1、MPA 公共管理硕士综合知识数学概率论（随机变量的数字特征）模拟试卷 2 及答案与解析选择题1 设连续型随机变量 X 的密度函数为 p(x)，则当( )时， -+p(x)dx 称其为随机变量X 的数学期望（A） -+xp(x)dx 收敛（B） p(x)为有界函数（C）（D） -+xp(x)dx，绝对收敛2 X 为正态分布的随机变量，概率密度 p(x)= 则有( )（A）2E(X 2)一 1=1（B） 2D(X)+E(X)2=6（C） 4E(X2)=4（D）2D(X)+1一 1=93 设离散型随机变量 X 仅取两个可能值：x 1 和 x2， X 取值 x1 的概率为 06，又知E(X)=14，D
2、(X)=0 24 ，则 X 的分布律为( )4 两个随机变量 X 和 Y，若 E(XY)=E(X).E(Y)，则 ( )（A）D(XY)=D(X).D(Y)（B） D(X+Y)=D(X)+D(Y)（C） X 和 Y 独立（D）X 和 Y 不独立5 一辆长途汽车送 20 名乘客到 10 个站，假设每一位乘客都等可能地在任一站下车，并且他们下车与否相互独立长途汽车只有当有人要下车时才停车，则该长途汽车停车次数 X 的数学期望等于( )（A）1-0 9 20（B） 09 20（C） 1-01 20（D）10(1-0 9 20)6 设 X 的密度函数为 f(x)= (一 x +)，则 X 的数学期望
3、和标准差 分别为( )（A）=2，=2（B） =-2， =2（C）（D）7 若随机变量 X 服从泊松分布，随机变量 YB(3，06)，并且 P(X=0)=P(Y=1)，则 e-E(X)等于( )（A）0255（B） 0432（C） 0096（D）02888 设一工人每月的收入服从指数分布，月平均收入 500 元按规定月收入超过 800元应缴个人所得税，设此工人在一年内各月的收入相互独立，又设此工人每年有X 个月需缴个人所得税，则他平均每年需缴个人所得税的月份数为 ( )（A）e -1.6（B） 12e-1.6（C） e-400000（D）12e -4000009 设随机变量 X 的密度函数为
4、f(x)= 则使 P(Xa)=P(Xa) 成立的常数 a 为( ) 填空题10 随机变量 X 在a，b上服从均匀分布，已知 XE(X)=D(X).X，则 a=_。11 设随机变量(2X+1) 服从标准正态分布，则 E(X2)的值为_12 设随机变量 X 的分布律为 P(X=k)= (k=0，1，2，)，其中 C 为常数，则D(2X+1)=_13 有 10 个球，球上分别标有“1” “2” ，“3”，“10”的记号；另有 10 个箱子，箱子上也分别标有“1”，“2”，“10”的记号现将球放入箱中，每个箱中只能放一个球，当箱中的球号与该箱号相同时称为一个匹配，设 X 表示匹配数，则 E(X)=_.
5、14 设随机变量 X 服从标准正态分布，则 E(X2+eX)=_15 设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且已知 E(X 一 1)(X 一 4)=0，则=_16 已知 E(X)=一 1，D(X)=3 ，则 E3(X2 一 2)=_计算题17 某足球彩票售价 1 元，中奖率为 01，如果中奖则可得 8 元某人购买了若干张，如果它中奖 2 张，则恰好不赚也不赔，求此人收益的期望值18 设离散型随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布， Y=X2+X 一 2，求 E(Y)19 某网络公司一业务员的保底工资为 500 元月，他还可以从联系成的营业额中提取 10按统计规律，每月联系成的营业额 X(元
6、)服从参数为 10-4 的指数分布求这个业务员每月工资的期望值20 掷 6 枚骰子，求点数之和的期望与方差21 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= 求 E(X)、D(X)22 设随机变量 X 的概率函数为求：(1)E(X)，E(X 2)，E(3X 2 一5)； (2)D(X) ，D(一 2X+3)23 设随机变量 XB(1，p)(0p1)，求 E(X)和 D(X)24 设随机变量 X 的概率函数为 P(X=k)= ,k=0，1，2，0，求 E(X)和D(X)25 某产品的次品率为 01，质量检验员每天检验 4 次，每次随机地取 10 件产品进行检验，如发现其中的次品数多于 1，就要调整设
7、备用 X 表示一天中调整设备的次数，试求 E(X)(设各产品是否为次品是相互独立的)26 设随机变量 X 的概率密度函数为 p(x)= 且已知方差D(X)=1，求常数 a 和 b27 求参数为 n，p 的二项分布 X 的数学期望和方差28 求指数分布的数学期望和方差MPA 公共管理硕士综合知识数学概率论（随机变量的数字特征）模拟试卷 2 答案与解析选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 根据数学期望的定义求得【知识模块】 概率论2 【正确答案】 D【试题解析】 根据正态分布的特点，有 XN(-1，4)2D(X)+1一 1=24+21=9【知识模块】 概率论3 【正确答案】 B【试题解析】 因为
8、随机变量 X 的全部值的概率之和等于 1，所以 X 取 x2 的概率为1-06=04于是 由题设 E(X)=14，D(X)=0 24，则 E(X 2)=D(X)+E(X)2=024+(1 4) 2=22，由期望的定义有【知识模块】 概率论4 【正确答案】 B【试题解析】 X 与 Y 独立,X 与 Y 互不相关，反之不真 E(XY)=E(X).E(Y) X与 Y 互不相关 D(X+Y)=D(X)+D(Y)【知识模块】 概率论5 【正确答案】 D【试题解析】 用 Ak 表示 “第 k 位乘客在第 i 站下车”，则因A1，A 2，A 20 相互独立，所以第 i 站无人下车(因此不需要停车)的概率为而
9、 E(X i)=1-09 20，因此 E(X)=10(1-09 20)【知识模块】 概率论6 【正确答案】 D【试题解析】 这是期望 =一2，方差 2=2 的正态分布的密度函数，所以有 =一 2，【知识模块】 概率论7 【正确答案】 D【试题解析】 P(Y=1)=C310604 2=0288由 P(X=0)=P(Y 一 1)，得到 e-E(X)=0288【知识模块】 概率论8 【正确答案】 B【试题解析】 此工人月收入的概率密度函数为 所以此工人需缴税的概率 因为一年内各月的收入是相互独立的，故 XB(12，e -1.6)，E(X)=12e -1.6【知识模块】 概率论9 【正确答案】 A【试
10、题解析】 常数 a 必定满足 0a1因此 P(Xa)= a14x3dx=x4|a1=1 一 a4， P(Xa)= 0a4x3dx=a4由 1 一 a4=a4，【知识模块】 概率论填空题10 【正确答案】 【试题解析】 XE(X)=D(X).X，即 ，因而 E(X)=0，D(X)=1由于X 是在a ，b上服从均匀分布，所以【知识模块】 概率论11 【正确答案】 【试题解析】 因为(2X+1)N(0，1)，【知识模块】 概率论12 【正确答案】 2【试题解析】 故 D(2X+1)=4D(X)=2【知识模块】 概率论13 【正确答案】 1【试题解析】 因为 Xi 服从0-1 分布，所以 由数学期望的
11、性质，得【知识模块】 概率论14 【正确答案】 【试题解析】 E(X 2+eX)=E(X2)+E(eX)，而 E(X 2)=D(X)+E(X)2=1+0=1，【知识模块】 概率论15 【正确答案】 2【试题解析】 随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，则 E(X)=， D(X)=， E(X 2)=D(X)+E(X)2=2+ 由已知 E(X 一 1)(X-4)=E(X2 一 5X+4)=E(X2)一 5E(X)+4 =2+ 一 5+4=2-4+4=( 一 2)2=0， 解得 =2【知识模块】 概率论16 【正确答案】 6【试题解析】 由于 E(X2)=D(X)+E(X)2，因此 E3(X 2 一
12、 2)=3E(X2)一 2 =3D(X)+E(X)2 一 2 =33+(一 1)2 一 2 =6【知识模块】 概率论计算题17 【正确答案】 设他购了 n 张，记 是中奖张数，X 是收益，则 X=8 一 n由条件知当 =2 时 X=0，于是 n=16所求期望E(X)=8E()一 16=8160116= 一 32(元)【知识模块】 概率论18 【正确答案】 E(Y)=E(X 2)+E(X)-2 X 服从 =2 的泊松分布，从而 E(X)=D(X)=2， 于是 E(X2)=D(X)+E(X)2=6， 代入上式得 E(Y)=6+22=6【知识模块】 概率论19 【正确答案】 所求即 01E(X)+5
13、00按指数分布的期望公式于是此营业员月工资的期望值为 1 500 元【知识模块】 概率论20 【正确答案】 记 Xi 是第 i 个骰子的点数，则 X1，X 2，X 3，X 4，X 5，X 6 相互独立，并且 X=X 1+X2+X3+X4+X5+X6容易求出 E(X i)=35， D(X i)=3512， E(X)=6E(Xi)=21，【知识模块】 概率论21 【正确答案】 显然 E(X)存在，且 E(x)= -+xf(x)dx=01x2dx+12x(2 一 x)dx=E(X2)=-+ x2f(x)dx=01x3dx+12x2(2 一 x)dx=D(X)=E(X2)一E(X) 2=【知识模块】
14、概率论22 【正确答案】 (1)根据定义， E(X)=(一 3)02+003+305=09， E(X 2)=(一 3)202+0 203+3 205=6 3， E(3X 25)=E(3X2)+E(一 5)=3E(X2)一 5 =3635=1895=139 (2)根据方差的定义和(1)的计算结果， D(X)=E(XE(X)2=E(X-09) 2 =(一 39) 202+(一 09) 203+(2 1) 205 =549 我们也可以用方差的另一个计算公式计算 D(X)： D(X)=E(X 2)一E(X)2=63 一 0 92=549 由方差的性质可知， D(一 2X+3)=D(一 2X)=(一 2
15、)2D(X)=4549=2196【知识模块】 概率论23 【正确答案】 X 服从参数为 p 的 01 分布，因此其概率函数为根据离散型随机变量数学期望的定义，X 的数学期望 E(X)=0(1-p)+1p=p由离散型随机变量方差的定义，X 的方差 D(X)=E(XE(X)2 =(0 一 p)2(1 一 p)+(1 一 p)2p =p2(1 一 p)+(12p+p2)p =p 一 p2 =p(1一 p)【知识模块】 概率论24 【正确答案】 先求 X 的数学期望 令i=k 一 1，则有 为了求 D(X)，我们先来求 E(X2)：再次令 i=k 一 1，则有由方差的另一计算公式得 D(X)=E(X
16、2)一E(X) 2=(2+)一 2=【知识模块】 概率论25 【正确答案】 令 Xi=1 表示第 i 次检验时发现的次品数多于 1，因此需要调整设备，i=1 ，2， 3，4，则 PX i=0=P第 i 次检验时发现的次品数为 0 或 1 =(09)10+C101(09) 901 =0736 1 PX i=1=1-0736 1=0263 9 故 XiB(1，0263 9)， E(X i)=0263 9， i=1，2，3，4 因为 X=X 1+X2+X3+X4， 则 E(X)=E(X 1)+E(X2)+E(X3)+E(X4) =40263 9=1055 6【知识模块】 概率论26 【正确答案】 由
17、 -+p(x)dx=1，得再由 D(X)=1(因为密度函数为偶函数，故 E(X)=0)，得到【知识模块】 概率论27 【正确答案】 XB(n ， p)，X 的概率函数为 PX=k=C nkpk(1 一 p)n-k，则 X 的数学期望 =np1=np为了求 D(X)，我们先求 E(X2)：由D(X)=E(X2)一E(X) 2，得 D(X)=n(n-1)p 2+np 一 n2P2=np 一 np2=np(1 一 p)【知识模块】 概率论28 【正确答案】 参数为 的指数分布 X 的概率密度函数为则其数学期望为 E(X)=-+xp(x)dx =0+x.e-xdx为了计算 D(X)，先计算E(X2)： E(X 2)=-+x2.p(x)dx =0+x2.e-xdx【知识模块】 概率论
