1、1考点规范练 50 分类加法计数原理与分步乘法计数原理基础巩固组1.某电话局的电话号码为 139,若前六位固定,最后五位数字是由 6 或 8 组成的,则这样的电话号码的个数为 ( )A.20 B.25 C.32 D.60答案 C解析 依据题意知,最后五位数字由 6 或 8 组成,可分 5 步完成,每一步有 2 种方法,根据分步乘法计数原理,符合题意的电话号码的个数为 25=32.2.已知 a,b2,3,4,5,6,7,8,9,则 logab 的不同取值个数为( )A.53 B.56 C.55 D.57答案 A解析 a,b 的不同的取值共有 64 种,其中 logab=1 的共有 8 种情况;l
2、og ab=2 的有 2 个,log ab= 的有 212个,log ab=log23 的有 2 个,log ab=log32 的有 2 个 .故符合本题中不同取值的个数为 64-7-1-1-1-1=53.3.如图,用 6 种不同的颜色把图中 A,B,C,D 四块区域分开涂色,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同涂法的种数为( )A.400 B.460 C.480 D.496答案 C解析 从 A 开始,有 6 种方法,B 有 5 种,C 有 4 种,D,A 若同色有 1 种,D,A 若不同色有 3 种,则有654(1+3)=480 种不同涂法 .4.如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有(
3、)A.11 种 B.20 种 C.21 种 D.12 种答案 C解析 电路接通,则每一个并联电路中至少有一个开关闭合,再利用乘法原理求解 .不同的闭合方式有37=21(种) .5.如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组” .在一个长方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )2A.60 B.48 C.36 D.24答案 B解析 长方体的 6 个表面构成的“平行线面组”个数为 66=36,另含 4 个顶点的 6 个面(非表面)构成的“平行线面组”个数为 62=12,故符合条件的“平行线面组”的个数是 36+12=48.6.在平面直
4、角坐标系内,点 P(a,b)的坐标满足 a b,且 a,b 都是集合1,2,3,4,5,6中的元素 .又点P 到原点的距离 |OP|5,则这样的点 P 的个数为 . 答案 20解析 依题意可知:当 a=1 时, b=5,6,两种情况;当 a=2 时, b=5,6,两种情况;当 a=3 时, b=4,5,6,三种情况;当 a=4 时, b=3,5,6,三种情况;当 a=5 或 6 时, b 各有五种情况 .所以共有 2+2+3+3+5+5=20 种情况 .7.若椭圆 =1 的焦点在 y 轴上,且 m1,2,3,4,5, n1,2,3,4,5,6,7,则满足题意的椭圆的x2m+y2n个数为 . 答
5、案 20解析 因为 mn,所以满足题意的椭圆个数为 6+5+4+3+2=20.8.设 a,b,c1,2,3,4,5,6,若以 a,b,c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三角形有 个 . 答案 27解析 先考虑等边的情况, a=b=c=1,2,6,有六个,再考虑等腰的情况,若 a=b=1,ca+b=2,此时 c=1与等边重复;若 a=b=2,ca+b=4,则 c=1,3,有两个;若 a=b=3,ca+b=6,则 c=1,2,4,5,有四个;若a=b=4,ca+b=8,则 c=1,2,3,5,6,有五个;若 a=b=5,ca+b=10,则 c=1,2,3,4,6,有五个;若
6、a=b=6,ca+b=12,则 c=1,2,3,4,5,有五个 .故一共有 27 个三角形 .能力提升组9.已知 a,b0,1,2,9,若满足 |a-b|1,则称 a,b“心有灵犀” .则 a,b“心有灵犀”的情形的种数为( )A.9 B.16 C.20 D.28答案 D解析 当 a 为 0 时, b 只能取 0,1 两个数;当 a 为 9 时, b 只能取 8,9 两个数;当 a 为其他数时, b 都可以取 3 个数 .故共有 28 种情形 .10.从集合1,2,3,4,10中,选出 5 个数组成子集,使得这 5 个数中任意两个数的和都不等于 11,则这样的子集有( )A.32 个 B.34
7、 个 C.36 个 D.38 个答案 A3解析 将和等于 11 的两个数放在一组:1 和 10,2 和 9,3 和 8,4 和 7,5 和 6.从一个小组中取一个数的取法有 =2 种,则这样的子集共有 22222=32(个) .故选 A.C1211.如图所示,一个地区分为 5 个行政区域,现给该地区的地图涂色,要求相邻区域不得使用同一种颜色,现有 4 种颜色可供选择,则涂色方法共有的种数为 ( )A.72 B.46 C.60 D.78答案 A解析 因为区域 1 与其他 4 个区域都相邻,首先考虑区域 1,有 4 种涂法,然后再按区域 2,4 同色和不同色,分为两类:第 1 类,区域 2,4 同
8、色,有 3 种涂法,此时区域 3,5 均有 2 种涂法,共有 4322=48 种涂法;第 2 类,区域 2,4 不同色,先涂区域 2,有 3 种涂法,再涂区域 4,有 2 种涂法,此时区域 3,5 都只有 1 种涂法,共有 43211=24 种涂法 .根据分类加法计数原理,共有 48+24=72 种满足条件的涂色方法 .12.某区域的道路示意图(每个小正方形的边表示道路,且长都相等)如图,那么从 A 到 B 的最短路线有( )A.84 条 B.42 条 C.39 条 D.33 条答案 C解析 要使从 A 到 B 的路线最短,则只能向右或向上走,共走 9 个小正方形的边长,如图,按 ADB走有
9、条;按 AEB 走有 条;按 AFB 走只有 1 条,总共有 +1=39(条) .C36 C16C13 C36+C16C1313.现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加 .甲、乙、丙不会开车但能从事其他三项工作,丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是( )A.240 B.126 C.78 D.72答案 B解析 根据题意,分情况讨论, 甲、乙一起参加除了开车的三项工作之一,有 =18 种;C13A23 甲、乙不同时参加一项工作,且丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作,有=3232=36 种;A2
10、3C23A224 甲、乙不同时参加一项工作,且甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作,有=72 种;A23C13C12A22由分类加法计数原理,可得共有 18+36+72=126 种不同的安排方案 .故选 B.14.6 名同学争夺 3 项冠军,获得冠军的可能性有 种 . 答案 729解析 根据分步乘法计数原理可知获得冠军的可能性有 333333=36=729 种 .15.4 张卡片的正、反面上分别写有 0 与 1,2 与 3,4 与 5,6 与 7,将其中 3 张卡片排放在一起,可组成 个不同的三位数 . 答案 168解析 要组成三位数,根据首位、十位、个位应分三步:第一步:首位可放 8
11、-1=7(个)数;第二步:十位可放 6 个数;第三步:个位可放 4 个数 .故由分步乘法计数原理,得共可组成 764=168(个)不同的三位数 .16.如果自然数 a 的各位数字之和等于 8,那么我们称 a 为“吉祥数” .将所有“吉祥数”从小到大排成一列 a1,a2,a3,若 an=2 015,则 n 为 . 答案 83解析 由题意,“吉祥数”为一位数时,只有 8 一个;“吉祥数”为两位数时,有 17,26,35,44,53,62,71,80,共 8 个;“吉祥数”为三位数时,(0,0,8)有 1 个,(0,1,7)有 4 个,(0,2,6)有 4 个,(0,3,5)有 4 个,(0,4,4
12、)有 2 个,(1,1,6)有 3 个,(1,2,5)有 6 个,(1,3,4)有 6 个,(2,2,4)有 3 个,(2,3,3)有 3 个,共 1+43+2+33+62=36(个);“吉祥数”为四位数且小于等于 2015 时,(0,0,1,7)有 3 个,(0,0,2,6)有 1 个,(0,1,1,6)有 6个,(0,1,2,5)有 7 个,(0,1,3,4)有 6 个,(1,1,1,5)有 3 个,(1,1,2,4)有 6 个,(1,1,3,3)有 3 个,(1,2,2,3)有 3 个,共有 34+63+1+7=38(个) .故小于等于 2015 的“吉祥数”一共有 1+8+36+38=
13、83(个),即 a83=2015,n=83.17.某电视台连续播放 6 个广告,其中有 3 个不同的商业广告、2 个不同的宣传广告、1 个公益广告,要求最后播放的不能是商业广告,且宣传广告与公益广告不能连续播放,两个宣传广告也不能连续播放,求有多少种不同的播放方式?解 用 1,2,3,4,5,6 表示广告的播放顺序,则完成这件事有三类方法 .第 1 类:宣传广告与公益广告的播放顺序是 2,4,6,分 6 步完成这件事,共有332211=36 种不同的播放方式;第 2 类:宣传广告与公益广告的播放顺序是 1,4,6,分 6 步完成这件事,共有332211=36 种不同的播放方式;第 3 类:宣传
14、广告与公益广告的播放顺序是 1,3,6,同样分 6 步完成这件事,共有332211=36 种不同的播放方式 .由分类加法计数原理得:6 个广告共有 36+36+36=108 种不同的播放方式 .518.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数,如 22,121,3 443,94 249 等 .显然 2 位回文数有 9 个:11,22,33,99 .3 位回文数有 90 个:101,111,121,191,202,999 .(1)4 位回文数有几个?(2)(2n+1)(nN *)位回文数有几个?解 (1)求 4 位回文数有几个相当于求填 4 个横排方格的填法数,首尾相同,且不为 0,共 9 种填法,中间两位一样,有 10 种填法,共计 910=90(种)填法,即 4 位回文数有 90 个 .(2)根据回文数的定义,此问题也可以转化成填方格 .结合计数原理,知有 910n种填法,即(2 n+1)(nN *)位回文数有 910n个 .
