1、湖北省专升本（高等数学）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 已知函数 f(x)的定义域为-1 ，2，则函数 F(x)=f(x+2)+f(2x)的定义域为( )（A）-3，0（B） 3，1（C） -12，1（D）-12 ，02 极限 等于( )（A）（B）不存在（C） 0（D）13 设 f(x)= 则 x=0 是函数 f(x)的( )（A）可去间断点（B）第二类间断点（C）连续点（D）跳跃间断点4 下列区间中，使方程 x4-x-1=0 至少有一个根的区间是( )（A）(0 ，12)（B） (12，1)（C） (2，3)（D）(1 ，2)5 f(
2、x)=(x-x0)(x)其中 f(x0)可导，则 f(x0)=( )（A）0（B） (x0)（C） (x0)（D）6 设 f(x)=xnsin (x0)且 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 处( )（A）仅当 =f(0)=0 时才可微（B）在任何条件下都可微（C）当且仅当 n1 时才可微（D）因 sin 在 x=0 处无定义，所以不可微7 若 f(x)在a，+)上二次可微，且 f(x)0，f(a) 0，f“(x)0(x a)，则方程 f(x)=0在a ，+)上( )（A）没有实根（B）有多个实根（C）有且仅有一个实根（D）无法判断是否有实根8 下列函数在-1，1上满足罗尔定理条件的是( )
3、（A）y=1x（B） y=1+|x|（C） y=x(x2-1)（D）y=ln(1+x)9 设函数 f(x)有连续的二阶导数，且 f(0)=0， =1，则( )（A）f(0)是函数的极大值（B） f(0)是函数的极小值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点10 若d(f(x)=d(g(x)，则下列各式中不成立的是( )（A）f(x)=g(x)（B） f(x)=g(x)（C） d(f(x)=d(g(x)（D）df(x)dx=dg(x)dx11 由曲线 y=1x，直线 y=x 及 x=2 所围图形面积为 ( )
4、12 I=02 dx，则求该积分时正确做法为 I=( )13 对于非零向量 a、b 满足 (a+3b)(7a-5b)，(a-4b)(7a-2b)，则向量 a、b 夹角为( )（A）6（B） 4（C） 3（D）214 曲线 在 xOy 平面上投影曲线方程为 ( )15 函数 f(x， y)在点(x 0，y 0)处的偏导存在是函数 f(x，y)在该点连续的( )（A）充分条件不是必要条件（B）必要条件但不是充分条件（C）充要条件（D）既不是充分条件，也不是必要条件16 函数 的定义域为( )（A）1x 2+y24（B） 1x 2+y24（C） 1x2+y24（D）1x 2+y2417 改变 12d
5、x f(x，y)dy 积分顺序后为( )（A） 01dy2-y2f(x，y)dx（B） 01dy2-y2f(x，y)dx+ 14dy f(x，y)dx（C） 04dy2-y5yf(x，y)dx（D） 01dy22-yf(x，y)dx+ 14dy25yf(x，y)dx18 设区域 D 为 x2+y2R2，则 dxdy=( )（A） Rdxdy=R3（B） 02d0Rrdr=R2（C） 02d0Rr2dr=23R 3（D） 02d0RR2dr=2R319 简单闭曲线 C 所围区域 D 的面积为( )20 设 un=(-1)nln(1+ )，则级数( )21 设有数 收敛(a 为常数 )，则有( )
6、（A）q1（B） |q|1（C） q-1（D）|q|122 级数 ne-nx 的收敛域是 ( )（A）x-1（B） x0（C） 0x1（D）-1 x023 微分方程 y“-2y=x 的特解应设为 y*=( )（A）Ax（B） Ax+B（C） Ax2+Bx（D）Ax 2+Bx+C24 函数 y=f(x)图形上点(0，-2)处的切线方程为 2x-3y=6，且该函数满足微分方程y“=6x，则此函数为( )（A）y=x 3-2（B） y=3x2+2（C） 3y-3x2-2x+6=0（D）y=x 3+ x25 微分方程 xdy-ydx=y2eydy 的通解为( )（A）y=x(e x+C)（B） x=y
7、(ey+C)（C） y=x(C-ex)（D）x=y(C-e y)26 若函数 f(x)满足 f(x0)=0，f“(x 0)0，则函数 y=f(x)在点 x0 处将取得( )（A）极小值（B）极大值（C）最小值（D）最大值27 求广义积分 2+ dx=( )（A）（B） 0（C） 1（D）228 求 dt=( )29 设 anx2n+1 州的收敛半径 R 为( )（A）R=2（B） R=1（C） R=（D）R=30 函数 z= 的定义域为( )（A）(x，y)|x+y1（B） (x，y)|x+y 1（C） (x，y)|x+y2（D）(x，y)|x+y1 且 x+y2二、填空题31 设函数 f(x
8、)= ，则 f(-x)=_32 设 g(x)= 则 gf(x)=_33 设 f (x-1)，则 f(1)=_34 函数 f(x)=ln(arcsinx)的连续区间是 _35 设 f(x)=(x-1)|x-1|，则 f(1)=_36 由方程 yx=xy 所确定的隐函数 y=y(x)的导数 dydx=_ 37 若 f(x)是可导函数，y=f(sin 2x)+f(cos2x)，则 y=_38 曲面 2x3-yez-ln(z+1)=0 在点(1 ，2，0)处的切平面方程为_39 设 y=f(x)是方程 y“-2y+4y=0 的一个解，若 f(x0)0，且 f(x0)=0，则函数在 x0 有极_值40
9、满足 f(x)+xf(-x)=x 的函数 f(x)是_41 定积分 -(x2+sinx)dx=_42 已知 a，b ，c 为非零向量，且两两不平行，但 a+b 与 c 平行，b+c 与 a 平行，则 a+b+c=_43 u= ， du|(1，1，1) =_44 交换二次积分次序 01dx0xf(x，y)dy=_ 45 微分方程 y“-6y+9y=0 的通解为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 47 设函数 y=y(x)由方程 y=arctan 确定，求 y48 求不定积分e xln(1+e x)dx49 计算定积分 14 dx50 设 z=f(exsiny，x 2+y2)，其中 f(
10、u，v)可微，求51 计算 dxdy，其中 D 是第一象限中由直线 y=x 和 y=x3 围成的封闭区域52 将函数 f(x)=lnx 展开成(x-2)的幂级数，并指出收敛区间53 求解微分方程 2xy=y+2x2 满足 y|x=1=1 的特解四、综合题54 (1)求曲线 y=x2，y=2-x 2 所围图形的面积 (2)求(1)中图形绕 y 轴旋转一周所生成的旋转体体积55 设 f(x)具有二阶导数，试确定 f(x)，使曲线积分 Ce-x-2f(x)-f(x)ydx+f(x)dy 与积分路径无关五、证明题56 证明：当 x0 时，x- x2ln(1+x)湖北省专升本（高等数学）模拟试卷 4 答
11、案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 2 【正确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 A【试题解析】 (0)=0，所以 x=0 为可去间断点4 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)=x4-x-1 则 f(1)0，f(2)0 由连续函数介值定理，至少存在一点 (1，2)，使 f()=0，即 为方程 f(x)=0 的根5 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=(x)+(x-x 0)(x)，所以 f(x0)=(x0)6 【正确答案】 C【试题解析】 当 n1 时， =0，即 f(0)=07 【正确答案】 C【试题解析】 因 f
12、(a)=A0，且 f(a)0，所以过点(以，A)的切线倾斜角为第象限角，切线如图所示设其与 x 轴交点为 C，又 f“(x)0(xa)，所以曲线为凸即曲线必位于过(a，A)点切线的下方再 f(x)为减函数由于 f(a)0，所以f(x)0，说明 f(x)为减函数，于是 f(x)与 x 轴只有一个交点为 B，且 BC，即方程 f(x)=0 仅有一个实根8 【正确答案】 C【试题解析】 对于 A 选项 f(-1)=-1f(1)=1，所以 A 不正确；对于 B 选项 f-(0)=-1f+(0)=1，所以 B 不正确；对于 C 选项满足罗尔定理的条件；对于 D 选项 x-1，故选 C9 【正确答案】 C
13、【试题解析】 因函数 f(x)有连续的二阶偏导数，且 =10，可知：f“(0)=0，且 x0 时，f“(x)0，x0 时，f“(x)0，故点(0，f(0)为拐点10 【正确答案】 A【试题解析】 由d(f(x)=d(g(x)，可得 f(x)=g(x)+C11 【正确答案】 B【试题解析】 先画图，由图易知：选 B12 【正确答案】 B【试题解析】 13 【正确答案】 C【试题解析】 由 得ab=b 22， ab=a 22 所以(ab) 2=14 【正确答案】 B【试题解析】 联立方程消去 z 可行，通过该曲线母线平行 z 轴的柱面 y2=2x-9，用z=0 平面去截柱面便可得曲线在 xOy 面
14、上投影曲线为15 【正确答案】 D【试题解析】 多元函数偏导数存在是否与函数在该点的连续性没有关系16 【正确答案】 A【试题解析】 由 得 x2+y24且，由 arcsin ，得 x2+y2117 【正确答案】 B【试题解析】 积分区域 D： ，如图所示，可将 D 写成 D1+D2，18 【正确答案】 C【试题解析】 19 【正确答案】 D【试题解析】 在格林公式中 dxdy=CPdx+Qdy 取 Q=x，P=-y，因 2dxdy=C-ydx+xdy 所以闭曲线 C 所围面积为 Cxdy-ydx20 【正确答案】 C【试题解析】 为交错级数，且满足莱布尼兹收敛条件，其为收敛的；而级数 发散故
15、应选 C21 【正确答案】 D【试题解析】 当|q|1 时，级数 为公比绝对值小于 1 的几何级数是收敛的，所以级数 收敛22 【正确答案】 B【试题解析】 =e-x1 即 x0 时，级数收敛23 【正确答案】 C【试题解析】 因对应齐次方程 y“-2y=0 缺函数 y，而非齐次项 f(x)=x 为一次函数，故特解应设为：y*=(Ax+B)x24 【正确答案】 C【试题解析】 因 y“=6x,所以 y=3x2+C1，当 x=0 时，y=23，C 1=23 即 y=3x2+，所以 y=x3+ x+C2，当 x=0，y=-2 时，C 2=-2 即 y=x3+ x-2，故应选 C25 【正确答案】
16、D【试题解析】 微分方程变形： -eydy，即 d(xy)=-eydy26 【正确答案】 A【试题解析】 本题正是判定驻点是否为极值点，是极大值点还是极小值点的判定定理27 【正确答案】 A【试题解析】 2+ dx=lnlnx|2+=+28 【正确答案】 B【试题解析】 29 【正确答案】 D【试题解析】 级数缺少偶次幂的项，从而根据比值审敛法求收敛半径：30 【正确答案】 D【试题解析】 要使二元函数有意义，必须二、填空题31 【正确答案】 【试题解析】 32 【正确答案】 【试题解析】 33 【正确答案】 1【试题解析】 34 【正确答案】 (0，1【试题解析】 f(x)=lnarcsin
17、x 的连续区间就是它的定义区间(0，135 【正确答案】 0【试题解析】 f(x)=(x-1)|x-1|=36 【正确答案】 【试题解析】 方程 yx=xy 改写为 yx-xy=0令 F=yx-xy，F x=yxlny-yxy-1，F y=zyx-1-xylnx，则 也可以方程两边取对数后，直接对 x 求导37 【正确答案】 sin2xf(sin 2x)-f(cos2x)【试题解析】 y=f(sin 2x)+f(cos2x)则 y=f(sin 2x)2sinxcosx+f(cos 2x)cosx(-sinx) =sin2xf(sin2x)-f(cos2x)38 【正确答案】 6x-y-3z-4
18、=0【试题解析】 令 F(x，y， z)=2x3-ye2-ln(z+1)，则曲面上任一点处的切平面的法向量为：n=(F x，F y，F z=(6x2，-e z，-ye z- 于是，点(1，2，0)处的切平面的法向量为，n 1=6，-1，-3，故切平面的方程为：6(x-1)-(y-2)-3(z-0)=0 即 6x-y-3z-4=039 【正确答案】 大【试题解析】 由已知 f“(x0)=2f(x0)-4f(x0)0故 f(x)在 x0 取极大值40 【正确答案】 ln(1+x2)+x-arctanx+C【试题解析】 已知 f(x)+xf(-x)=x，令 x 取值-x，得 f(-x)-xf(x)=
19、-x，联立两方程，解得 f(x)=41 【正确答案】 【试题解析】 -(x2+sinx)dx=-x2dx+-sinxdx=42 【正确答案】 0【试题解析】 已知 a，b ， c 为非零向量，且两两不平行，但(a+b)c，(b+c)a ，则0=(a+b)c=ac+bc=ac+bc+cc=(a+b+c)c0=(b+c)a=ba+ca=aa+ba+ca=(a+b+c)a 由此 a+b+c 既与 c 平行又与 a 平行，而 a c，故 a+b+c 必为 043 【正确答案】 【试题解析】 44 【正确答案】 01dyy1f(x，y)dx【试题解析】 首先根据已知二次积分 01dyyxf(x，y)dy
20、 画出积分区域 D，已知二次积分把 D 看做 X 型，我门把它看做 Y 型，则原式= 01dfy1f(x，y)dx45 【正确答案】 y=e 3x(C1+C2x)，【试题解析】 y“-6y+9y=0 对应的特征方程为 r2-6r+9=0得特征根为 r1，2 =3，故微分方程的通解为 y=C1e3x+C2xe3x=e3x(C1+C2x)三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 【正确答案】 注：该题首先将分子有理化，有助于用洛必达法则求极限，否则直接应用洛必达法则会十分复杂47 【正确答案】 48 【正确答案】 利用分部积分法积分原式=ln(1+e x)d(ex+1)=(1+ex)ln(1+e
21、 x)-e xdx=(1+ex)ln(1+e x)-ex+C49 【正确答案】 凑微分法50 【正确答案】 因 z=f(exsiny，x 2+y2)，f(u，v)可微；所以，=f1(exsiny，x 2+y2)e xsiny+f2(exsiny，x 2+y2)2x=e xsinyf1(exsiny，x 2+y2)+2xf 2(exsiny，x 2+y2)同理， =(excosf1(exsiny，x 2+y2)+2yf2(exsiny，x 2+y2)51 【正确答案】 积分区域如图：因二重积分的被积函数 f(x，y)= ，它适宜于“先对 y 积分，后对 x 积分” ，故 D 可用不等式表示为：5
22、2 【正确答案】 f(x)=lnx=ln2+(x-2)=ln2 因 ln(1+x)，(-1x1)故 f(x)=ln2+ |x-2|153 【正确答案】 因原方程可化为 y= y+x，此为一阶线性微分方程P(x)=-，Q(x)=x，由通解公式可得将初始条件 y|x=1=1 代入通解中，得 C=13，故所求特解为：四、综合题54 【正确答案】 联立方程 得交点(1，1)，由对称性所求面积为S=401xdy=401 dy=83(平方单位)所求体积 V=201x2dy=201ydy=(立方单位)55 【正确答案】 由曲线积分与路径无关，所以有 ，即 y“+2y+y=e-x先求对应齐次方程 y“+2y+
23、y=0 的通解因特征方程为：r 2+2r+1=0 所以 r=-1 为二重根，所以齐次方程的通解为 Y=e-x(C1x+C2)设y*=2Ax2e-x 为方程 y“+2y+y=e-x 的特解则 y*=2Axe-x-Ax2e-xy*“=2Ae-x-4Axe-x+Ax2e-x将 y*，y* ，y*“代入微分方程 y“+2y+y=e-x比较系数可得 A=12所以 y*= x2e-x所以 f(x)=e-x(C1x+C2)+ x2e-x五、证明题56 【正确答案】 令 f(x)=ln(1+x)-x+ x2，于是，f(x)=0，(x0 时)即函数 f(x)在 x0 时单调递增，又 f(0)=0，从而得 x0 时，f(x)f(0) 即 ln(1+x)-x+ x2ln(1+x)，命题成立
