1、1第 2 课时 平面向量数量积的坐标运算学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直知识点一 平面向量数量积的坐标表示设 i， j 是两个互相垂直且分别与 x 轴， y 轴的正半轴同向的单位向量思考 1 ii， jj， ij 分别是多少？答案 ii11cos01， jj11cos01，ij0.思考 2 取 i， j 为坐标平面内的一组基底，设 a( x1， y1)， b( x2， y2)，试将 a， b 用i， j 表示，并计算
2、ab.答案 a x1i y1j， b x2i y2j， ab( x1i y1j)(x2i y2j) x1x2i2( x1y2 x2y1)ij y1y2j2 x1x2 y1y2.思考 3 若 a b，则 a， b 坐标间有何关系？答案 a bab0 x1x2 y1y20.梳理 若向量 a( x1， y1)， b( x2， y2).数量积 ab x1x2 y1y2向量垂直 a bx1x2 y1y20知识点二 平面向量的模思考 1 若 a( x， y)，试将向量的模| a|用坐标表示答案 a xi yj， x， yR， a2( xi yj)2( xi)22 xyij( yj)2 x2i22 xyij
3、 y2j2.又 i21， j21， ij0， a2 x2 y2，| a|2 x2 y2，| a| .x2 y2思考 2 若 A(x1， y1)， B(x2， y2)，如何计算向量 的模？AB 2答案 AB OB OA ( x2， y2)( x1， y1)( x2 x1， y2 y1)，| | .AB x2 x12 y2 y12梳理 向量的模及两点间的距离向量 模a( x， y) |a| x2 y2以 A(x1， y1)， B(x2， y2)为端点的向量 AB | |AB x2 x12 y2 y12知识点三 向量的夹角设 a， b 都是非零向量， a( x1， y1)， b( x2， y2)，
4、是 a 与 b 的夹角，则 cos .ab|a|b| x1x2 y1y2x21 y21x2 y21若 a( x1， y1)， b( x2， y2)，则 a bx1x2 y1y2 0.( )2若 a( x1， y1)， b( x2， y2)，则 a bx1y2 x2y1 0.( )3若两个非零向量的夹角 满足 cos 0，则两向量的夹角 一定是锐角( )提示 当两向量同向共线时，cos 10，但夹角 0，不是锐角.类型一 平面向量数量积的坐标运算例 1 已知 a 与 b 同向， b(1，2)， ab10.(1)求 a 的坐标；(2)若 c(2，1)，求 a(bc)及( ab)c.解 (1)设 a
5、 b( ，2 )( 0)，则有 ab 4 10， 2， a(2，4)(2) bc12210， ab10， a(bc)0 a0，( ab)c10(2，1)(20，10)反思与感悟 此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量3一般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况下( ab)c a(bc)，即向量运算结合律一般不成立跟踪训练 1 向量 a(1，1)， b(1，2)，则(2 a b)a_.答案 1解析 因为 a(1，1)， b(1，2)，所以 2a b2(1，1)(1，2)(1，0)，则(2a b)a(1，0)(1，1)1.类型二
6、向量的模、夹角问题例 2 在平面直角坐标系 xOy 中， O 是原点(如图)已知点 A(16，12)， B(5，15)(1)求| |，| |；OA AB (2)求 OAB.解 (1)由 (16，12)，OA (516，1512)(21，3)，AB 得| | 20，| | 15 .OA 162 122 AB 212 32 2(2)cos OABcos ， ?AO AB .AO， AB |AO |AB |其中 AO AB OA AB 16(21)123300.故 cos OAB .30020152 22 OAB45.反思与感悟 利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤：(1)利用向量的坐标求出这两个
7、向量的数量积(2)利用| a| 求两向量的模x2 y2(3)代入夹角公式求 cos ，并根据 的范围确定 的值跟踪训练 2 已知 a(1，1)， b( ，1)，若 a 与 b 的夹角 为钝角，求 的取值范围4解 a(1，1)， b( ，1)，| a| ，| b| ， ab 1.2 1 2又 a， b 的夹角 为钝角，Error! 即Error! 0)，AB 则| | 2 ，AB 4 2 9 2 1313 2132 2， 2， (4，6)，AB (1，2)(4，6)(5，4)OB OA AB 点 B 的坐标为(5，4)二、解答题11已知 a， b， c 是同一平面内的三个向量，其中 a(1，2)
8、(1)若| c|2 ，且 c 与 a 方向相反，求 c 的坐标；5(2)若| b| ，且 a2 b 与 2a b 垂直，求 a 与 b 的夹角 .52解 (1)设 c( x， y)，由 c a 及| c|2 ，5可得Error!所以Error! 或Error!因为 c 与 a 方向相反，所以 c(2，4)(2)因为( a2 b)(2 a b)，所以( a2 b)(2a b)0，即 2a23 ab2 b20，所以 2|a|23 ab2| b|20，10所以 253 ab2 0，54所以 ab .52所以 cos 1.ab|a|b|又因为 0，所以 .12已知三个点 A(2，1)， B(3，2)，
9、 D(1，4)(1)求证： AB AD；(2)要 使 四 边 形 ABCD 为 矩 形 ， 求 点 C 的 坐 标 并 求 矩 形 ABCD 两 条 对 角 线 所 成 的 锐 角 的 余 弦 值 (1)证明 A(2，1)， B(3，2)， D(1，4)， (1，1)， (3，3)，AB AD 又 1(3)130，AB AD ，即 AB AD.AB AD (2)解 ，四边形 ABCD 为矩形，AB AD .AB DC 设 C 点坐标为( x， y)，则 (1，1)， ( x1， y4)，AB DC Error! 解得Error! C 点坐标为(0，5)由于 (2，4)， (4，2)，AC BD
10、 所以 88160，AC BD | |2 ，| |2 .AC 5 BD 5设 与 的夹角为 ，AC BD 则 cos 0，AC BD |AC |BD | 1620 45矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为 .4513平面内有向量 (1，7)， (5，1)， (2，1)，点 Q 为直线 OP 上的一个动点OA OB OP (1)当 取最小值时，求 的坐标；QA QB OQ 11(2)当点 Q 满足(1)的条件和结论时，求 cos AQB 的值解 (1)设 ( x， y)，OQ Q 在直线 OP 上，向量 与 共线OQ OP 又 (2，1)， x2 y0，OP x2 y， (2 y， y)OQ 又
11、 (12 y， 7 y)，QA OA OQ (52 y， 1 y)，QB OB OQ (12 y)(52 y)(7 y)(1 y)QA QB 5 y220 y125( y2) 28.故当 y2 时， 有最小值8，此时 (4，2)QA QB OQ (2)由(1)知 (3，5)， (1，1)，QA QB 8，| | ，| | ，QA QB QA 34 QB 2cos AQB QA QB |QA |QB | 8342 .41717三、探究与拓展14在 Rt ABC 中， BCA90， P 为边 AB 上的一点， .AP PB (1)若 3，试用 ， 表示 ；CA CB CP (2)若| |4，| |
12、3，且| | |6，求 的值CA CB CP AB 解 (1) 3 ， 3( )，AP PB CP CA CB CP 12 .CP 14CA 34CB (2)以 CA 所在直线为 x 轴， CB 所在直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(4，0)， B(0，3)， (4，0)， (0，3)， (4，3)CA CB AB 由 ，得 ( )，AP PB CP CA CB CP .CP 1 1CA 1CB ( 4 1， 3 1)又 6，CP AB (4) 36，解得 .4 1 3 1 2315已知 (4，0)， (2，2 )， (1 ) ( 2 )OA OB 3 OC OA OB (1
13、)求 及 在 上的投影；OA OB OA OB (2)证明 A， B， C 三点共线，且当 时，求 的值；AB BC (3)求| |的最小值OC 解 (1) 8，设 与 的夹角为 ，OA OB OA OB 则 cos ，OA OB |OA |OB | 844 12 在 上的投影为| |cos 4 2.OA OB OA 12(2) (2，2 )， AB OB OA 3 BC OC OB (1 ) (1 ) ( 1) ，OA OB AB 又 与 有公共点 B，且 2 ，BC AB 所以 A， B， C 三点共线当 时， 11，所以 2.AB BC 13(3)| |2(1 )2 22 (1 ) 2 216 216 1616 212，OC OA OA OB OB ( 12)当 时，| |取到最小值，为 2 .12 OC 3
