1、13.1.5 空间向量的数量积(1)主备人: 学生姓名: 得分: 1、教学内容:空间向量(第四课时)空间向量的数量积(1)2、教学目标1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法,掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律2.掌握两个向量的数量积的主要用途,会用它解决立体几何中一些简单的问题三、课前预习1、空间两个向量的夹角是怎样定义的,范围怎样规定?2空间向量的夹角定义 已知两个非零向量 a, b,在空间任取一点 O,作 a, b,则OA OB AOB 叫做向量 a, b 的夹角记法 a, b范围 a, b0,当 a, b 时, a_ b 23、空间向量的数量积(1)定义已知两个非零向量
2、a, b,则| a|b|cos a, b叫做 a, b 的数量积,记作 ab.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律 ( a)b (ab)( R)交换律 ab ba分配律 a(b c) ab ac(3)数量积的性质若 a, b 是非零向量,则 a bab0若 a 与 b 同向,则 ab| a|b|;若反向,则 ab| a|b|.特别地, aa| a|2或| a| aa若 为 a, b 的夹角,则 cos ab|a|b|两个向量数量积的性质| ab| a|b|4、讲解新课(1)讲解概念(2)知识要点2要点一 空间向量的数量积运算例 1 已知长方体 ABCDA1B1C1D1中, AB A
3、A12, AD4, E为侧面 AB1的中心, F 为 A1D1的中点试计算:(1) ;(2) BC ED1 BF AB1 规律方法 计算两个向量的数量积,可先将各向量用同一顶点上的三条棱对应向量表示,再代入数量积公式进行运算跟踪演练 1 已知空间向量 a, b, c 满足 a b c0,| a|3,| b|1,| c|4,则ab bc ca 的值为_要点二 利用数量积求夹角例 2 (课本例一 P92)规律方法 利用向量的数量积,求异面直线所成的角的方法:根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量;将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题;利用向量的数量积求角的大小;证两向量垂直可转化为数量积
4、为零跟踪演练 2 如图所示,正四面体 ABCD 的每条棱长都等于 a,点 M, N 分别是 AB, CD 的中点,求证: MN AB, MN CD.要点三 利用数量积求距离例 3 正三棱柱 ABCA1B1C1的各棱长都为 2, E、 F 分别是 AB、 A1C1的中点,求 EF 的长规律方法 利用向量的数量积求两点间的距离,可以转化为求向量的模的问题,其基本思3路是先选择以两点为端点的向量,将此向量表示为几个已知向量的和的形式,求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模,利用公式| a| 求解即可aa跟踪演练 3 课本 P92 例二五、课堂练习1若 a, b 均为非零向量,则 ab| a|
5、b|是 a 与 b 共线的_条件2已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60,那么| a3 b|等于_3对于向量 a、 b、 c 和实数 ,下列命题中的真命题是_若 ab0,则 a0 或 b0;若 a0,则 0 或 a0;若 a2 b2,则 a b 或 a b;若 ab ac,则 b c.4如图,已知空间四边形每条边和对角线长都等于 a,点 E、 F、 G分别是 AB、 AD、 DC 的中点,则下列向量的数量积等于 a2的是_2 2 BA AC AD DB 2 2 FG AC EF CB 6、课堂小结7、课后作业1已知 a(cos ,1,sin ), b(sin ,1,cos ),则向量
6、 a b 与 a b 的夹角是_2已知 a, b 是空间两个向量,若| a|2,| b|2,| a b| ,则 cos a, b7_.3已知| a|2,| b|3, a, b60,则|2 a3 b|等于_4已知向量 a 和 b 的夹角为 120,且| a|2,| b|5,则(2 a b)a 等于_5已知| a|1,| b| ,且 a b 与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角为_26. .如图所示,已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形,且 C1CB C1CD BCD60.求证: CC1 BD.47已知向量 a, b 满足| a|1,| b|2,且 a 与 b 的夹角为 ,求| a b| 38已知四面体 OABC 的棱长均为 1.求:(1) ; (2)( )( ); (3)| |.OA OB OA OB CA CB OA OB OC
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