F y=zyx-1-xylnx,则 也可以方程两边取对数后,直接对 x 求导37 【正确答案】 sin2xf(sin 2x)-f(cos2x)【试题解析】 y=f(sin 2x)+f(cos2x)则 y=f(sin 2x)2sinxcosx+f(cos 2x)cosx(-sinx) =sin2xf(sin2x)-f(cos2x)38 【正确答案】 6x-y-3z-4

18、=0【试题解析】 令 F(x,y, z)=2x3-ye2-ln(z+1),则曲面上任一点处的切平面的法向量为:n=(F x,F y,F z=(6x2,-e z,-ye z- 于是,点(1,2,0)处的切平面的法向量为,n 1=6,-1,-3,故切平面的方程为:6(x-1)-(y-2)-3(z-0)=0 即 6x-y-3z-4=039 【正确答案】 大【试题解析】 由已知 f“(x0)=2f(x0)-4f(x0)0故 f(x)在 x0 取极大值40 【正确答案】 ln(1+x2)+x-arctanx+C【试题解析】 已知 f(x)+xf(-x)=x,令 x 取值-x,得 f(-x)-xf(x)=

19、-x,联立两方程,解得 f(x)=41 【正确答案】 【试题解析】 -(x2+sinx)dx=-x2dx+-sinxdx=42 【正确答案】 0【试题解析】 已知 a,b , c 为非零向量,且两两不平行,但(a+b)c,(b+c)a ,则0=(a+b)c=ac+bc=ac+bc+cc=(a+b+c)c0=(b+c)a=ba+ca=aa+ba+ca=(a+b+c)a 由此 a+b+c 既与 c 平行又与 a 平行,而 a c,故 a+b+c 必为 043 【正确答案】 【试题解析】 44 【正确答案】 01dyy1f(x,y)dx【试题解析】 首先根据已知二次积分 01dyyxf(x,y)dy

20、 画出积分区域 D,已知二次积分把 D 看做 X 型,我门把它看做 Y 型,则原式= 01dfy1f(x,y)dx45 【正确答案】 y=e 3x(C1+C2x),【试题解析】 y“-6y+9y=0 对应的特征方程为 r2-6r+9=0得特征根为 r1,2 =3,故微分方程的通解为 y=C1e3x+C2xe3x=e3x(C1+C2x)三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 【正确答案】 注:该题首先将分子有理化,有助于用洛必达法则求极限,否则直接应用洛必达法则会十分复杂47 【正确答案】 48 【正确答案】 利用分部积分法积分原式=ln(1+e x)d(ex+1)=(1+ex)ln(1+e

21、 x)-e xdx=(1+ex)ln(1+e x)-ex+C49 【正确答案】 凑微分法50 【正确答案】 因 z=f(exsiny,x 2+y2),f(u,v)可微;所以,=f1(exsiny,x 2+y2)e xsiny+f2(exsiny,x 2+y2)2x=e xsinyf1(exsiny,x 2+y2)+2xf 2(exsiny,x 2+y2)同理, =(excosf1(exsiny,x 2+y2)+2yf2(exsiny,x 2+y2)51 【正确答案】 积分区域如图:因二重积分的被积函数 f(x,y)= ,它适宜于“先对 y 积分,后对 x 积分” ,故 D 可用不等式表示为:5

22、2 【正确答案】 f(x)=lnx=ln2+(x-2)=ln2 因 ln(1+x),(-1x1)故 f(x)=ln2+ |x-2|153 【正确答案】 因原方程可化为 y= y+x,此为一阶线性微分方程P(x)=-,Q(x)=x,由通解公式可得将初始条件 y|x=1=1 代入通解中,得 C=13,故所求特解为:四、综合题54 【正确答案】 联立方程 得交点(1,1),由对称性所求面积为S=401xdy=401 dy=83(平方单位)所求体积 V=201x2dy=201ydy=(立方单位)55 【正确答案】 由曲线积分与路径无关,所以有 ,即 y“+2y+y=e-x先求对应齐次方程 y“+2y+

23、y=0 的通解因特征方程为:r 2+2r+1=0 所以 r=-1 为二重根,所以齐次方程的通解为 Y=e-x(C1x+C2)设y*=2Ax2e-x 为方程 y“+2y+y=e-x 的特解则 y*=2Axe-x-Ax2e-xy*“=2Ae-x-4Axe-x+Ax2e-x将 y*,y* ,y*“代入微分方程 y“+2y+y=e-x比较系数可得 A=12所以 y*= x2e-x所以 f(x)=e-x(C1x+C2)+ x2e-x五、证明题56 【正确答案】 令 f(x)=ln(1+x)-x+ x2,于是,f(x)=0,(x0 时)即函数 f(x)在 x0 时单调递增,又 f(0)=0,从而得 x0 时,f(x)f(0) 即 ln(1+x)-x+ x2ln(1+x),命题成立

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