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北京市师范大学附属中学2017_2018学年高一数学上学期期中试卷(含解析).doc

1、1北京师大附中 2017-2018 学年上学期高一年级期中考试数学试卷本试卷共 150 分,考试时间 120 分钟。一、选择题:共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1.已知集合 , ,则集合A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接根据并集的运算性质计算即可.【详解】 集合 ,所以集合 ,故选 B.【点睛】研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性.研究两集合的关系时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,本题实质求满足属于集合 或属于集合 的元素的集合2.下列函数中,在其定义域内是减函数的是A. B. C. D.

2、【答案】C【解析】【分析】直接根据单调性的定义对选项逐一判断即可.【详解】对于 在定义域 内是增函数,不满足题意;A,f(x)=x3 R对于 在 递减,在 递增,不满足题意;B,y=x2 (,0) (0,+)对于 定义域 内是减函数,满足题意;C,y=x+1 R对于 在 和 都单调递减,但在整个定义域没有单调性,不满足题意,故D,y=2x (,0) (0,+)选 C.【点睛】本题最主要考查函数单调性的定义,意在考查对基本概念的掌握与应用,属于简单题.23.若 , ,则有aabab2 ab2abaC. D. abaab2 abab2a【答案】B【解析】【分析】令 ,可排除选项 ,利用不等式的性质

3、可证明 .a=1,b=12 A,C,D B【详解】令 ,可排除选项 ,a=1,b=12 A,C,D对 , ,B 00又 ,a0,a(1b)0,aababa【点睛】利用条件判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手:(1)利用不等式的性质直接判断;(2)利用函数式的单调性判断;(3)利用特殊值判断.4.“a=0”是“ 为奇函数”的f(x)=ax1x2A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】直接根据函数的奇偶性的定义与性质,结合充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】 , 的图象关于原点对称,所以 是奇函数;a=0f(x)=0

4、f(x) f(x若 为奇函数,则 ,即不能推出 ,f(x)=ax1-x2 aR a=03所以 ,是 为奇函数充分非必要条件,故选 A.a=0 f(x)=ax1-x2【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的定义与性质、充分条件与必要条件的定义,意在考查对基础知识掌握的熟练程度,属于中档题.5.下列不等式中,不正确的是A. B. x+1x2 x2+x+10C. D. 若 ,则x2+5x2+452 x3 x+1x35【答案】A【解析】【分析】利用特殊值判断 ;利用判别式判断 ;利用单调性判断 ;利用基本不等式判断 D.A B C【详解】在 中,若 ,则 ,故 不成立;A x0,=14=30 R B在 中,

5、 ,设 , 在 上递增,所以Cx2+5x2+4=x2+4+1x2+4= x2+4+ 1x2+4 x2+4=t,t2g(t)=t+1t 2,+)有最小值 ,故 成立;g(2)=52 C在 中, , ,当且仅当D x3,x30 x+1x3=x3+1x3+32(x3)1x3+3=5时取等号, 的最小值为 5, 成立;x=4 x+1x3 D不正确的结论是 ,故选 A.A【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值,属于难题.利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小) ;三相等是,最后一

6、定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是多次用 或 时 等号能否同时成立)6.函数 满足对任意的 x,均有 ,那么 , , 的大f(x)=x2+px+q f(1+x)=f(1x) f(0) f(1) f(1)小关系是A. B. f(1)0考点:二分法求零点8.已知 为定义在 -1,1上的奇函数,且 在0,1 上单调递减,则使不等式f(x) f(x)成立的 x 的取值范围是f(x)+f(13x)3x-1解即可.【详解】因为 为奇函数,且 在 上单调递减,f(x) f(x) 0,1所以 在 上单调递减f(x) 1,1所以 化为 ,f(x)+f(1-3x)3x-1 f(x

7、) 1,1所以 ,解得 ,1x113x1x3x1 0x0所以 ,故答案为-1.f(f(-2)= f(4)=14=1【点睛】本题主要考查分段函数的解析式,属于简单题. 求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现 的形式时,应f(f(a)从内到外依次求值11.已知命题 , ,则 为_;其中为真命题的是_(填p:x(,2)3x20,y0的最小值是 .xy+(2y)x【答案】 2【解析】由新定义运算知, ,因为, ,(2y)x=(2y)2x2(2y)x=4y2x22xy x0,y0所以, ,当且仅当 时,xy+(2y)x=x2y2xy+4y2x22xy=

8、x2+2y22xy 22xy2xy= 2 x= 2y的最小值是 .xy+(2y)x 2考点:1.新定义运算;2.基本不等式.8视频14.函数 的定义域为 D,若对于任意 , ,当 时,都有 ,则称函f(x) x1 x2D x15 x1时, ,m=8 B=x|2x11 x2x10,x1x21 f(x2)f(x1)=(x2x1)(x2+x12x1x2),从而可得结果.f(x2)f(x1)【详解】 (1) ,f(x)=x2+2x,f(x)=x22x,f(x)+f(x)0,f(x)f(x)0即不是奇函数,又不是偶函数.f(x)(2)任取 ,则 ,x2x11 x2x10,x1x21,f(x2)f(x1)

9、=(x2x1)(x2+x12x1x2),x2+x12,2x1x20f(x2)f(x1)是增函数.f(x)【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的单调性,属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是:(1)在已知区间上任取 ;(2)作差 ;(3)判x2x1 f(x2)f(x1)断 的符号(往往先分解因式,再判断各因式的符号) , 可得 在已f(x2)f(x1) f(x2)f(x1)0 f(x)知区间上是增函数, 可得 在已知区间上是减函数.f(x2)f(x1)1 (1)当 时,求 的单调区间;a=-2 f(x)(2)当 时,求不等式 的解集;a0 f(x)0【答案】 (1) 的单调减区间

10、为 , ,无单调增区间;(2)当 时,f(x) (-,1) (1,+) 01 (-,1a,+)【解析】【分析】(1) 时, 利用一次函数与二次函数的单调性可得结果;a=2 f(x)=2x,x12(x1)(x+2),x1(2) 时,不等式转化为 ,或 , 利用分类讨论思想分别解不等a0 ax0x1 a(x1)(xa)0x1 式组,求并集即可得结果.13【详解】(1) 时, ,a=2 f(x)=2x,x12(x1)(x+2),x1因为 的斜率为负值,y=2x所以由一次函数性质得 在 上递减;f(x) (,1)的图象开口向下,对称轴为 ,y=2(x1)(x+2) x=12由二次函数性质得 在 上递减

11、,f(x) (1,+)没有增区间.f(x)(2) 时,不等式转化为 ,a0 ax0x1或 , a(x1)(xa)0x1 若 时,解集为 ;解集为 ,01不等式解为 . (,a(1,+)若 时,解集为 ;解集为 ,a1 x1 xa不等式解为 ,(,1(a,+)综上所述, 时不等式 的解集为 ;00 (-,a(1,+)当 时,不等式的解集为 .a1 (-,1(a,+)【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、分段函数的解析式与性质以及分类讨论思想的应用,属于中档题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效,大大提高了解题

12、能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透,这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰,进而顺利解答,希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.20.已知函数 的定义域为 ,若 在 上为增函数,则称 为“一阶比增f(x) (0,+) y=f(x)x (0,+) f(x)函数”.(1)若 是“一阶比增函数” ,求实数 a 的取值范围。f(x)=ax2+ax(2)若 是“ 一阶比增函数 ”,求证:对任意 , ,总有f(x) x1 x2(0,+);f(x1)+f(x2)2017【答案】 (1) ;(2)证明见解析;(3)证明见解析.a014【解析】【分析】(1)由题意得

13、 在 是增函数,由一次函数性质 ;(2)由y=f(x)x=ax2+axx =ax+a (0,+) a0,可得 , ,两式相加化简即可得结果;(3)x10 f(t)=m f(2t)2m f(4t)2f(2t)4m所以一定存在 ,使得 .f(8t)2f(4t)8m nN* f(2nt)2nm2017【详解】 (1)由题意得 在 是增函数 .y=f(x)x=ax2+axx =ax+a (0,+)由一次函数性质知:当 时, 在( )上是增函数,(2) 是“一阶比增函数” ,即 在 上是增函数,又 ,有, , ,(3)设 ,其中 ,因为 是“一阶比增函数” ,所以当 时,.取 ,满足 ,记 ,由( II)知 ,同理 ,所以一定存在 ,使得 ,所以 一定有解.【点睛】本题主要考查函数单调性的应用以及新定义问题,属于难题. 新定义题型的特点是:通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求, “照章办事” ,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.15

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