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本文(2018_2019高中数学第2章平面向量2.4第2课时平面向量数量积的坐标运算学案苏教版必修420190115541.doc)为本站会员(eastlab115)主动上传,麦多课文库仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知麦多课文库(发送邮件至master@mydoc123.com或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

2018_2019高中数学第2章平面向量2.4第2课时平面向量数量积的坐标运算学案苏教版必修420190115541.doc

1、1第 2 课时 平面向量数量积的坐标运算学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程,能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模,并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直知识点一 平面向量数量积的坐标表示设 i, j 是两个互相垂直且分别与 x 轴, y 轴的正半轴同向的单位向量思考 1 ii, jj, ij 分别是多少?答案 ii11cos01, jj11cos01,ij0.思考 2 取 i, j 为坐标平面内的一组基底,设 a( x1, y1), b( x2, y2),试将 a, b 用i, j 表示,并计算

2、ab.答案 a x1i y1j, b x2i y2j, ab( x1i y1j)(x2i y2j) x1x2i2( x1y2 x2y1)ij y1y2j2 x1x2 y1y2.思考 3 若 a b,则 a, b 坐标间有何关系?答案 a bab0 x1x2 y1y20.梳理 若向量 a( x1, y1), b( x2, y2).数量积 ab x1x2 y1y2向量垂直 a bx1x2 y1y20知识点二 平面向量的模思考 1 若 a( x, y),试将向量的模| a|用坐标表示答案 a xi yj, x, yR, a2( xi yj)2( xi)22 xyij( yj)2 x2i22 xyij

3、 y2j2.又 i21, j21, ij0, a2 x2 y2,| a|2 x2 y2,| a| .x2 y2思考 2 若 A(x1, y1), B(x2, y2),如何计算向量 的模?AB 2答案 AB OB OA ( x2, y2)( x1, y1)( x2 x1, y2 y1),| | .AB x2 x12 y2 y12梳理 向量的模及两点间的距离向量 模a( x, y) |a| x2 y2以 A(x1, y1), B(x2, y2)为端点的向量 AB | |AB x2 x12 y2 y12知识点三 向量的夹角设 a, b 都是非零向量, a( x1, y1), b( x2, y2),

4、是 a 与 b 的夹角,则 cos .ab|a|b| x1x2 y1y2x21 y21x2 y21若 a( x1, y1), b( x2, y2),则 a bx1x2 y1y2 0.( )2若 a( x1, y1), b( x2, y2),则 a bx1y2 x2y1 0.( )3若两个非零向量的夹角 满足 cos 0,则两向量的夹角 一定是锐角( )提示 当两向量同向共线时,cos 10,但夹角 0,不是锐角.类型一 平面向量数量积的坐标运算例 1 已知 a 与 b 同向, b(1,2), ab10.(1)求 a 的坐标;(2)若 c(2,1),求 a(bc)及( ab)c.解 (1)设 a

5、 b( ,2 )( 0),则有 ab 4 10, 2, a(2,4)(2) bc12210, ab10, a(bc)0 a0,( ab)c10(2,1)(20,10)反思与感悟 此类题目是有关向量数量积的坐标运算,灵活应用基本公式是前提,设向量3一般有两种方法:一是直接设坐标,二是利用共线或垂直的关系设向量,还可以验证一般情况下( ab)c a(bc),即向量运算结合律一般不成立跟踪训练 1 向量 a(1,1), b(1,2),则(2 a b)a_.答案 1解析 因为 a(1,1), b(1,2),所以 2a b2(1,1)(1,2)(1,0),则(2a b)a(1,0)(1,1)1.类型二

6、向量的模、夹角问题例 2 在平面直角坐标系 xOy 中, O 是原点(如图)已知点 A(16,12), B(5,15)(1)求| |,| |;OA AB (2)求 OAB.解 (1)由 (16,12),OA (516,1512)(21,3),AB 得| | 20,| | 15 .OA 162 122 AB 212 32 2(2)cos OABcos , ?AO AB .AO, AB |AO |AB |其中 AO AB OA AB 16(21)123300.故 cos OAB .30020152 22 OAB45.反思与感悟 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤:(1)利用向量的坐标求出这两个

7、向量的数量积(2)利用| a| 求两向量的模x2 y2(3)代入夹角公式求 cos ,并根据 的范围确定 的值跟踪训练 2 已知 a(1,1), b( ,1),若 a 与 b 的夹角 为钝角,求 的取值范围4解 a(1,1), b( ,1),| a| ,| b| , ab 1.2 1 2又 a, b 的夹角 为钝角,Error! 即Error! 0),AB 则| | 2 ,AB 4 2 9 2 1313 2132 2, 2, (4,6),AB (1,2)(4,6)(5,4)OB OA AB 点 B 的坐标为(5,4)二、解答题11已知 a, b, c 是同一平面内的三个向量,其中 a(1,2)

8、(1)若| c|2 ,且 c 与 a 方向相反,求 c 的坐标;5(2)若| b| ,且 a2 b 与 2a b 垂直,求 a 与 b 的夹角 .52解 (1)设 c( x, y),由 c a 及| c|2 ,5可得Error!所以Error! 或Error!因为 c 与 a 方向相反,所以 c(2,4)(2)因为( a2 b)(2 a b),所以( a2 b)(2a b)0,即 2a23 ab2 b20,所以 2|a|23 ab2| b|20,10所以 253 ab2 0,54所以 ab .52所以 cos 1.ab|a|b|又因为 0,所以 .12已知三个点 A(2,1), B(3,2),

9、 D(1,4)(1)求证: AB AD;(2)要 使 四 边 形 ABCD 为 矩 形 , 求 点 C 的 坐 标 并 求 矩 形 ABCD 两 条 对 角 线 所 成 的 锐 角 的 余 弦 值 (1)证明 A(2,1), B(3,2), D(1,4), (1,1), (3,3),AB AD 又 1(3)130,AB AD ,即 AB AD.AB AD (2)解 ,四边形 ABCD 为矩形,AB AD .AB DC 设 C 点坐标为( x, y),则 (1,1), ( x1, y4),AB DC Error! 解得Error! C 点坐标为(0,5)由于 (2,4), (4,2),AC BD

10、 所以 88160,AC BD | |2 ,| |2 .AC 5 BD 5设 与 的夹角为 ,AC BD 则 cos 0,AC BD |AC |BD | 1620 45矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为 .4513平面内有向量 (1,7), (5,1), (2,1),点 Q 为直线 OP 上的一个动点OA OB OP (1)当 取最小值时,求 的坐标;QA QB OQ 11(2)当点 Q 满足(1)的条件和结论时,求 cos AQB 的值解 (1)设 ( x, y),OQ Q 在直线 OP 上,向量 与 共线OQ OP 又 (2,1), x2 y0,OP x2 y, (2 y, y)OQ 又

11、 (12 y, 7 y),QA OA OQ (52 y, 1 y),QB OB OQ (12 y)(52 y)(7 y)(1 y)QA QB 5 y220 y125( y2) 28.故当 y2 时, 有最小值8,此时 (4,2)QA QB OQ (2)由(1)知 (3,5), (1,1),QA QB 8,| | ,| | ,QA QB QA 34 QB 2cos AQB QA QB |QA |QB | 8342 .41717三、探究与拓展14在 Rt ABC 中, BCA90, P 为边 AB 上的一点, .AP PB (1)若 3,试用 , 表示 ;CA CB CP (2)若| |4,| |

12、3,且| | |6,求 的值CA CB CP AB 解 (1) 3 , 3( ),AP PB CP CA CB CP 12 .CP 14CA 34CB (2)以 CA 所在直线为 x 轴, CB 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,则 A(4,0), B(0,3), (4,0), (0,3), (4,3)CA CB AB 由 ,得 ( ),AP PB CP CA CB CP .CP 1 1CA 1CB ( 4 1, 3 1)又 6,CP AB (4) 36,解得 .4 1 3 1 2315已知 (4,0), (2,2 ), (1 ) ( 2 )OA OB 3 OC OA OB (1

13、)求 及 在 上的投影;OA OB OA OB (2)证明 A, B, C 三点共线,且当 时,求 的值;AB BC (3)求| |的最小值OC 解 (1) 8,设 与 的夹角为 ,OA OB OA OB 则 cos ,OA OB |OA |OB | 844 12 在 上的投影为| |cos 4 2.OA OB OA 12(2) (2,2 ), AB OB OA 3 BC OC OB (1 ) (1 ) ( 1) ,OA OB AB 又 与 有公共点 B,且 2 ,BC AB 所以 A, B, C 三点共线当 时, 11,所以 2.AB BC 13(3)| |2(1 )2 22 (1 ) 2 216 216 1616 212,OC OA OA OB OB ( 12)当 时,| |取到最小值,为 2 .12 OC 3

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