1、大数定理：讨论大量随机变量的算术平均值稳定性的一系列定理,中心极限定理：讨论在什么条件下，大量随机变量之和的极限分布为正态分布的一系列定理,第5章 中心极限定理与大数定律,1. 大数定律,定义 设随机变量序列Xn,如果存在一个常数列 ,使得对任意的0，有,则称Xn服从大数定律.,大数定理,切比雪夫大数定理,辛钦大数定理,伯努利大数定理,马尔可夫大数定理,泊松大数定理,定理1 (马尔可夫大数定律)设Xn为随机变量序列,且有则对任意的0 ,有,证:,定理2 (切比雪夫大数定律) 设 Xn是两两不相关随机变量序列,方差一致有界D(Xn)=n2 0,有,证:,定理3 (泊松大数定律) 设每次试验中事件
2、A发生 的概率为 ，n次重复独立试验中事件A发生的次 数为 ,事件的频率 ,则对任意0,有,证:,定理4 (伯努里利大数定律) 设每次试验中事件A发生的概率为p，n次重复独立试验中事件A发生的次数为 ，事件的频率有 ,则对任意0,(伯努里利大数定律是泊松大数定律的特例),意义： Bernoulli大数定理表明当试验次数无限增加时事件 A 的频率按概率收敛到事件 A 的概率.这为频率的稳定性提供了理论依据.,定理5 (辛钦大数定律)设Xi为相互独立的随机变量序列,且有相同期望E(Xi)=u,(i=1,2,.),则对任意的0 ,有,大数定理是参数估计和假设检验的重要理论基础.,注意 辛钦大数定理成
3、立的条件中只需 的数学 期望存在；而当 的方差存在时，其即为切比雪夫大 数定理的直接推论.,1.中心极限定理：,概率论中有关论证随机变量和的 极限分布是正态分布(Gauss)分布 的一系列定理。,意义:大量的独立同分布的随机变量之和的分布 可近似认为是正态分布. 这是数理统计中大样本问题研究的理论基础.,定理6 林德贝格-勒维定理(独立同分布中心极限定理)设X1,X2,X n,为独立同分布序列,期望,方差20,设,注 以上定理表明只要n比较大,就有近似结果:,例1 用机器包装味精,每袋味精净重为随机变量,期望值为100克,标准差为10克,一箱内装200袋味精,求一箱味精净重大于20500克的概
4、率?,解,设一箱净重为X,箱中第i袋味精净重为Xi,(i=1,2,200),则 X1,X2,X200独立同分布, EXi=100, DXi=102=100,且,由中心极限定理得X近似服从正态分布,EX=200EXi=20000,DX=200DXi=20000,所求为P(X20500)=,1-P(X20500),=0.0002,故一箱味精净重大于20500的概率为0.0002.,例2 一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重 量是随机的.假设每箱平均重50kg,标准差为5kg.若用最大载重量为5吨的汽车承运,试用中心极限定理说明每车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.9772.,解,设Xi
5、(i=1,2,n)为装运的第i箱的重量,n是所求的箱数.则,X1,X2,Xn独立同分布, EXi=50, DXi=52=25,令,由中心极限定理得,所以,即最多可以装98箱.,定理7 若随机变量n(n,p)(n=1,2,),则对任意ab有,注 : (1) 定理称为棣莫佛-拉普拉斯定理.(2)它表示当n很大时,二项分布可用正态分布近似逼近:即 若XB(n,p),当n很大时,有近似结果XNnp,np(1-p).,定理8 (泊松定理)二项概率的泊松近似,例3: 每颗子弹击中飞机的概率为0.01, 连发500发,求命中5发的概率.,例4 某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户 中被盗索赔户占20%,随
6、机抽查100户,利用棣莫佛-拉普拉斯积分定理求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的近似值.,解 设X表示100户中被盗索赔户数,则,XB(100,0.2),由棣莫佛-拉普拉斯定理得： X近似服从正态分布,EX=np=20, DX=np(1-p)=16, 所以 XN(20,16),所求 P(14X30),=0.927,例5 某校有4900个学生，已知每天每个学生去阅览室自修的概率为0.1,问阅览室要准备多少座位，才能以此为准99%的概率保证每个去阅览室自修的学生都有座位。,例:6,某厂有400台同类机器，每台发生故障的概率 为0.02，假如各台机器彼此独立，求最多2台 机器发生故障的概率。,解
7、：,例7：,某车间有200台独立工作的车床，各台车床开 工的概率都是0.6，每台开工车床要耗电1千瓦， 问供电所至少要供给这个车间多少千瓦电力， 才能以99.9的概率保证这个车间不会因供电 不足而影响生产。,解：,则,查表得,应用: 用频率代替概率时误差的近似估计,Bernoulli大数定理:,而由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理可得,已知某厂生产一批无线电元件,合格品占1/6,(1)选出6000个这种元件,试问在这6000个元件中, 合格品的比例与1/6之差小于1%的概率是多少?,(2)选出6000个这种元件,试问误差限定为多少时,才能保证频率与概率之差不大于 的概率为0.99? 此时合格品数落在哪个范围内?,(3)选出多少个这种元件,使选出的这批元件中合格品的比例与1/6的差异不大于0.01的概率不小于0.95?,解:把任选n个元件看作n次Bernoulli试验, 为其中的合格品数,则,例6,说明相应的合格品数落在 9251075 之间.,所以至少要选 5336 个元件.,注:若 p 未知,则可利用,
