1、湖北省专升本（高等数学）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 y=arcsin 的定义域为( )（A）-1，1（B） 0，1（C） (-，1（D）-2，12 函数 f(x)=2-xcosx 在0，+) 内是( )（A）偶函数（B）单调函数（C）有界函数（D）奇函数3 当 x0 时，x-arctanx 是 x2 的( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶无穷小，但非等价无穷小4 对于函数 y=(1+x)arctan ，下列结论正确的是( )（A）x=-1 是第一类间断点，x=1 是第二类间断点；（B） x=-1 是第
2、二类间断点，x=1 是第一类间断点；（C） x=-1 是第一类间断点，x=1 是第一类间断点；（D）x=-1 是第二类间断点，x=1 是第二类间断点；5 设 f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=1，则 =( )（A）12（B） 1（C） 2（D）46 函数 y=x4-4x 上切线平行于 x 轴的点为( )（A）(0 ，0)（B） (1，1)（C） (1，-3)（D）(2 ，8)7 设 f(u)可导，且 y=f(ex)，则 dy=( )（A）f(e x)dx（B） f(ex) exdx（C） f(ex)（D）f(e x)dx8 设 f(x)=ln(x+1)在0，1上满足拉格朗日中值定理的条
3、件，则定理结论中的 =( )（A）ln2（B） ln2-1（C） -1（D） +19 函数 y=x+ 在-5， 1上的最大值为( )（A） -5（B） 54（C） +5（D）4510 函数 f(x)=x- 极值点的个数是( )（A）1（B） 2（C） 3（D）411 设f(x)dx=x 2ex2+C，则 f(x)=( )（A）2xe 2x（B） 2x2e2x（C） 2x(1+x)e2x（D）12 设 f(x)=e-x，则 dx=( )（A）- +C（B） -lnx+C（C） +C（D）lnx+C13 abarctanxdx=( )（A）arctanx（B）（C） arctanb-arctana
4、（D）014 设 f(x)连续，F(x)= f(t2)dt，则 F(x)=( )（A）f(x 4)（B） x2f(x4)（C） 2xf(x4)（D）2xf(x 2)15 下列式子正确的是( )（A） 12lnxdx 12(lnx)2dx（B） 12lnxdx=34lnxdx（C） 34lnxdx 34(lnx)2dx（D） 12(lnx)2dx=34(lnx)dx16 设 f(1x)= ，则 01f(x)dx=( )（A）12（B） 1=ln2（C） 1（D）ln217 空间直线 与平面 4x+3y+3z+1=0 的位置关系是( )（A）互相垂直（B）互相平行（C）不平行也不垂直（D）直线在平
5、面上18 方程 z=x2+y2 表示的二次曲面是( )（A）椭球面（B）柱面（C）圆锥面（D）抛物面19 已知 z=ln =( )（A）1（B） n（C） 1n（D）以上都不对20 设 z=exy，则 dz=( )（A）e xy(xdx+ydy)（B） exy(xdx-ydy)（C） exy(ydx+xdy)（D）e xy(ydx-xdy)21 设 I=04dx f(x，y)dy，交换积分次序后，I=( )22 二次积分 01dx01ex+ydy=( )（A）e-1（B） 2(e-1)（C） (e-1)2（D）e 223 积分区域 D 为 x2+y21，则 xdxdy=( )（A）0（B） 1
6、（C） 13（D）1224 设 L 为抛物线 y=x2 上从点 A(0，0)到点 B(2，4) 的一段弧，则 L(x-2xy2)dx+(y-2x2y)dy=( )（A）54（B） -54（C） 45（D）-4525 下列级数中，收敛的是( )26 下列级数中，绝对收敛的是( )27 幂级数 的收敛区域为( )（A）(0 ，2)（B） (0，2（C） 0，2)（D）0 ，228 下列微分方程中，为一阶线性方程的是( )（A）y“=e x（B） y+x2y=cosx（C） y=xey（D）yy=x29 微分方程 yy=x2 满足初始条件 y|x=0=2 的特解为( )30 微分方程 y“+2y+y
7、=0 的通解为( )（A）y=Ce -x（B） y=C1e-x+C2（C） y=(C1+C2x)（D）y=e -x(C1+C2x)二、填空题31 函数 f(x)在点 x0 可导是 f(x)在点 x0 可微的_条件32 函数 y= 的渐近线为_33 曲线 y= 的凸区间为_，凹区间为_，拐点为_34 35 定积分 sin6xdx=_36 y=x- 与 x 轴交点处的法线方程为_37 广义积分 2+ 当 p_时收敛，当 P_时发散38 直线 平行于平面 Ax+By+Cz+D=0 的充要条件为_39 连续函数 f(x，y)在区域 x2+y21 上最小值为 m，最大值为 M，则_ f(x，y)dxdy
8、_40 若函数 P(x，y)，Q(x，y)在区域 D 上可微，区域 D 边界线正向为曲线 C，则有格林公式 CP(x，y)dx+Q(x，y)dy=_41 曲面 z-ez+2xy=3 在点 P(1，2，0) 处的切平面方程为_42 经数 当 满足_时收敛，当 满足_时发散43 幂级数 xn 的收敛区间为_44 微分方程 y+ycosx=0 的通解为 y=_45 微分方程 y“-2y+2y=ex 的通解为 y=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 47 设函数 y=xx+2xx x，求 dydx48 求积分(x)dx，其中 f(x2-1)=ln ，且 f(x)=lnx49 计算定积分50
9、设 z=f2(x，xy)，其中厂具有一阶连续的偏导数，求51 计算二次积分 01dxx1x2 dy52 将 f(x)= 展开为(x+1) 的幂级数并求其收敛区间53 求微分方程 2x(y dy=0 的通解四、综合题54 用汽船拖载重相等的小船若干只，在两港之间来回送货物，已知每次拖 4 只小船，一日能来回 16 次，每次拖 7 只，则一日能来回 10 次，若小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回拖多少次，每次拖多少小船能使货运总量达到最大?54 平面图形由抛物线 y2=2x 与该曲线在点(12，1)处的法线围成，试求：55 该平面图形的面积；56 该平面图形绕 x 轴旋转一周形成的旋
10、转体体积五、证明题57 设 =1，且 f“(x)0，证明：f(x)x湖北省专升本（高等数学）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 要使函数有意义，须 ，求解得：0x1，选项 B 正确2 【正确答案】 C【试题解析】 因 f(-x)=2xcosxf(x)，也不等于-f(x)，即 f(x)非奇非偶，选项 A、D错误；事实上，x0 时，02 -x1，而 cosx 处处有界，进而 2-xcosx 是 x0 区间内的有界函数，选项 C 正确，又 f(x)=2-x(-1)ln2 cosx+2 -x(-sinx)=-2(ln2 c
11、osx+sinx)，在 x0 的区间内，f(x) 有正、有负，进而 f(x)无一致的单调性3 【正确答案】 A【试题解析】 所以 x0时，x-arctanx 是比 x2 高阶无穷小，选项 A 正确4 【正确答案】 C【试题解析】 首先肯定，x=1 皆为函数的间断点，因此两点处函数皆无定义又x1 时，y0，所以 x=-1 是函数的第一类间断点；又 x1 +时，y；x1 -时，y；故 x=1 也为函数的第一类间断点故选项 C 正确5 【正确答案】 A【试题解析】 因 f(1)=1，所以6 【正确答案】 C【试题解析】 令 y=4x3-4=0，得 x=1，于是所求的点为(1，f(1)，即(1，-3)
12、7 【正确答案】 B【试题解析】 因 y=f(ex)，故 dy=f(ex)e xdx，选项 B 正确8 【正确答案】 C【试题解析】 因定理结论为：f(b)-f(a)=f()(b-a)，(ab)所以，对已知的函数及区间，应有：ln2-ln1= -1；选项 C 正确9 【正确答案】 B【试题解析】 因 y=1- ，于是得 y=0，得驻点 x=34，又有不可导点：x=1；进而计算点 x=34，x=1 ，x=-5 处的函数值有： f(34)= ；f(1)=1，f(-5)=-5+ ，故函数在-5，1上的最大值为 54，选项 B 正确10 【正确答案】 B【试题解析】 因 f(x)=1- ，于是，f(x
13、)有驻点 x=1；有不可导点 x=0对于点 x=0：当- x0，f(x) 0；0x1 时 f(x)0，故 x=0 为f(x)的一个极大值点；f“(x)0，故 x=1 为 f(x)的一个极小值点对于点 x=1：当0x1 时，f(x)0；x 1 时综上所述，故 f(x)的极值点有 2 个11 【正确答案】 C【试题解析】 由不定积分的概念知，f(x)=(x 2e 2x+C)=2xe 2x+x2e 2x2=2x(1+x)e2x，选项 C 正确12 【正确答案】 C【试题解析】 因 dx=f(lnx)d(lnx)=f(lnx)+C，又 f(x)=e-x，故 dx=e-lnx+C+ +C，故选项 C 正
14、确13 【正确答案】 D【试题解析】 因为定积分 abarctanxdx 是一常数，所以其导数为 0，选项 D 正确14 【正确答案】 C【试题解析】 F(x)=f(x 4)(x 3)=2xf(x4)，故选项 C 正确15 【正确答案】 A【试题解析】 因当 1x2 时，0lnx1，进而，lnxln 2x，于是由定积分的不等性有： 12lnxdx 12ln2xdx，故选项 A 正确；而当 3x4 时，1lnx2，进而，lnxln 2x,，于是 34lnxdx 34ln2xdx，选项 C 错误；而对于 B 选项，由于 lnx 为递增函数，且 1x2 时，0lnx1；3x4 时，1lnx2，故12
15、lnxdx 34lnxdx，所以 B 错误；D 选项也错误，因12ln2xdx 12lnxdx 34lnxdx16 【正确答案】 D【试题解析】 因 f(1x)= 从而， 01f(x)dx=01dx=ln(1+x)|01=ln2选项 D 正确17 【正确答案】 B【试题解析】 因空间直线 的方向向量 s=3，1，-5；而平面4x+3y+3z+1=0 的法向量 n=4，3，3)，于是 s=34+13+(-5)3=0，从而，sn；又取直线上的点(-2，2，-1)，代入平面方程验证可知，点(-2，2，-1) 不在已知的平面内，故直线与平面平行，而不在平面内，选项 B 正确18 【正确答案】 D【试题
16、解析】 该曲面 z=x2+y2 可看做曲线 绕 x 轴旋转形成的旋转抛物面19 【正确答案】 C【试题解析】 20 【正确答案】 C【试题解析】 因 z=exy，故 dz=exy(ydx+xdy)，选项 C 正确21 【正确答案】 A【试题解析】 因积分区域 D 为： 如图所示 区域 D 又可表示为： ，故积分 I 交换积分次序后为 I=04dy f(x，y)dx，选项 A 正确22 【正确答案】 C【试题解析】 01dx01ex+ydz=01exdx01eydy=(e-1)223 【正确答案】 A【试题解析】 积分区域 D：x 2+y21 可用极坐标表示为：选项 A 正确。24 【正确答案】
17、 B【试题解析】 将路径 L 的方程代入曲线积分的被积表达式中计算 L(x-2xy2)dx+(y-2x2y)dy=02(x-2x5)+2(x2-2x4)xdx=02(x+2x3-6x5)=( x4-x6)|02=-54。25 【正确答案】 C【试题解析】 对于选项 A：u n=是 p=121 的 p 一级数，发散，故 A 选项中的级数发散；对于选项 B：u n=un=130，故级数发散；对于选项 C：u n= 100(1q) n，因q1，于是 01q 1，即选项 C 中的级数是公比大于 0 小于 1 的等比级数，收敛；对于选项 D：u n= =31，故级数发散仅选项 C 正确26 【正确答案】
18、 A【试题解析】 对于选项 A：其绝对值级数为 这是 p=321 的 p 一级数，故收敛，即原级数绝对收敛，选项 A 为正确选项对于选项 B：u n=(-1)n0，(n) ，故该级数发散；对于选项 C：其绝对值级数为发散，故绝对值级数也发散，即原级数不绝对收敛；对于选项 D：其绝对值级数为 ，这是 p=121 的p 一级数，发散，即原级数不绝对收敛27 【正确答案】 D【试题解析】 这四个选项中，区间端点相同，故只须验证级数在区间端点是否收敛即可得答案对于 x=0，对应的数项级数为： ，这是绝对收敛的级数，即幂级数在 x=0 处收敛；对于 x=2，对应的数项级数为： ，这是绝对收敛的级数，即幂
19、级数在 x=0 处收敛；对于 x=2，对应的数项级数为： ，这是p=21 的 p 一级数，收敛，故收敛域为闭区间0，2，选项 D 正确28 【正确答案】 B【试题解析】 选项 A 中的方程是二阶微分方程，不合要求；选项 B 中的方程，是一阶微分方程且 x2y 皆为一次的表达式，该方程符合要求；选项 C 中的方程中，含 y 的指数运算，不是线性运算，不合要求；选项 D 中，含 yy项，不是线性29 【正确答案】 A【试题解析】 原方程可化为： (y2)=x2，于是方程的通解为： x3+C，将初始条件 y|x=0=2 代入通解中，得 C=2，故特解为： =2选项 A 正确30 【正确答案】 D【试
20、题解析】 因微分方程的特征方程为：r 2+2r+1=0，于是有特征根：r 12 =-1，故微分方程的通解为：y=(C 1+C2x)e -x选项 D 正确二、填空题31 【正确答案】 充分必要【试题解析】 由两都的定义即可得到32 【正确答案】 x=1 ，y=1【试题解析】 =，所以 x=1 为垂直渐近线， =-1，所以y=-1 为水平渐近线33 【正确答案】 【试题解析】 34 【正确答案】 12【试题解析】 35 【正确答案】 【试题解析】 36 【正确答案】 x+2y+1=0【试题解析】 令 y=0，x=1，y=1+ ，y| x=1=2，所以所求法线方程为：y=-12(x1)37 【正确答
21、案】 1；1【试题解析】 2+ dx 便可判断 p1 时，原积分收敛，p1 时，原积分发散38 【正确答案】 aA+bB+cC=0【试题解析】 直线的方向向量为 s=a，b ，c，平面的法向量为 n=A，B，C，直线平行平面的充要条件为 sn=0即 aA+bB+cC=039 【正确答案】 m；M【试题解析】 因积分区域 D 的面积为 ，由二重积分估值性质可得m f(x，y)dM40 【正确答案】 dxdy【试题解析】 直接套用格林公式41 【正确答案】 2x+y-4=0【试题解析】 令 F(x，y， z)=2-ez+2xy-3 Fx|P=2y|P=4，F y|P=2x|P=2，F z|P=1-
22、ez|P=0，所以过 P 点切平面的法向量为 n=(4，2，02，1，0，所以切平面方程为 2(x-1)+(y-2)=0，即 2x+y-4=042 【正确答案】 12；12【试题解析】 显然有当 12 时，原级数收敛；当 12 时，级数发散43 【正确答案】 (-32，32)【试题解析】 ，n所以收敛半径为 R=32，收敛区间为(-32，32)44 【正确答案】 y=Ce -sinx【试题解析】 变量分离 +cosxdx=0，所以原方程的通解为 ln|y|+sinx=C1，即y=Ce-sinx45 【正确答案】 e x(C1cosx+C2sinx+1)【试题解析】 先求对应齐次方程 y“-2y
23、+2y=0 的通解因特征方程为 r2-2r+2=0，r= =1i，所以齐次方程的通解为 Y=ex(C1cox+C2sinx)，容易看出y*=ex 为原方程的特解，所以原方程的通解为：y=e x(C1cosx+C2sinx+1)三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 【正确答案】 47 【正确答案】 因 y=xx(1+2 x)，于是 =(xx)(1+2 x)+xx(1+2 x)=(exlnx)(1+2 x)+xx2 xLn2=e xlnx(lnx+1)(1+2 x)+xx2 xln2=xx(lnx+1)(1+2 x)+2xln248 【正确答案】 49 【正确答案】 50 【正确答案】 因
24、z=f2(x，xy)，f 可微，于是： =2f(x，xy)f 1(x，xy)+f2(x，xy)y=2f(x ，xy)f 1(x，xy)+yf 2(x，xy)=2f(x，xy)f 2(x，xy)x=2xf(x，xy)f 2(x，xy) 51 【正确答案】 由被积函数知，该二重积分如果先对 y 积分是不易积分的，它易于先对 x 积分，后对 y 积分因积分区域 D 为：52 【正确答案】 即所求幂级数为收敛区间为(-，十)53 【正确答案】 原微分方程可化为 =d(x2)两边积分，得：y=x 2四、综合题54 【正确答案】 由已知，增加了 3 只船，减少 6 次，设拖 x 只船，则增加 x-4 只船
25、，设减少 y 次，由给定的比例关系，有 3：6=(x-4)：y，y=2(x-4) ，设运货总量为M，则 M=x16-2(x-4)=24x-2x2，M=24-4x，令 M=0，x=6，所以一次拖 6 只船，来回 12 次能使货运量达到最大55 【正确答案】 因曲线 y2=2x 在点(12，1) 处的导数为 y =1，所以点(12， 1)处的曲线的法线方程为：y-1=-(x- )即 y=32-x 于是，曲线 y2=2x 与法线 y= -x 围成的平面图形如图 求解方程组得交点(12，1)，(92，-3) 故所求面积为： A=-31( y2)dy=16 3(平方单位)56 【正确答案】 所求旋转体的体积为：五、证明题57 【正确答案】 因当 x0 时， 极限存在，所以 f(0)=0，且 f(0)=1，(因为f(0)= =1)，即函数 y=f(x)过点(0，f(0)=0)的切线为y=x，又因为线弧位于任意点切线的上方，所以有 f(x)x，只有在 x=0 处取等号或这样证：设 F(x)=f(x)-x，则 F(x)=f(x)-1，所以 F(0)=0，又因 F“(x)=f“(x)0，所以 F“(0)0，故 F(x)在 x=0 处取得极小值 F(0)=f(0)=0，所以对于任意 x 恒有 F(x)F(0)=0，即 f(x)-x0，所以 f(x)x，且只有在 x=0 处取等号
