1、1北京师大附中 2017-2018 学年上学期高一年级期中考试数学试卷本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。一、选择题：共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知集合 ， ，则集合A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接根据并集的运算性质计算即可.【详解】 集合 ，所以集合 ，故选 B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 或属于集合 的元素的集合2.下列函数中，在其定义域内是减函数的是A. B. C. D.
2、【答案】C【解析】【分析】直接根据单调性的定义对选项逐一判断即可.【详解】对于 在定义域 内是增函数，不满足题意；A,f(x)=x3 R对于 在 递减，在 递增，不满足题意；B,y=x2 (,0) (0,+)对于 定义域 内是减函数，满足题意；C,y=x+1 R对于 在 和 都单调递减，但在整个定义域没有单调性，不满足题意，故D,y=2x (,0) (0,+)选 C.【点睛】本题最主要考查函数单调性的定义，意在考查对基本概念的掌握与应用，属于简单题.23.若 ， ，则有aabab2 ab2abaC. D. abaab2 abab2a【答案】B【解析】【分析】令 ，可排除选项 ，利用不等式的性质
3、可证明 .a=1,b=12 A,C,D B【详解】令 ，可排除选项 ，a=1,b=12 A,C,D对 ， ，B 00又 ，a0，a(1b)0，aababa【点睛】利用条件判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手：（1）利用不等式的性质直接判断；（2）利用函数式的单调性判断；（3）利用特殊值判断.4.“a=0”是“ 为奇函数”的f(x)=ax1x2A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】直接根据函数的奇偶性的定义与性质，结合充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】 ， 的图象关于原点对称，所以 是奇函数；a=0f(x)=0
4、f(x) f(x若 为奇函数，则 ，即不能推出 ，f(x)=ax1-x2 aR a=03所以 ，是 为奇函数充分非必要条件，故选 A.a=0 f(x)=ax1-x2【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的定义与性质、充分条件与必要条件的定义，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.5.下列不等式中，不正确的是A. B. x+1x2 x2+x+10C. D. 若 ，则x2+5x2+452 x3 x+1x35【答案】A【解析】【分析】利用特殊值判断 ；利用判别式判断 ；利用单调性判断 ；利用基本不等式判断 D.A B C【详解】在 中，若 ，则 ，故 不成立；A x0,=14=30 R B在 中，
5、 ,设 , 在 上递增，所以Cx2+5x2+4=x2+4+1x2+4= x2+4+ 1x2+4 x2+4=t,t2g(t)=t+1t 2,+)有最小值 ，故 成立；g(2)=52 C在 中， ， ，当且仅当D x3,x30 x+1x3=x3+1x3+32(x3)1x3+3=5时取等号， 的最小值为 5， 成立；x=4 x+1x3 D不正确的结论是 ，故选 A.A【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一
6、定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时 等号能否同时成立）6.函数 满足对任意的 x，均有 ，那么 ， ， 的大f(x)=x2+px+q f(1+x)=f(1x) f(0) f(1) f(1)小关系是A. B. f(1)0考点：二分法求零点8.已知 为定义在 -1，1上的奇函数，且 在0，1 上单调递减，则使不等式f(x) f(x)成立的 x 的取值范围是f(x)+f(13x)3x-1解即可.【详解】因为 为奇函数，且 在 上单调递减，f(x) f(x) 0,1所以 在 上单调递减f(x) 1,1所以 化为 ，f(x)+f(1-3x)3x-1 f(x
7、) 1,1所以 ，解得 ，1x113x1x3x1 0x0所以 ，故答案为-1.f(f(-2)= f(4)=14=1【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 的形式时，应f(f(a)从内到外依次求值11.已知命题 ， ，则 为_；其中为真命题的是_（填p:x(,2)3x20，y0的最小值是 .xy+(2y)x【答案】 2【解析】由新定义运算知， ，因为， ，(2y)x=(2y)2x2(2y)x=4y2x22xy x0，y0所以， ，当且仅当 时，xy+(2y)x=x2y2xy+4y2x22xy=
8、x2+2y22xy 22xy2xy= 2 x= 2y的最小值是 .xy+(2y)x 2考点：1.新定义运算；2.基本不等式.8视频14.函数 的定义域为 D，若对于任意 ， ，当 时，都有 ，则称函f(x) x1 x2D x15 x1时， ，m=8 B=x|2x11 x2x10,x1x21 f(x2)f(x1)=(x2x1)(x2+x12x1x2)，从而可得结果.f(x2)f(x1)【详解】 （1） ，f(x)=x2+2x,f(x)=x22x，f(x)+f(x)0,f(x)f(x)0即不是奇函数，又不是偶函数.f(x)（2）任取 ，则 ，x2x11 x2x10,x1x21，f(x2)f(x1)
9、=(x2x1)(x2+x12x1x2)，x2+x12,2x1x20f(x2)f(x1)是增函数.f(x)【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的单调性，属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取 ；（2）作差 ；（3）判x2x1 f(x2)f(x1)断 的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号） ， 可得 在已f(x2)f(x1) f(x2)f(x1)0 f(x)知区间上是增函数， 可得 在已知区间上是减函数.f(x2)f(x1)1 （1）当 时，求 的单调区间；a=-2 f(x)（2）当 时，求不等式 的解集；a0 f(x)0【答案】 （1） 的单调减区间
10、为 ， ，无单调增区间；（2）当 时，f(x) (-,1) (1,+) 01 (-,1a,+)【解析】【分析】(1) 时， 利用一次函数与二次函数的单调性可得结果；a=2 f(x)=2x,x12(x1)(x+2),x1（2） 时，不等式转化为 ，或 ， 利用分类讨论思想分别解不等a0 ax0x1 a(x1)(xa)0x1 式组，求并集即可得结果.13【详解】(1) 时， ，a=2 f(x)=2x,x12(x1)(x+2),x1因为 的斜率为负值，y=2x所以由一次函数性质得 在 上递减；f(x) (,1)的图象开口向下，对称轴为 ，y=2(x1)(x+2) x=12由二次函数性质得 在 上递减
11、，f(x) (1,+)没有增区间.f(x)(2) 时，不等式转化为 ，a0 ax0x1或 ， a(x1)(xa)0x1 若 时，解集为 ；解集为 ，01不等式解为 . (,a(1,+)若 时，解集为 ；解集为 ，a1 x1 xa不等式解为 ,(,1(a,+)综上所述， 时不等式 的解集为 ；00 (-,a(1,+)当 时，不等式的解集为 .a1 (-,1（a,+）【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、分段函数的解析式与性质以及分类讨论思想的应用，属于中档题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题
12、能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.20.已知函数 的定义域为 ，若 在 上为增函数，则称 为“一阶比增f(x) (0,+) y=f(x)x (0,+) f(x)函数”.（1）若 是“一阶比增函数” ，求实数 a 的取值范围。f(x)=ax2+ax（2）若 是“ 一阶比增函数 ”，求证：对任意 ， ，总有f(x) x1 x2(0,+)；f(x1)+f(x2)2017【答案】 （1） ；（2）证明见解析；（3）证明见解析.a014【解析】【分析】（1）由题意得
13、 在 是增函数，由一次函数性质 ；（2）由y=f(x)x=ax2+axx =ax+a (0,+) a0，可得 ， ，两式相加化简即可得结果；（3）x10 f(t)=m f(2t)2m f(4t)2f(2t)4m所以一定存在 ，使得 .f(8t)2f(4t)8m nN* f(2nt)2nm2017【详解】 （1）由题意得 在 是增函数 .y=f(x)x=ax2+axx =ax+a (0,+)由一次函数性质知：当 时， 在（ ）上是增函数，（2） 是“一阶比增函数” ，即 在 上是增函数，又 ，有， ， ，（3）设 ，其中 ，因为 是“一阶比增函数” ，所以当 时，.取 ，满足 ，记 ，由（ II）知 ，同理 ，所以一定存在 ，使得 ，所以 一定有解.【点睛】本题主要考查函数单调性的应用以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求， “照章办事” ，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.15
