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甘肃省镇原县二中2018_2019学年高二数学上学期期末考试试题理.doc

1、- 1 -20182019 学年度第一学期期末考试试题高二(数学) (理)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1命题“ aA 或 bB”的否定形式是( )A若 aA,则 bB B a A 或 b B C aA 且 bB D a A 且 b B2已知 aR,则“ a2”是“ a22 a”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3若椭圆 1( a b0)的离心率为 ,则双曲线 1 的离心率为( ) x2a2 y2b2 32 x2a2 y2b2A. B. C. D.54 52 32 54

2、4若 a(0,1,1), b(1,1,0),且( a b) a,则实数 的值是( )A1 B0 C1 D25下列说法正确的是( )A “x21”是“ x1”的充分不必要条件B “x1”是“ x25 x60”的必要不充分条件C命题“ x0 R,使得 x x010”的否定是:“ xR,均有 x2 x10”20D命题“若 ,则 sin sin ”的逆否命题为真命题6平面直角坐标系 xOy 中,若定点 A(1,2)与动点 P(x, y)满足 4,则点 P 的轨OP OA 迹方程是( )A x y4 B2 x y4 C x2 y4 D x2 y17如图 1,在正方体 ABCDA1B1C1D1中, M、

3、N 分别为 A1B1、 CC1的中点, P 为 AD 上一动点,记 为异面直线 PM 与 D1N 所成的角,则 的集合是( )A. B.Error! 2C.Error! D.Error! 图 18已知圆 x2 y2 mx 0 与抛物线 y x2的准线相切,则 m( )14 14A2 B. C. D2 3 2 39给出两个命题: p:| x| x 的充要条件是 x 为正实数, q:不等式| x y| x| y|取等号的条件是 xy0,则下列命题是真命题的是( )A p q B p q C( p) q D( p) q- 2 -10直线 y x3 与抛物线 y24 x 交于 A、 B 两点,过 A、

4、 B 两点向抛物线的准线作垂线,垂足为 P、 Q,则梯形 APQB 的面积为( )A48 B56 C64 D7211若点 O 和点 F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,x24 y23则 的最大值为( )OP FP A2 B3 C6 D812已知抛物线 x22 py(p0)的焦点为 F,过 F 作倾斜角为 30的直线,与抛物线交于 A, B 两点,若 (0,1),则 ( )|AF|BF| |AF|BF|A. B. C. D.15 14 13 12二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13已知双曲线 1 的右焦点为( ,0),则该双曲线的渐近线方

5、程为x29 y2a 13_14已知 a, b 是两个命题,如果 a 是 b 的充分条件,那么“ a”是“ b”的_条件15已知正方体 ABCDA1B1C1D1, P、 M 为空间任意两点,如果有 6 7 4PM PB1 AA1 BA ,那么 M 点一定在平面_内A1D1 16已知 F 是双曲线 1( a0, b0)的左焦点, E 是双曲线的右顶点,过点 F 且x2a2 y2b2垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A, B 两点,若 ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e的取值范围为_三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10

6、 分)已知 p:2 x29 x a0, q:Error!且 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围18(本小题满分 12 分)如图 3,四边形 MNPQ 是圆 C 的内接等腰梯形,向量 与 的夹CM PN 角为 120, 2.QC QM (1)建立坐标系,求圆 C 的方程;(2)求以 M, N 为焦点,过点 P, Q 的椭圆方程图 3- 3 -19(本小题满分 12 分)如图 4,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA平面ABCD, PA AD2, AB1, BM PD 于点 M.图 4(1)求证: AM PD;(2)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的余弦值20

7、(本小题满分 12 分)如图 5,在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中,侧棱 AA1底面ABCD, AB DC, AA11, AB3 k, AD4 k, BC5 k, DC6 k(k0)图 5(1)求证: CD平面 ADD1A1.(2)若直线 AA1与平面 AB1C 所成角的正弦值为 ,求 k 的值6721(本小题满分 12 分)如图 6,已知椭圆 1( a b0)的离心率为 ,以该椭圆x2a2 y2b2 22上的点和椭圆的左、右焦点 F1、 F2为顶点的三角形的周长为 4( 1),一等轴双曲线的顶点2是该椭圆的焦点,设 P 为该双曲线上异于顶点的任意一点,直线 PF1和 PF2与椭圆的交点分

8、别为 A、 B 和 C、 D.图 6(1)求椭圆和双曲线的标准方程;(2)设直线 PF1、 PF2的斜率分别为 k1、 k2,求证: k1k21.22(本小题满分 12 分)- 4 -图 7如图,点 P(0,1)是椭圆 C1: 1( a b0)的一个顶点, C1的长轴是圆x2a2 y2b2C2: x2 y24 的直径 l1, l2是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1交圆 C2于 A, B 两点,l2交椭圆 C1于另一点 D.(1)求椭圆 C1的方程;(2)求 ABD 面积取最大值时直线 l1的方程- 5 -镇原二中高二数学上学期期末数学试题(理)(时间:120 分钟,满分:150 分)

9、一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1命题“ aA 或 bB”的否定形式是( )A若 aA,则 bB B a A 或 b BC aA 且 bB D a A 且 b B【解析】 “ p 或 q”的否定为“非 p 且非 q”,D 正确【答案】 D2已知 aR,则“ a2”是“ a22 a”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】 a22 aa(a2)00 a2.“ a2”是“ a22 a”的必要不充分条件【答案】 B3若椭圆 1( a b0)的离心率为 ,则双曲线 1 的离心率

10、为( )x2a2 y2b2 32 x2a2 y2b2A. B. C. D.54 52 32 54【解析】 由题意,1 2 , ,而双曲线的离心率 e21 1 b2a2 (32) 34 b2a2 14 b2a2 14, e .54 52【答案】 B4若 a(0,1,1), b(1,1,0),且( a b) a,则实数 的值是( )A1 B0 C1 D2【解析】 a b(0,1,1)( , ,0)( ,1 ,1)( a b) a,( a b)a1 10, 2.【答案】 D5下列说法正确的是( )A “x21”是“ x1”的充分不必要条件B “x1”是“ x25 x60”的必要不充分条件C命题“ x

11、0 R,使得 x x010”的否定是:“ xR,均有 x2 x10”20D命题“若 ,则 sin sin ”的逆否命题为真命题- 6 -【解析】 “ x21”是“ x1”的必要不充分条件, “x1”是“ x25 x60”的充分不必要条件,A、B 均不正确;C 中命题的否定应该为“ xR,均有 x2 x10” ,故C 不正确【答案】 D6平面直角坐标系 xOy 中,若定点 A(1,2)与动点 P(x, y)满足 4,则点 P 的轨OP OA 迹方程是( )A x y4 B2 x y4C x2 y4 D x2 y1【解析】 由 ( x, y), (1,2)得 ( x, y)(1,2)OP OA O

12、P OA x2 y4, x2 y4 即为所求轨迹方程,故选 C.【答案】 C7如图 1,在正方体 ABCDA1B1C1D1中, M、 N 分别为 A1B1、 CC1的中点, P 为 AD 上一动点,记 为异面直线 PM 与 D1N 所成的角,则 的集合是( )图 1A. B.Error! 2C.Error! D.Error!【解析】 分别以 DA、 DC、 DD1所在的直线为 x、 y、 z 轴, D 为原点建系,连结AM、 DM,可以证明 , ,故 D1N平面 ADM, D1N PM,即 .AM D1N DM D1N 2【答案】 A8已知圆 x2 y2 mx 0 与抛物线 y x2的准线相切

13、,则 m( )14 14A2 B. 2 3C. D2 3【解析】 抛物线方程可化为 x24 y,其准线方程为 y1,圆的方程可化为- 7 -2 y2 ,是以 为圆心. 为半径的圆,由题意知 1, m(xm2) 14 m24 (m2, 0) m2 12 m2 12.3【答案】 D9给出两个命题: p:| x| x 的充要条件是 x 为正实数, q:不等式| x y| x| y|取等号的条件是 xy0,则下列命题是真命题的是( )A p q B p qC( p) q D( p) q【解析】 命题 p 为假,因为 x0 时,也有| x| x 成立;命题 q 也为假,因为当x0 或 y0 时,| x

14、y| x| y|也成立,因此只有( p) q 为真命题【答案】 D10直线 y x3 与抛物线 y24 x 交于 A、 B 两点,过 A、 B 两点向抛物线的准线作垂线,垂足为 P、 Q,则梯形 APQB 的面积为( )A48 B56 C64 D72【解析】 联立Error!可解得 A(1,2), B(9,6)抛物线准线为 x1,| AP|2,| BQ|10,| PQ|8, S 48. 2 10 82【答案】 A11若点 O 和点 F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,x24 y23则 的最大值为( )OP FP A2 B3 C6 D8【解析】 设椭圆上任意一点 P(

15、x0, y0),则有 1,即 y 3 x , O(0,0),x204 y203 20 3420F(1,0),则 x0(x01) y x x03OP FP 20 1420 (x02) 22.14| x0|2,当 x02 时, 取得最大值为 6.OP FP 【答案】 C12已知抛物线 x22 py(p0)的焦点为 F,过 F 作倾斜角为 30的直线,与抛物线交- 8 -于 A, B 两点,若 (0,1),则 ( )|AF|BF| |AF|BF|A. B. C. D.15 14 13 12【解析】 因为抛物线的焦点为 ,直线方程为 y x ,与抛物线方程联立得(0,p2) 33 p2x2 px p2

16、0,解方程得 xA p, xB p,所以 .故选 C.233 33 3 |AF|BF| |xA|xB| 13【答案】 C二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13已知双曲线 1 的右焦点为( ,0),则该双曲线的渐近线方程为x29 y2a 13_【解析】 由题意得:9 a13, a4,故渐近线方程为 y x.23【答案】 y x2314已知 a, b 是两个命题,如果 a 是 b 的充分条件,那么“ a”是“ b”的_条件【解析】 由题意 ab 成立,故其逆否命题为 b a 也成立“ a”是“ b”的必要条件【答案】 必要15已知正方体 ABCDA1B1C1D1, P、

17、 M 为空间任意两点,如果有 6 7 4 ,那么 M 点一定在平面_内PM PB1 AA1 BA A1D1 【解析】 6 6 4B1M PM PB1 BA BA AA1 A1D1 6 4BA BA1 A1D1 2 4 ,B1A1 BA1 BD1 2 4 ,B1M B1A1 BA1 BD1 即 2 4 .A1M BA1 BD1 故 , , 共面,即 M 点在平面 A1BCD1内A1M BA1 BD1 【答案】 A1BCD1- 9 -16已知 F 是双曲线 1( a0, b0)的左焦点, E 是双曲线的右顶点,过点 Fx2a2 y2b2且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A, B 两点,若 ABE

18、 是锐角三角形,则该双曲线的离心率e 的取值范围为_【解析】 ABE 为等腰三角形,可知只需 AEF45即可,即|AF| EF| a c,化简得 e2 e20,又 e1,1 e2,该双曲线的离心率 eb2a的取值范围为(1,2)【答案】 (1,2)三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)已知 p:2 x29 x a0, q:Error!且 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围【解】 由Error!得Error!即 2 x3. q:2 x3.设 A x|2x29 x a0, B x|2 x3, p q, qp.

19、B A.即 2 x3 满足不等式 2x29 x a0.设 f(x)2 x29 x a,要使 2 x3 满足不等式 2x29 x a0,需Error!即Error! a9.故所求实数 a 的取值范围是 a|a918(本小题满分 12 分)如图 3,四边形 MNPQ 是圆 C 的内接等腰梯形,向量 与 的夹CM PN 角为 120, 2.QC QM (1)建立坐标系,求圆 C 的方程;(2)求以 M, N 为焦点,过点 P, Q 的椭圆方程图 3- 10 -【解】 (1)建立如图坐标系,由题意得: CQM 为正三角形 r2cos 602, r2,QC QM 圆 C 的方程为: x2 y24.(2)

20、M(2,0), N(2,0), Q(1, ),2 a| QN| QM|2 2.3 3 c2, a 1, b2 a2 c22 .3 3椭圆方程为: 1.x24 23 y22319(本小题满分 12 分)如图 4,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA平面ABCD, PA AD2, AB1, BM PD 于点 M.图 4(1)求证: AM PD;(2)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的余弦值【解】 (1)证明 PA平面 ABCD, AB平面 ABCD, PA AB. AB AD, AD PA A, AB平面 PAD. PD平面 PAD, AB PD.- 11 - BM PD

21、, AB BM B, PD平面 ABM. AM平面 ABM, AM PD.(2)如图所示,以点 A 为坐标原点,建立空间直角坐标系 Axyz,则 A(0,0,0), P(0,0,2),B(1,0,0), C(1,2,0), D(0,2,0), M(0,1,1),于是 (1,2,0), (0,1,1), (1,0,0)AC AM CD 设平面 ACM 的一个法向量为 n( x, y, z),由 n , n 可得Error!AC AM 令 z1,得 x2, y1,于是 n(2,1,1)设直线 CD 与平面 ACM 所成的角为 ,则 sin ,cos .|CD nCD |n| 63 33故直线 CD

22、 与平面 ACM 所成的角的余弦值为 .3320(本小题满分 12 分)如图 5,在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中,侧棱 AA1底面ABCD, AB DC, AA11, AB3 k, AD4 k, BC5 k, DC6 k(k0)图 5(1)求证: CD平面 ADD1A1.(2)若直线 AA1与平面 AB1C 所成角的正弦值为 ,求 k 的值67- 12 -图(1)【证明】 (1)取 CD 的中点 E,连结 BE,如图(1) AB DE, AB DE3 k,四边形 ABED 为平行四边形, BE AD 且 BE AD4 k.在 BCE 中, BE4 k, CE3 k,BC5 k, BE2

23、CE2 BC2, BEC90,即 BE CD.又 BE AD, CD AD. AA1平面 ABCD, CD平面 ABCD, AA1 CD.又 AA1 AD A, CD平面 ADD1A1.图(2)(2)以 D 为原点, , , 的方向为 x, y, z 轴的正方向建立如图(2)所示的空间直角DA DC DD1 坐标系,则 A(4k,0,0), C(0,6k,0), B1(4k,3k,1), A1(4k,0,1), (4 k,6k,0), (0,3 k,1), (0,0,1)AC AB1 AA1 设平面 AB1C 的法向量 n( x, y, z),则由Error!得Error!取 y2,得 n(3

24、,2,6 k)设 AA1与平面 AB1C 所成的角为 ,则- 13 -sin |cos , n| ,解得 k1,故所求 k 的值为 1.AA1 |AA1 nAA1 |n| 6k36k2 13 6721如图 6,已知椭圆 1( a b0)的离心率为 ,以该椭圆上的点和椭圆的左、x2a2 y2b2 22右焦点 F1、 F2为顶点的三角形的周长为 4( 1),一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设2P 为该双曲线上异于顶点的任意一点,直线 PF1和 PF2与椭圆的交点分别为 A、 B 和 C、 D.图 6(1)求椭圆和双曲线的标准方程;(2)设直线 PF1、 PF2的斜率分别为 k1、 k2,求证:

25、k1k21.【解】 (1)设椭圆的半焦距为 c,由题意知 ,2 a2 c4( 1),所以ca 22 2a2 , c2.2又 a2 b2 c2,因此 b2.故椭圆的标准方程为 1.x28 y24由题意设等轴双曲线的标准方程为 1( m0),因为等轴双曲线的顶点是椭圆的x2m2 y2m2焦点,所以 m2,因此双曲线的标准方程为 1.x24 y24(2)设 P(x0, y0),则 k1 , k2 .y0x0 2 y0x0 2因为点 P 在双曲线 x2 y24 上,所以 x y 4.20 20因此 k1k2 1,即 k1k21.y0x0 2 y0x0 2 y20x20 422(本小题满分 12 分)-

26、 14 -图 7如图,点 P(0,1)是椭圆 C1: 1( a b0)的一个顶点, C1的长轴是圆x2a2 y2b2C2: x2 y24 的直径 l1, l2是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1交圆 C2于 A, B 两点,l2交椭圆 C1于另一点 D.(1)求椭圆 C1的方程;(2)求 ABD 面积取最大值时直线 l1的方程【解】 (1)由题意得Error!所以椭圆 C 的方程为 y21.x24(2)设 A(x1, y1), B(x2, y2), D(x0, y0)由题意知直线 l1的斜率存在,不妨设其为k,则直线 l1的方程为 y kx1.又圆 C2: x2 y24,故点 O 到直线 l1的距离 d ,1k2 1所以| AB|2 2 .4 d24k2 3k2 1又 l2 l1,故直线 l2的方程为 x ky k0.由Error!消去 y,整理得(4 k2)x28 kx0,- 15 -故 x0 ,所以| PD| .8k4 k2 8k2 14 k2设 ABD 的面积为 S,则 S |AB|PD| ,12 84k2 34 k2所以 S ,当且仅当 k 时取等324k2 3 134k2 3322 4k2 3 134k2 3 161313 102号所以所求直线 l1的方程为 y x1.102

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