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2019年高考数学总复习典型例题突破(压轴题系列)专题01极值点的关系证明.doc

1、1专题 01 极值点的关系证明极值点的关系证明是今年高考的热点和难点,其关键在于根据极值的必要条件确定极值 点 的关系,再通过极值的加减,运算整理,构造函数,再利用导数求最 值即可证明。以下给出四个例子及两个练习。【题型示例】1、已知函数 ,其中 为正实数 (1)若函数 在 处的切线斜率为 ,求 的值;(2)求函数 的单调区间;(3)若函数 有两个极值点 ,求证: 【答案】(1) (2)单调减区间为 , ,单调减区间为 (3)见解析【解析】(1)因为 ,所以 ,则 ,所以 的值为 (2) ,函数 的定义域为 ,若 ,即 ,则 ,此时 的单调减区间为 ;若 ,即 ,则 的两根为 ,此时 的单调减

2、区间为 , ,单调减区间为 (3)由(2)知 ,当 时,函数 有两个极值点 ,且 因为2要证 ,只需证 构造函数 ,则 ,在 上单调递增,又 ,且 在定义域上不间断,由零点存在定理,可知 在 上唯一实根 , 且 则 在 上递减, 上递增,所以 的最小值为 因为 ,当 时, ,则 ,所以 恒成立所以 ,所以 ,得证2、已知 。 (1)若 时, 在 上为单调递增函数,求实数的取值范围.(2)若 , 存在两个极值点 , 且 ,求实数 的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】3(1)当 时, , 在 上为单调递增函数,即,只需满足 即可,即 .(2) , , ,令 , 时, , , 无极值点,

3、时,令 得: 或 ,由 的定义域可知 ,且 , 且 ,解得: , , 为 的两个极值点,即 , ,且 , ,得:,令 , , 时, , ,4, 在 递减, , 时, ,不合题意,综上, .3、已知函数 (1)当 时,求 的极值;(2)讨论 的单调性;(3)设 有两个极值点 , ,若过两点 , 的直线 与 轴的交点在曲线上,求 的值【答案】(1)当 时, 的极大值为 ;当 时, 的极小值为 ;(2)见解析;(3) 或 或 【解析】(1)当 时, ,则则 的关系如下: 增 减 增所以,当 时, 的极大值为 ;当 时, 的极小值为 (2) ,当 时, ,且仅当 时 ,所以 在 R 是增函数当 时,

4、有两个根5当 时,得 或 ,所以 的单独增区间为:;当 时,得 ,所以 的单独减区间为: (3)由题设知, , 是 的两个根, ,且所 以同理, 所以,直线 的解析式为设直线 与 轴的交点为 则 ,解得代入 得因为 在 轴上,所以解得, 或 或 4、已知 。(1)若 时, 在 上为单调递增函数,求实数的取值范围.(2)若 , 存在两个极值点 , 且 ,求实数 的取值范围.【答案】(1) ;(2) . 【解析】(1)当 时, , 在 上为单调递增函数,即,只需满足 即可,即 .6(2) , , ,令 , 时, , , 无极值点,时,令 得: 或 ,由 的定义域可知 ,且 , 且 ,解得: , ,

5、 为 的两个极值点 ,即 , ,且 , ,得:,令 , , 时, , , 在 递减, , 时, ,不合题意,综上, .7【专题练习】1、设函数 , .(1)若曲线 在点 处的切线与直线 垂直,求 的值;(2)求函数 的单调区间;(3)若函数 有两个极值点 ,且 ,求证: .【答案】(1) ;(2)函数 在 , 单调递增,在单调递减(3)当函数 有两个极值点时, , ,故此时 ,且 ,即 ,所 以 ,设 ,其中 ,则 ,由于 时, ,故 在 是增函数,故 ,所以.当 ,即 时, 的两个根为 , ,当 ,即 时, ,当 时, 故当 时,函数 在 单调递减,在 单调递增;8当 时,函数 在 , 单调递增,在单调递减(3)当函数 有两个极值点时, , ,故此时 ,且 ,即 ,所以 ,设 ,其中 ,则 ,由于 时, ,故 在 是 增函数,故 ,所以.2、 已知函数 .(1) 当 时,求曲线 在点 处的切线方程;(2) 若函数 有两个极值点 ,求 的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)当 时, , ,所以 .因此曲线 在点 处的切线方程为 .(2)由题意得 ,故 的两个不等的实数为 .9由韦达定理得 ,解得 .故 ,设 .则 ,所以 在 上单调递减,所以 .因此 的取值范围为 .

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