浙江专用2020版高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布考点规范练50分类加法计数原理与分步乘法计数原理20190118484.docx

1、1考点规范练 50 分类加法计数原理与分步乘法计数原理基础巩固组1.某电话局的电话号码为 139,若前六位固定,最后五位数字是由 6 或 8 组成的,则这样的电话号码的个数为 ( )A.20 B.25 C.32 D.60答案 C解析 依据题意知,最后五位数字由 6 或 8 组成,可分 5 步完成,每一步有 2 种方法,根据分步乘法计数原理,符合题意的电话号码的个数为 25=32.2.已知 a,b2,3,4,5,6,7,8,9,则 logab 的不同取值个数为( )A.53 B.56 C.55 D.57答案 A解析 a,b 的不同的取值共有 64 种,其中 logab=1 的共有 8 种情况;l

2、og ab=2 的有 2 个,log ab= 的有 212个,log ab=log23 的有 2 个,log ab=log32 的有 2 个 .故符合本题中不同取值的个数为 64-7-1-1-1-1=53.3.如图,用 6 种不同的颜色把图中 A,B,C,D 四块区域分开涂色,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同涂法的种数为( )A.400 B.460 C.480 D.496答案 C解析 从 A 开始,有 6 种方法,B 有 5 种,C 有 4 种,D,A 若同色有 1 种,D,A 若不同色有 3 种,则有654(1+3)=480 种不同涂法 .4.如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有(

3、)A.11 种 B.20 种 C.21 种 D.12 种答案 C解析 电路接通,则每一个并联电路中至少有一个开关闭合,再利用乘法原理求解 .不同的闭合方式有37=21(种) .5.如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组” .在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )2A.60 B.48 C.36 D.24答案 B解析 长方体的 6 个表面构成的“平行线面组”个数为 66=36,另含 4 个顶点的 6 个面(非表面)构成的“平行线面组”个数为 62=12,故符合条件的“平行线面组”的个数是 36+12=48.6.在平面直

4、角坐标系内,点 P(a,b)的坐标满足 a b,且 a,b 都是集合1,2,3,4,5,6中的元素 .又点P 到原点的距离 |OP|5,则这样的点 P 的个数为 . 答案 20解析 依题意可知:当 a=1 时, b=5,6,两种情况;当 a=2 时, b=5,6,两种情况;当 a=3 时, b=4,5,6,三种情况;当 a=4 时, b=3,5,6,三种情况;当 a=5 或 6 时, b 各有五种情况 .所以共有 2+2+3+3+5+5=20 种情况 .7.若椭圆 =1 的焦点在 y 轴上,且 m1,2,3,4,5, n1,2,3,4,5,6,7,则满足题意的椭圆的x2m+y2n个数为 . 答

5、案 20解析 因为 mn,所以满足题意的椭圆个数为 6+5+4+3+2=20.8.设 a,b,c1,2,3,4,5,6,若以 a,b,c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三角形有 个 . 答案 27解析 先考虑等边的情况, a=b=c=1,2,6,有六个,再考虑等腰的情况,若 a=b=1,ca+b=2,此时 c=1与等边重复;若 a=b=2,ca+b=4,则 c=1,3,有两个;若 a=b=3,ca+b=6,则 c=1,2,4,5,有四个;若a=b=4,ca+b=8,则 c=1,2,3,5,6,有五个;若 a=b=5,ca+b=10,则 c=1,2,3,4,6,有五个;若

6、a=b=6,ca+b=12,则 c=1,2,3,4,5,有五个 .故一共有 27 个三角形 .能力提升组9.已知 a,b0,1,2,9,若满足 |a-b|1,则称 a,b“心有灵犀” .则 a,b“心有灵犀”的情形的种数为( )A.9 B.16 C.20 D.28答案 D解析 当 a 为 0 时, b 只能取 0,1 两个数;当 a 为 9 时, b 只能取 8,9 两个数;当 a 为其他数时, b 都可以取 3 个数 .故共有 28 种情形 .10.从集合1,2,3,4,10中,选出 5 个数组成子集,使得这 5 个数中任意两个数的和都不等于 11,则这样的子集有( )A.32 个 B.34

7、 个 C.36 个 D.38 个答案 A3解析 将和等于 11 的两个数放在一组:1 和 10,2 和 9,3 和 8,4 和 7,5 和 6.从一个小组中取一个数的取法有 =2 种,则这样的子集共有 22222=32(个) .故选 A.C1211.如图所示,一个地区分为 5 个行政区域,现给该地区的地图涂色,要求相邻区域不得使用同一种颜色,现有 4 种颜色可供选择,则涂色方法共有的种数为 ( )A.72 B.46 C.60 D.78答案 A解析 因为区域 1 与其他 4 个区域都相邻,首先考虑区域 1,有 4 种涂法,然后再按区域 2,4 同色和不同色,分为两类:第 1 类,区域 2,4 同

8、色,有 3 种涂法,此时区域 3,5 均有 2 种涂法,共有 4322=48 种涂法;第 2 类,区域 2,4 不同色,先涂区域 2,有 3 种涂法,再涂区域 4,有 2 种涂法,此时区域 3,5 都只有 1 种涂法,共有 43211=24 种涂法 .根据分类加法计数原理,共有 48+24=72 种满足条件的涂色方法 .12.某区域的道路示意图(每个小正方形的边表示道路,且长都相等)如图,那么从 A 到 B 的最短路线有( )A.84 条 B.42 条 C.39 条 D.33 条答案 C解析 要使从 A 到 B 的路线最短,则只能向右或向上走,共走 9 个小正方形的边长,如图,按 ADB走有

9、条;按 AEB 走有 条;按 AFB 走只有 1 条,总共有 +1=39(条) .C36 C16C13 C36+C16C1313.现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加 .甲、乙、丙不会开车但能从事其他三项工作,丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是( )A.240 B.126 C.78 D.72答案 B解析 根据题意,分情况讨论, 甲、乙一起参加除了开车的三项工作之一,有 =18 种;C13A23 甲、乙不同时参加一项工作,且丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作,有=3232=36 种;A2

10、3C23A224 甲、乙不同时参加一项工作,且甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作,有=72 种;A23C13C12A22由分类加法计数原理,可得共有 18+36+72=126 种不同的安排方案 .故选 B.14.6 名同学争夺 3 项冠军,获得冠军的可能性有 种 . 答案 729解析 根据分步乘法计数原理可知获得冠军的可能性有 333333=36=729 种 .15.4 张卡片的正、反面上分别写有 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,将其中 3 张卡片排放在一起,可组成 个不同的三位数 . 答案 168解析 要组成三位数,根据首位、十位、个位应分三步:第一步:首位可放 8

11、-1=7(个)数;第二步:十位可放 6 个数;第三步:个位可放 4 个数 .故由分步乘法计数原理,得共可组成 764=168(个)不同的三位数 .16.如果自然数 a 的各位数字之和等于 8,那么我们称 a 为“吉祥数” .将所有“吉祥数”从小到大排成一列 a1,a2,a3,若 an=2 015,则 n 为 . 答案 83解析 由题意,“吉祥数”为一位数时,只有 8 一个;“吉祥数”为两位数时,有 17,26,35,44,53,62,71,80,共 8 个;“吉祥数”为三位数时,(0,0,8)有 1 个,(0,1,7)有 4 个,(0,2,6)有 4 个,(0,3,5)有 4 个,(0,4,4

12、)有 2 个,(1,1,6)有 3 个,(1,2,5)有 6 个,(1,3,4)有 6 个,(2,2,4)有 3 个,(2,3,3)有 3 个,共 1+43+2+33+62=36(个);“吉祥数”为四位数且小于等于 2015 时,(0,0,1,7)有 3 个,(0,0,2,6)有 1 个,(0,1,1,6)有 6个,(0,1,2,5)有 7 个,(0,1,3,4)有 6 个,(1,1,1,5)有 3 个,(1,1,2,4)有 6 个,(1,1,3,3)有 3 个,(1,2,2,3)有 3 个,共有 34+63+1+7=38(个) .故小于等于 2015 的“吉祥数”一共有 1+8+36+38=

13、83(个),即 a83=2015,n=83.17.某电视台连续播放 6 个广告,其中有 3 个不同的商业广告、2 个不同的宣传广告、1 个公益广告,要求最后播放的不能是商业广告,且宣传广告与公益广告不能连续播放,两个宣传广告也不能连续播放,求有多少种不同的播放方式?解 用 1,2,3,4,5,6 表示广告的播放顺序,则完成这件事有三类方法 .第 1 类:宣传广告与公益广告的播放顺序是 2,4,6,分 6 步完成这件事,共有332211=36 种不同的播放方式;第 2 类:宣传广告与公益广告的播放顺序是 1,4,6,分 6 步完成这件事,共有332211=36 种不同的播放方式;第 3 类:宣传

14、广告与公益广告的播放顺序是 1,3,6,同样分 6 步完成这件事,共有332211=36 种不同的播放方式 .由分类加法计数原理得:6 个广告共有 36+36+36=108 种不同的播放方式 .518.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数,如 22,121,3 443,94 249 等 .显然 2 位回文数有 9 个:11,22,33,99 .3 位回文数有 90 个:101,111,121,191,202,999 .(1)4 位回文数有几个?(2)(2n+1)(nN *)位回文数有几个?解 (1)求 4 位回文数有几个相当于求填 4 个横排方格的填法数,首尾相同,且不为 0,共 9 种填法,中间两位一样,有 10 种填法,共计 910=90(种)填法,即 4 位回文数有 90 个 .(2)根据回文数的定义,此问题也可以转化成填方格 .结合计数原理,知有 910n种填法,即(2 n+1)(nN *)位回文数有 910n个 .