1、1专题 01 极值点的关系证明极值点的关系证明是今年高考的热点和难点，其关键在于根据极值的必要条件确定极值 点 的关系，再通过极值的加减，运算整理，构造函数，再利用导数求最 值即可证明。以下给出四个例子及两个练习。【题型示例】1、已知函数 ,其中 为正实数 (1)若函数 在 处的切线斜率为 ，求 的值；(2)求函数 的单调区间；(3)若函数 有两个极值点 ，求证： 【答案】(1) (2)单调减区间为 , ,单调减区间为 (3)见解析【解析】(1)因为 ，所以 ，则 ,所以 的值为 (2) ，函数 的定义域为 ，若 ,即 ,则 ,此时 的单调减区间为 ;若 ,即 ,则 的两根为 ,此时 的单调减
2、区间为 , ,单调减区间为 (3)由(2)知 ，当 时，函数 有两个极值点 ,且 因为2要证 ,只需证 构造函数 ，则 ，在 上单调递增,又 ,且 在定义域上不间断,由零点存在定理，可知 在 上唯一实根 , 且 则 在 上递减, 上递增,所以 的最小值为 因为 ,当 时, ,则 ,所以 恒成立所以 ,所以 ，得证2、已知 。 (1)若 时, 在 上为单调递增函数,求实数的取值范围.(2)若 , 存在两个极值点 , 且 ,求实数 的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】3(1)当 时, , 在 上为单调递增函数,即,只需满足 即可,即 .(2) , , ,令 , 时, , , 无极值点,
3、时,令 得: 或 ,由 的定义域可知 ,且 , 且 ,解得: , , 为 的两个极值点,即 , ,且 , ,得:,令 , , 时, , ,4, 在 递减, , 时, ,不合题意,综上, .3、已知函数 （1）当 时，求 的极值；（2）讨论 的单调性；（3）设 有两个极值点 ， ，若过两点 ， 的直线 与 轴的交点在曲线上，求 的值【答案】（1）当 时， 的极大值为 ；当 时， 的极小值为 ；（2）见解析；（3） 或 或 【解析】（1）当 时， ，则则 的关系如下： 增 减 增所以，当 时， 的极大值为 ；当 时， 的极小值为 （2） ，当 时， ，且仅当 时 ，所以 在 R 是增函数当 时，
4、有两个根5当 时，得 或 ，所以 的单独增区间为：；当 时，得 ，所以 的单独减区间为： （3）由题设知， ， 是 的两个根， ，且所 以同理， 所以，直线 的解析式为设直线 与 轴的交点为 则 ，解得代入 得因为 在 轴上，所以解得， 或 或 4、已知 。(1)若 时, 在 上为单调递增函数,求实数的取值范围.(2)若 , 存在两个极值点 , 且 ,求实数 的取值范围.【答案】(1) ;(2) . 【解析】(1)当 时, , 在 上为单调递增函数,即,只需满足 即可,即 .6(2) , , ,令 , 时, , , 无极值点,时,令 得: 或 ,由 的定义域可知 ,且 , 且 ,解得: , ,
5、 为 的两个极值点 ,即 , ,且 , ,得:,令 , , 时, , , 在 递减, , 时, ,不合题意,综上, .7【专题练习】1、设函数 ， .（1）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求 的值；（2）求函数 的单调区间；（3）若函数 有两个极值点 ，且 ，求证： .【答案】（1） ；（2）函数 在 ， 单调递增，在单调递减（3）当函数 有两个极值点时， ， ，故此时 ，且 ，即 ，所 以 ，设 ，其中 ，则 ，由于 时， ，故 在 是增函数，故 ，所以.当 ，即 时， 的两个根为 ， ，当 ，即 时， ，当 时， 故当 时，函数 在 单调递减，在 单调递增；8当 时，函数 在 ， 单调递增，在单调递减（3）当函数 有两个极值点时， ， ，故此时 ，且 ，即 ，所以 ，设 ，其中 ，则 ，由于 时， ，故 在 是 增函数，故 ，所以.2、 已知函数 .(1) 当 时，求曲线 在点 处的切线方程；(2) 若函数 有两个极值点 ，求 的取值范围.【答案】（1） ；（2） .【解析】（1）当 时， ， ，所以 .因此曲线 在点 处的切线方程为 .（2）由题意得 ，故 的两个不等的实数为 .9由韦达定理得 ，解得 .故 ，设 .则 ，所以 在 上单调递减，所以 .因此 的取值范围为 .
