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[专升本类试卷]湖北省专升本(高等数学)模拟试卷6及答案与解析.doc

1、湖北省专升本(高等数学)模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。1 函数 y=arcsin 的定义域为( )(A)-1,1(B) 0,1(C) (-,1(D)-2,12 函数 f(x)=2-xcosx 在0,+) 内是( )(A)偶函数(B)单调函数(C)有界函数(D)奇函数3 当 x0 时,x-arctanx 是 x2 的( )(A)高阶无穷小(B)低阶无穷小(C)等价无穷小(D)同阶无穷小,但非等价无穷小4 对于函数 y=(1+x)arctan ,下列结论正确的是( )(A)x=-1 是第一类间断点,x=1 是第二类间断点;(B) x=-1 是第

2、二类间断点,x=1 是第一类间断点;(C) x=-1 是第一类间断点,x=1 是第一类间断点;(D)x=-1 是第二类间断点,x=1 是第二类间断点;5 设 f(x)在 x=1 处可导,且 f(1)=1,则 =( )(A)12(B) 1(C) 2(D)46 函数 y=x4-4x 上切线平行于 x 轴的点为( )(A)(0 ,0)(B) (1,1)(C) (1,-3)(D)(2 ,8)7 设 f(u)可导,且 y=f(ex),则 dy=( )(A)f(e x)dx(B) f(ex) exdx(C) f(ex)(D)f(e x)dx8 设 f(x)=ln(x+1)在0,1上满足拉格朗日中值定理的条

3、件,则定理结论中的 =( )(A)ln2(B) ln2-1(C) -1(D) +19 函数 y=x+ 在-5, 1上的最大值为( )(A) -5(B) 54(C) +5(D)4510 函数 f(x)=x- 极值点的个数是( )(A)1(B) 2(C) 3(D)411 设f(x)dx=x 2ex2+C,则 f(x)=( )(A)2xe 2x(B) 2x2e2x(C) 2x(1+x)e2x(D)12 设 f(x)=e-x,则 dx=( )(A)- +C(B) -lnx+C(C) +C(D)lnx+C13 abarctanxdx=( )(A)arctanx(B)(C) arctanb-arctana

4、(D)014 设 f(x)连续,F(x)= f(t2)dt,则 F(x)=( )(A)f(x 4)(B) x2f(x4)(C) 2xf(x4)(D)2xf(x 2)15 下列式子正确的是( )(A) 12lnxdx 12(lnx)2dx(B) 12lnxdx=34lnxdx(C) 34lnxdx 34(lnx)2dx(D) 12(lnx)2dx=34(lnx)dx16 设 f(1x)= ,则 01f(x)dx=( )(A)12(B) 1=ln2(C) 1(D)ln217 空间直线 与平面 4x+3y+3z+1=0 的位置关系是( )(A)互相垂直(B)互相平行(C)不平行也不垂直(D)直线在平

5、面上18 方程 z=x2+y2 表示的二次曲面是( )(A)椭球面(B)柱面(C)圆锥面(D)抛物面19 已知 z=ln =( )(A)1(B) n(C) 1n(D)以上都不对20 设 z=exy,则 dz=( )(A)e xy(xdx+ydy)(B) exy(xdx-ydy)(C) exy(ydx+xdy)(D)e xy(ydx-xdy)21 设 I=04dx f(x,y)dy,交换积分次序后,I=( )22 二次积分 01dx01ex+ydy=( )(A)e-1(B) 2(e-1)(C) (e-1)2(D)e 223 积分区域 D 为 x2+y21,则 xdxdy=( )(A)0(B) 1

6、(C) 13(D)1224 设 L 为抛物线 y=x2 上从点 A(0,0)到点 B(2,4) 的一段弧,则 L(x-2xy2)dx+(y-2x2y)dy=( )(A)54(B) -54(C) 45(D)-4525 下列级数中,收敛的是( )26 下列级数中,绝对收敛的是( )27 幂级数 的收敛区域为( )(A)(0 ,2)(B) (0,2(C) 0,2)(D)0 ,228 下列微分方程中,为一阶线性方程的是( )(A)y“=e x(B) y+x2y=cosx(C) y=xey(D)yy=x29 微分方程 yy=x2 满足初始条件 y|x=0=2 的特解为( )30 微分方程 y“+2y+y

7、=0 的通解为( )(A)y=Ce -x(B) y=C1e-x+C2(C) y=(C1+C2x)(D)y=e -x(C1+C2x)二、填空题31 函数 f(x)在点 x0 可导是 f(x)在点 x0 可微的_条件32 函数 y= 的渐近线为_33 曲线 y= 的凸区间为_,凹区间为_,拐点为_34 35 定积分 sin6xdx=_36 y=x- 与 x 轴交点处的法线方程为_37 广义积分 2+ 当 p_时收敛,当 P_时发散38 直线 平行于平面 Ax+By+Cz+D=0 的充要条件为_39 连续函数 f(x,y)在区域 x2+y21 上最小值为 m,最大值为 M,则_ f(x,y)dxdy

8、_40 若函数 P(x,y),Q(x,y)在区域 D 上可微,区域 D 边界线正向为曲线 C,则有格林公式 CP(x,y)dx+Q(x,y)dy=_41 曲面 z-ez+2xy=3 在点 P(1,2,0) 处的切平面方程为_42 经数 当 满足_时收敛,当 满足_时发散43 幂级数 xn 的收敛区间为_44 微分方程 y+ycosx=0 的通解为 y=_45 微分方程 y“-2y+2y=ex 的通解为 y=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 47 设函数 y=xx+2xx x,求 dydx48 求积分(x)dx,其中 f(x2-1)=ln ,且 f(x)=lnx49 计算定积分50

9、设 z=f2(x,xy),其中厂具有一阶连续的偏导数,求51 计算二次积分 01dxx1x2 dy52 将 f(x)= 展开为(x+1) 的幂级数并求其收敛区间53 求微分方程 2x(y dy=0 的通解四、综合题54 用汽船拖载重相等的小船若干只,在两港之间来回送货物,已知每次拖 4 只小船,一日能来回 16 次,每次拖 7 只,则一日能来回 10 次,若小船增多的只数与来回减少的次数成正比,问每日来回拖多少次,每次拖多少小船能使货运总量达到最大?54 平面图形由抛物线 y2=2x 与该曲线在点(12,1)处的法线围成,试求:55 该平面图形的面积;56 该平面图形绕 x 轴旋转一周形成的旋

10、转体体积五、证明题57 设 =1,且 f“(x)0,证明:f(x)x湖北省专升本(高等数学)模拟试卷 6 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 要使函数有意义,须 ,求解得:0x1,选项 B 正确2 【正确答案】 C【试题解析】 因 f(-x)=2xcosxf(x),也不等于-f(x),即 f(x)非奇非偶,选项 A、D错误;事实上,x0 时,02 -x1,而 cosx 处处有界,进而 2-xcosx 是 x0 区间内的有界函数,选项 C 正确,又 f(x)=2-x(-1)ln2 cosx+2 -x(-sinx)=-2(ln2 c

11、osx+sinx),在 x0 的区间内,f(x) 有正、有负,进而 f(x)无一致的单调性3 【正确答案】 A【试题解析】 所以 x0时,x-arctanx 是比 x2 高阶无穷小,选项 A 正确4 【正确答案】 C【试题解析】 首先肯定,x=1 皆为函数的间断点,因此两点处函数皆无定义又x1 时,y0,所以 x=-1 是函数的第一类间断点;又 x1 +时,y;x1 -时,y;故 x=1 也为函数的第一类间断点故选项 C 正确5 【正确答案】 A【试题解析】 因 f(1)=1,所以6 【正确答案】 C【试题解析】 令 y=4x3-4=0,得 x=1,于是所求的点为(1,f(1),即(1,-3)

12、7 【正确答案】 B【试题解析】 因 y=f(ex),故 dy=f(ex)e xdx,选项 B 正确8 【正确答案】 C【试题解析】 因定理结论为:f(b)-f(a)=f()(b-a),(ab)所以,对已知的函数及区间,应有:ln2-ln1= -1;选项 C 正确9 【正确答案】 B【试题解析】 因 y=1- ,于是得 y=0,得驻点 x=34,又有不可导点:x=1;进而计算点 x=34,x=1 ,x=-5 处的函数值有: f(34)= ;f(1)=1,f(-5)=-5+ ,故函数在-5,1上的最大值为 54,选项 B 正确10 【正确答案】 B【试题解析】 因 f(x)=1- ,于是,f(x

13、)有驻点 x=1;有不可导点 x=0对于点 x=0:当- x0,f(x) 0;0x1 时 f(x)0,故 x=0 为f(x)的一个极大值点;f“(x)0,故 x=1 为 f(x)的一个极小值点对于点 x=1:当0x1 时,f(x)0;x 1 时综上所述,故 f(x)的极值点有 2 个11 【正确答案】 C【试题解析】 由不定积分的概念知,f(x)=(x 2e 2x+C)=2xe 2x+x2e 2x2=2x(1+x)e2x,选项 C 正确12 【正确答案】 C【试题解析】 因 dx=f(lnx)d(lnx)=f(lnx)+C,又 f(x)=e-x,故 dx=e-lnx+C+ +C,故选项 C 正

14、确13 【正确答案】 D【试题解析】 因为定积分 abarctanxdx 是一常数,所以其导数为 0,选项 D 正确14 【正确答案】 C【试题解析】 F(x)=f(x 4)(x 3)=2xf(x4),故选项 C 正确15 【正确答案】 A【试题解析】 因当 1x2 时,0lnx1,进而,lnxln 2x,于是由定积分的不等性有: 12lnxdx 12ln2xdx,故选项 A 正确;而当 3x4 时,1lnx2,进而,lnxln 2x,,于是 34lnxdx 34ln2xdx,选项 C 错误;而对于 B 选项,由于 lnx 为递增函数,且 1x2 时,0lnx1;3x4 时,1lnx2,故12

15、lnxdx 34lnxdx,所以 B 错误;D 选项也错误,因12ln2xdx 12lnxdx 34lnxdx16 【正确答案】 D【试题解析】 因 f(1x)= 从而, 01f(x)dx=01dx=ln(1+x)|01=ln2选项 D 正确17 【正确答案】 B【试题解析】 因空间直线 的方向向量 s=3,1,-5;而平面4x+3y+3z+1=0 的法向量 n=4,3,3),于是 s=34+13+(-5)3=0,从而,sn;又取直线上的点(-2,2,-1),代入平面方程验证可知,点(-2,2,-1) 不在已知的平面内,故直线与平面平行,而不在平面内,选项 B 正确18 【正确答案】 D【试题

16、解析】 该曲面 z=x2+y2 可看做曲线 绕 x 轴旋转形成的旋转抛物面19 【正确答案】 C【试题解析】 20 【正确答案】 C【试题解析】 因 z=exy,故 dz=exy(ydx+xdy),选项 C 正确21 【正确答案】 A【试题解析】 因积分区域 D 为: 如图所示 区域 D 又可表示为: ,故积分 I 交换积分次序后为 I=04dy f(x,y)dx,选项 A 正确22 【正确答案】 C【试题解析】 01dx01ex+ydz=01exdx01eydy=(e-1)223 【正确答案】 A【试题解析】 积分区域 D:x 2+y21 可用极坐标表示为:选项 A 正确。24 【正确答案】

17、 B【试题解析】 将路径 L 的方程代入曲线积分的被积表达式中计算 L(x-2xy2)dx+(y-2x2y)dy=02(x-2x5)+2(x2-2x4)xdx=02(x+2x3-6x5)=( x4-x6)|02=-54。25 【正确答案】 C【试题解析】 对于选项 A:u n=是 p=121 的 p 一级数,发散,故 A 选项中的级数发散;对于选项 B:u n=un=130,故级数发散;对于选项 C:u n= 100(1q) n,因q1,于是 01q 1,即选项 C 中的级数是公比大于 0 小于 1 的等比级数,收敛;对于选项 D:u n= =31,故级数发散仅选项 C 正确26 【正确答案】

18、 A【试题解析】 对于选项 A:其绝对值级数为 这是 p=321 的 p 一级数,故收敛,即原级数绝对收敛,选项 A 为正确选项对于选项 B:u n=(-1)n0,(n) ,故该级数发散;对于选项 C:其绝对值级数为发散,故绝对值级数也发散,即原级数不绝对收敛;对于选项 D:其绝对值级数为 ,这是 p=121 的p 一级数,发散,即原级数不绝对收敛27 【正确答案】 D【试题解析】 这四个选项中,区间端点相同,故只须验证级数在区间端点是否收敛即可得答案对于 x=0,对应的数项级数为: ,这是绝对收敛的级数,即幂级数在 x=0 处收敛;对于 x=2,对应的数项级数为: ,这是绝对收敛的级数,即幂

19、级数在 x=0 处收敛;对于 x=2,对应的数项级数为: ,这是p=21 的 p 一级数,收敛,故收敛域为闭区间0,2,选项 D 正确28 【正确答案】 B【试题解析】 选项 A 中的方程是二阶微分方程,不合要求;选项 B 中的方程,是一阶微分方程且 x2y 皆为一次的表达式,该方程符合要求;选项 C 中的方程中,含 y 的指数运算,不是线性运算,不合要求;选项 D 中,含 yy项,不是线性29 【正确答案】 A【试题解析】 原方程可化为: (y2)=x2,于是方程的通解为: x3+C,将初始条件 y|x=0=2 代入通解中,得 C=2,故特解为: =2选项 A 正确30 【正确答案】 D【试

20、题解析】 因微分方程的特征方程为:r 2+2r+1=0,于是有特征根:r 12 =-1,故微分方程的通解为:y=(C 1+C2x)e -x选项 D 正确二、填空题31 【正确答案】 充分必要【试题解析】 由两都的定义即可得到32 【正确答案】 x=1 ,y=1【试题解析】 =,所以 x=1 为垂直渐近线, =-1,所以y=-1 为水平渐近线33 【正确答案】 【试题解析】 34 【正确答案】 12【试题解析】 35 【正确答案】 【试题解析】 36 【正确答案】 x+2y+1=0【试题解析】 令 y=0,x=1,y=1+ ,y| x=1=2,所以所求法线方程为:y=-12(x1)37 【正确答

21、案】 1;1【试题解析】 2+ dx 便可判断 p1 时,原积分收敛,p1 时,原积分发散38 【正确答案】 aA+bB+cC=0【试题解析】 直线的方向向量为 s=a,b ,c,平面的法向量为 n=A,B,C,直线平行平面的充要条件为 sn=0即 aA+bB+cC=039 【正确答案】 m;M【试题解析】 因积分区域 D 的面积为 ,由二重积分估值性质可得m f(x,y)dM40 【正确答案】 dxdy【试题解析】 直接套用格林公式41 【正确答案】 2x+y-4=0【试题解析】 令 F(x,y, z)=2-ez+2xy-3 Fx|P=2y|P=4,F y|P=2x|P=2,F z|P=1-

22、ez|P=0,所以过 P 点切平面的法向量为 n=(4,2,02,1,0,所以切平面方程为 2(x-1)+(y-2)=0,即 2x+y-4=042 【正确答案】 12;12【试题解析】 显然有当 12 时,原级数收敛;当 12 时,级数发散43 【正确答案】 (-32,32)【试题解析】 ,n所以收敛半径为 R=32,收敛区间为(-32,32)44 【正确答案】 y=Ce -sinx【试题解析】 变量分离 +cosxdx=0,所以原方程的通解为 ln|y|+sinx=C1,即y=Ce-sinx45 【正确答案】 e x(C1cosx+C2sinx+1)【试题解析】 先求对应齐次方程 y“-2y

23、+2y=0 的通解因特征方程为 r2-2r+2=0,r= =1i,所以齐次方程的通解为 Y=ex(C1cox+C2sinx),容易看出y*=ex 为原方程的特解,所以原方程的通解为:y=e x(C1cosx+C2sinx+1)三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 【正确答案】 47 【正确答案】 因 y=xx(1+2 x),于是 =(xx)(1+2 x)+xx(1+2 x)=(exlnx)(1+2 x)+xx2 xLn2=e xlnx(lnx+1)(1+2 x)+xx2 xln2=xx(lnx+1)(1+2 x)+2xln248 【正确答案】 49 【正确答案】 50 【正确答案】 因

24、z=f2(x,xy),f 可微,于是: =2f(x,xy)f 1(x,xy)+f2(x,xy)y=2f(x ,xy)f 1(x,xy)+yf 2(x,xy)=2f(x,xy)f 2(x,xy)x=2xf(x,xy)f 2(x,xy) 51 【正确答案】 由被积函数知,该二重积分如果先对 y 积分是不易积分的,它易于先对 x 积分,后对 y 积分因积分区域 D 为:52 【正确答案】 即所求幂级数为收敛区间为(-,十)53 【正确答案】 原微分方程可化为 =d(x2)两边积分,得:y=x 2四、综合题54 【正确答案】 由已知,增加了 3 只船,减少 6 次,设拖 x 只船,则增加 x-4 只船

25、,设减少 y 次,由给定的比例关系,有 3:6=(x-4):y,y=2(x-4) ,设运货总量为M,则 M=x16-2(x-4)=24x-2x2,M=24-4x,令 M=0,x=6,所以一次拖 6 只船,来回 12 次能使货运量达到最大55 【正确答案】 因曲线 y2=2x 在点(12,1) 处的导数为 y =1,所以点(12, 1)处的曲线的法线方程为:y-1=-(x- )即 y=32-x 于是,曲线 y2=2x 与法线 y= -x 围成的平面图形如图 求解方程组得交点(12,1),(92,-3) 故所求面积为: A=-31( y2)dy=16 3(平方单位)56 【正确答案】 所求旋转体的体积为:五、证明题57 【正确答案】 因当 x0 时, 极限存在,所以 f(0)=0,且 f(0)=1,(因为f(0)= =1),即函数 y=f(x)过点(0,f(0)=0)的切线为y=x,又因为线弧位于任意点切线的上方,所以有 f(x)x,只有在 x=0 处取等号或这样证:设 F(x)=f(x)-x,则 F(x)=f(x)-1,所以 F(0)=0,又因 F“(x)=f“(x)0,所以 F“(0)0,故 F(x)在 x=0 处取得极小值 F(0)=f(0)=0,所以对于任意 x 恒有 F(x)F(0)=0,即 f(x)-x0,所以 f(x)x,且只有在 x=0 处取等号

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