1、- 1 -20182019 学年度第一学期期末考试试题高二（数学） （理）一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1命题“ aA 或 bB”的否定形式是( )A若 aA，则 bB B a A 或 b B C aA 且 bB D a A 且 b B2已知 aR，则“ a2”是“ a22 a”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3若椭圆 1( a b0)的离心率为 ，则双曲线 1 的离心率为( ) x2a2 y2b2 32 x2a2 y2b2A. B. C. D.54 52 32 54
2、4若 a(0,1，1)， b(1,1,0)，且( a b) a，则实数 的值是( )A1 B0 C1 D25下列说法正确的是( )A “x21”是“ x1”的充分不必要条件B “x1”是“ x25 x60”的必要不充分条件C命题“ x0 R，使得 x x010”的否定是：“ xR，均有 x2 x10”20D命题“若 ，则 sin sin ”的逆否命题为真命题6平面直角坐标系 xOy 中，若定点 A(1,2)与动点 P(x， y)满足 4，则点 P 的轨OP OA 迹方程是( )A x y4 B2 x y4 C x2 y4 D x2 y17如图 1，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， M、
3、N 分别为 A1B1、 CC1的中点， P 为 AD 上一动点，记 为异面直线 PM 与 D1N 所成的角，则 的集合是( )A. B.Error! 2C.Error! D.Error! 图 18已知圆 x2 y2 mx 0 与抛物线 y x2的准线相切，则 m( )14 14A2 B. C. D2 3 2 39给出两个命题： p：| x| x 的充要条件是 x 为正实数， q：不等式| x y| x| y|取等号的条件是 xy0，则下列命题是真命题的是( )A p q B p q C( p) q D( p) q- 2 -10直线 y x3 与抛物线 y24 x 交于 A、 B 两点，过 A、
4、 B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足为 P、 Q，则梯形 APQB 的面积为( )A48 B56 C64 D7211若点 O 和点 F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，x24 y23则 的最大值为( )OP FP A2 B3 C6 D812已知抛物线 x22 py(p0)的焦点为 F，过 F 作倾斜角为 30的直线，与抛物线交于 A， B 两点，若 (0,1)，则 ( )|AF|BF| |AF|BF|A. B. C. D.15 14 13 12二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13已知双曲线 1 的右焦点为( ，0)，则该双曲线的渐近线方
5、程为x29 y2a 13_14已知 a， b 是两个命题，如果 a 是 b 的充分条件，那么“ a”是“ b”的_条件15已知正方体 ABCDA1B1C1D1， P、 M 为空间任意两点，如果有 6 7 4PM PB1 AA1 BA ，那么 M 点一定在平面_内A1D1 16已知 F 是双曲线 1( a0， b0)的左焦点， E 是双曲线的右顶点，过点 F 且x2a2 y2b2垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A， B 两点，若 ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e的取值范围为_三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10
6、 分)已知 p：2 x29 x a0， q：Error!且 q 是 p 的必要条件，求实数 a 的取值范围18(本小题满分 12 分)如图 3，四边形 MNPQ 是圆 C 的内接等腰梯形，向量 与 的夹CM PN 角为 120， 2.QC QM (1)建立坐标系，求圆 C 的方程；(2)求以 M， N 为焦点，过点 P， Q 的椭圆方程图 3- 3 -19(本小题满分 12 分)如图 4，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面ABCD， PA AD2， AB1， BM PD 于点 M.图 4(1)求证： AM PD；(2)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的余弦值20
7、(本小题满分 12 分)如图 5，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，侧棱 AA1底面ABCD， AB DC， AA11， AB3 k， AD4 k， BC5 k， DC6 k(k0)图 5(1)求证： CD平面 ADD1A1.(2)若直线 AA1与平面 AB1C 所成角的正弦值为 ，求 k 的值6721(本小题满分 12 分)如图 6，已知椭圆 1( a b0)的离心率为 ，以该椭圆x2a2 y2b2 22上的点和椭圆的左、右焦点 F1、 F2为顶点的三角形的周长为 4( 1)，一等轴双曲线的顶点2是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线 PF1和 PF2与椭圆的交点分
8、别为 A、 B 和 C、 D.图 6(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线 PF1、 PF2的斜率分别为 k1、 k2，求证： k1k21.22(本小题满分 12 分)- 4 -图 7如图，点 P(0，1)是椭圆 C1： 1( a b0)的一个顶点， C1的长轴是圆x2a2 y2b2C2： x2 y24 的直径 l1， l2是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中 l1交圆 C2于 A， B 两点，l2交椭圆 C1于另一点 D.(1)求椭圆 C1的方程；(2)求 ABD 面积取最大值时直线 l1的方程- 5 -镇原二中高二数学上学期期末数学试题（理）(时间：120 分钟，满分：150 分)
9、一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1命题“ aA 或 bB”的否定形式是( )A若 aA，则 bB B a A 或 b BC aA 且 bB D a A 且 b B【解析】 “ p 或 q”的否定为“非 p 且非 q”，D 正确【答案】 D2已知 aR，则“ a2”是“ a22 a”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】 a22 aa(a2)00 a2.“ a2”是“ a22 a”的必要不充分条件【答案】 B3若椭圆 1( a b0)的离心率为 ，则双曲线 1 的离心率
10、为( )x2a2 y2b2 32 x2a2 y2b2A. B. C. D.54 52 32 54【解析】 由题意，1 2 ， ，而双曲线的离心率 e21 1 b2a2 (32) 34 b2a2 14 b2a2 14， e .54 52【答案】 B4若 a(0,1，1)， b(1,1,0)，且( a b) a，则实数 的值是( )A1 B0 C1 D2【解析】 a b(0,1，1)( ， ，0)( ，1 ，1)( a b) a，( a b)a1 10， 2.【答案】 D5下列说法正确的是( )A “x21”是“ x1”的充分不必要条件B “x1”是“ x25 x60”的必要不充分条件C命题“ x
11、0 R，使得 x x010”的否定是：“ xR，均有 x2 x10”20D命题“若 ，则 sin sin ”的逆否命题为真命题- 6 -【解析】 “ x21”是“ x1”的必要不充分条件， “x1”是“ x25 x60”的充分不必要条件，A、B 均不正确；C 中命题的否定应该为“ xR，均有 x2 x10” ，故C 不正确【答案】 D6平面直角坐标系 xOy 中，若定点 A(1,2)与动点 P(x， y)满足 4，则点 P 的轨OP OA 迹方程是( )A x y4 B2 x y4C x2 y4 D x2 y1【解析】 由 ( x， y)， (1,2)得 ( x， y)(1,2)OP OA O
12、P OA x2 y4， x2 y4 即为所求轨迹方程，故选 C.【答案】 C7如图 1，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， M、 N 分别为 A1B1、 CC1的中点， P 为 AD 上一动点，记 为异面直线 PM 与 D1N 所成的角，则 的集合是( )图 1A. B.Error! 2C.Error! D.Error!【解析】 分别以 DA、 DC、 DD1所在的直线为 x、 y、 z 轴， D 为原点建系，连结AM、 DM，可以证明 ， ，故 D1N平面 ADM， D1N PM，即 .AM D1N DM D1N 2【答案】 A8已知圆 x2 y2 mx 0 与抛物线 y x2的准线相切
13、，则 m( )14 14A2 B. 2 3C. D2 3【解析】 抛物线方程可化为 x24 y，其准线方程为 y1，圆的方程可化为- 7 -2 y2 ，是以 为圆心. 为半径的圆，由题意知 1， m(xm2) 14 m24 (m2， 0) m2 12 m2 12.3【答案】 D9给出两个命题： p：| x| x 的充要条件是 x 为正实数， q：不等式| x y| x| y|取等号的条件是 xy0，则下列命题是真命题的是( )A p q B p qC( p) q D( p) q【解析】 命题 p 为假，因为 x0 时，也有| x| x 成立；命题 q 也为假，因为当x0 或 y0 时，| x
14、y| x| y|也成立，因此只有( p) q 为真命题【答案】 D10直线 y x3 与抛物线 y24 x 交于 A、 B 两点，过 A、 B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足为 P、 Q，则梯形 APQB 的面积为( )A48 B56 C64 D72【解析】 联立Error!可解得 A(1，2)， B(9,6)抛物线准线为 x1，| AP|2，| BQ|10，| PQ|8， S 48. 2 10 82【答案】 A11若点 O 和点 F 分别为椭圆 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，x24 y23则 的最大值为( )OP FP A2 B3 C6 D8【解析】 设椭圆上任意一点 P(
15、x0， y0)，则有 1，即 y 3 x ， O(0,0)，x204 y203 20 3420F(1,0)，则 x0(x01) y x x03OP FP 20 1420 (x02) 22.14| x0|2，当 x02 时， 取得最大值为 6.OP FP 【答案】 C12已知抛物线 x22 py(p0)的焦点为 F，过 F 作倾斜角为 30的直线，与抛物线交- 8 -于 A， B 两点，若 (0,1)，则 ( )|AF|BF| |AF|BF|A. B. C. D.15 14 13 12【解析】 因为抛物线的焦点为 ，直线方程为 y x ，与抛物线方程联立得(0，p2) 33 p2x2 px p2
16、0，解方程得 xA p， xB p，所以 .故选 C.233 33 3 |AF|BF| |xA|xB| 13【答案】 C二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13已知双曲线 1 的右焦点为( ，0)，则该双曲线的渐近线方程为x29 y2a 13_【解析】 由题意得：9 a13， a4，故渐近线方程为 y x.23【答案】 y x2314已知 a， b 是两个命题，如果 a 是 b 的充分条件，那么“ a”是“ b”的_条件【解析】 由题意 ab 成立，故其逆否命题为 b a 也成立“ a”是“ b”的必要条件【答案】 必要15已知正方体 ABCDA1B1C1D1， P、
17、 M 为空间任意两点，如果有 6 7 4 ，那么 M 点一定在平面_内PM PB1 AA1 BA A1D1 【解析】 6 6 4B1M PM PB1 BA BA AA1 A1D1 6 4BA BA1 A1D1 2 4 ，B1A1 BA1 BD1 2 4 ，B1M B1A1 BA1 BD1 即 2 4 .A1M BA1 BD1 故 ， ， 共面，即 M 点在平面 A1BCD1内A1M BA1 BD1 【答案】 A1BCD1- 9 -16已知 F 是双曲线 1( a0， b0)的左焦点， E 是双曲线的右顶点，过点 Fx2a2 y2b2且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A， B 两点，若 ABE
18、 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为_【解析】 ABE 为等腰三角形，可知只需 AEF45即可，即|AF| EF| a c，化简得 e2 e20，又 e1，1 e2，该双曲线的离心率 eb2a的取值范围为(1,2)【答案】 (1,2)三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)已知 p：2 x29 x a0， q：Error!且 q 是 p 的必要条件，求实数 a 的取值范围【解】 由Error!得Error!即 2 x3. q：2 x3.设 A x|2x29 x a0， B x|2 x3， p q， qp.
19、B A.即 2 x3 满足不等式 2x29 x a0.设 f(x)2 x29 x a，要使 2 x3 满足不等式 2x29 x a0，需Error!即Error! a9.故所求实数 a 的取值范围是 a|a918(本小题满分 12 分)如图 3，四边形 MNPQ 是圆 C 的内接等腰梯形，向量 与 的夹CM PN 角为 120， 2.QC QM (1)建立坐标系，求圆 C 的方程；(2)求以 M， N 为焦点，过点 P， Q 的椭圆方程图 3- 10 -【解】 (1)建立如图坐标系，由题意得： CQM 为正三角形 r2cos 602， r2，QC QM 圆 C 的方程为： x2 y24.(2)
20、M(2,0)， N(2,0)， Q(1， )，2 a| QN| QM|2 2.3 3 c2， a 1， b2 a2 c22 .3 3椭圆方程为： 1.x24 23 y22319(本小题满分 12 分)如图 4，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面ABCD， PA AD2， AB1， BM PD 于点 M.图 4(1)求证： AM PD；(2)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的余弦值【解】 (1)证明 PA平面 ABCD， AB平面 ABCD， PA AB. AB AD， AD PA A， AB平面 PAD. PD平面 PAD， AB PD.- 11 - BM PD
21、， AB BM B， PD平面 ABM. AM平面 ABM， AM PD.(2)如图所示，以点 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)， P(0,0,2)，B(1,0,0)， C(1,2,0)， D(0,2,0)， M(0,1,1)，于是 (1,2,0)， (0,1,1)， (1,0,0)AC AM CD 设平面 ACM 的一个法向量为 n( x， y， z)，由 n ， n 可得Error!AC AM 令 z1，得 x2， y1，于是 n(2，1,1)设直线 CD 与平面 ACM 所成的角为 ，则 sin ，cos .|CD nCD |n| 63 33故直线 CD
22、 与平面 ACM 所成的角的余弦值为 .3320(本小题满分 12 分)如图 5，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，侧棱 AA1底面ABCD， AB DC， AA11， AB3 k， AD4 k， BC5 k， DC6 k(k0)图 5(1)求证： CD平面 ADD1A1.(2)若直线 AA1与平面 AB1C 所成角的正弦值为 ，求 k 的值67- 12 -图(1)【证明】 (1)取 CD 的中点 E，连结 BE，如图(1) AB DE， AB DE3 k，四边形 ABED 为平行四边形， BE AD 且 BE AD4 k.在 BCE 中， BE4 k， CE3 k，BC5 k， BE2
23、CE2 BC2， BEC90，即 BE CD.又 BE AD， CD AD. AA1平面 ABCD， CD平面 ABCD， AA1 CD.又 AA1 AD A， CD平面 ADD1A1.图(2)(2)以 D 为原点， ， ， 的方向为 x， y， z 轴的正方向建立如图(2)所示的空间直角DA DC DD1 坐标系，则 A(4k,0,0)， C(0,6k,0)， B1(4k,3k,1)， A1(4k,0,1)， (4 k,6k,0)， (0,3 k,1)， (0,0,1)AC AB1 AA1 设平面 AB1C 的法向量 n( x， y， z)，则由Error!得Error!取 y2，得 n(3
24、,2，6 k)设 AA1与平面 AB1C 所成的角为 ，则- 13 -sin |cos ， n| ，解得 k1，故所求 k 的值为 1.AA1 |AA1 nAA1 |n| 6k36k2 13 6721如图 6，已知椭圆 1( a b0)的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、x2a2 y2b2 22右焦点 F1、 F2为顶点的三角形的周长为 4( 1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设2P 为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线 PF1和 PF2与椭圆的交点分别为 A、 B 和 C、 D.图 6(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线 PF1、 PF2的斜率分别为 k1、 k2，求证：
25、k1k21.【解】 (1)设椭圆的半焦距为 c，由题意知 ，2 a2 c4( 1)，所以ca 22 2a2 ， c2.2又 a2 b2 c2，因此 b2.故椭圆的标准方程为 1.x28 y24由题意设等轴双曲线的标准方程为 1( m0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的x2m2 y2m2焦点，所以 m2，因此双曲线的标准方程为 1.x24 y24(2)设 P(x0， y0)，则 k1 ， k2 .y0x0 2 y0x0 2因为点 P 在双曲线 x2 y24 上，所以 x y 4.20 20因此 k1k2 1，即 k1k21.y0x0 2 y0x0 2 y20x20 422(本小题满分 12 分)-
26、 14 -图 7如图，点 P(0，1)是椭圆 C1： 1( a b0)的一个顶点， C1的长轴是圆x2a2 y2b2C2： x2 y24 的直径 l1， l2是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中 l1交圆 C2于 A， B 两点，l2交椭圆 C1于另一点 D.(1)求椭圆 C1的方程；(2)求 ABD 面积取最大值时直线 l1的方程【解】 (1)由题意得Error!所以椭圆 C 的方程为 y21.x24(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， D(x0， y0)由题意知直线 l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线 l1的方程为 y kx1.又圆 C2： x2 y24，故点 O 到直线 l1的距离 d ，1k2 1所以| AB|2 2 .4 d24k2 3k2 1又 l2 l1，故直线 l2的方程为 x ky k0.由Error!消去 y，整理得(4 k2)x28 kx0，- 15 -故 x0 ，所以| PD| .8k4 k2 8k2 14 k2设 ABD 的面积为 S，则 S |AB|PD| ，12 84k2 34 k2所以 S ，当且仅当 k 时取等324k2 3 134k2 3322 4k2 3 134k2 3 161313 102号所以所求直线 l1的方程为 y x1.102
