1、MPA 公共管理硕士综合知识数学概率论（随机变量及其分布）模拟试卷 3 及答案与解析选择题1 若 X 服从参数 的指数分布，则 P3X9等于( )2 设甲、乙都有 n 个硬币，全部掷完后分别计算掷出的正面数，甲、乙两人掷出的正面数相等的概率为( ) 3 小王一次射击时中靶的概率为 07，现进行 5 次射击，假定每次射击是独立的，以 X 表示中靶的次数，则 PX3)等于( )（A）0308 7（B） 0030 78（C） 0529 12（D）0836 924 下列四个函数中，不能作为随机变量分布函数的是( )5 设 X 是一个离散型随机变量，则可以成为 X 的分布函数的是( )6 设随机变量 X
2、 在1，6 上服从均匀分布，现对 X 进行 3 次独立观测，求至少有 2次观测值大于 3 的概率为( )7 设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，则随着 的增大，概率 P|X-|( )（A）单调增大（B）单调减小（C）保持不变（D）非单调变化8 假设一台机器开机后无故障工作的时间 X 服从指数分布，平均无故障工作的时间(E(X)为 5 小时机器定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2 小时便关机，试求该机器每次开机无故障工作的时间 Y 的分布函数 F(y)( )9 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，概率密度为 f(x)，已知一 X 与 X 具有相同的分布函数，则( )
3、 （A）F(x)=F( 一 x)（B） F(x)=一 F(一 x)（C） f(x)=f(一 x)（D）f(x)=一 f(一 x)10 设随机变量 X 和 Y 相互独立，均服从 P(1)分布，则 Pmax(X，Y)0等于( )（A）e -2（B） 1 一 e-2（C）（D）e -111 已知某种集成电路的寿命服从指数分布(参数为 )，现将已使用到平均寿命而未损坏的集成电路再使用一个平均寿命长度，而仍未损坏的概率为( )（A）e -（B） e-2（C） e-1（D）e -212 设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= 以 Y 表示对 X 的 3 次独立重复观察中事件X1 出现的次数，则 PY=2
4、为( )13 设随机变量 X 与 Y 相互独立，其概率分布为 其中0p=1 一 q 1，则( )（A）X=Y（B） PX=Y=1（C） PX=Y=p2+q2（D）PXY=1填空题14 设随机变量 XN(2，5 2)，并且 P(X7=04，则 PX-3=_.15 设随机变量 X 的分布律为则 Y=2X2 一 3 的分布律为_16 某种灯管使用寿命在 1 000 小时以上的概率为 03，3 个这样的灯管在使用 31 000 小时后，最多只有 1 个损坏的概率为_17 掷一不均匀硬币，已知在四次投掷中至少一次出现正面朝上的概率为 则在一次投掷中正面朝上的概率为_18 甲、乙两球队进行排球赛，实行五局
5、三胜制，若甲队在每局比赛中获胜的概率为 06，则甲队在比赛中最终获胜的概率为_19 假设一电子设备装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为 (0)的指数分布当三个元件都无故障时，电子设备正常工作，否则整个电子设备不能正常工作，则电子设备正常工作的时间丁服从参数为_的指数分布20 设随机变量 X 服从参数为(2，p)的二项分布，随机变量 Y 服从参数为(3，p)的二项分布若 PX1= ，则 PY1=_计算题21 某梨园去年产的梨的单个重 X(克)近似服从正态分布 N(， 2)，已知超过 240 克和不到 160 克的梨各占了 20 (1)求 和 ；(2)求不到 10
6、0 克的梨所占百分比22 某种集成电路的使用寿命 X(小时)服从参数 =0001 的指数分布现有 3 个这种集成电路，求它们用了 1 000 小时后都没有坏的概率23 设连续型随机变量 XN(1，2 2)，求24 某种电容的质量与生产时所用电压有关，统计表明，当电压高于 210 伏时，此电容的合格品率为 098，如果电压低于 210 伏，则合格品率为 09，已知电压V(伏 )N(220，20 2)，求该电容的合格品率25 一种电阻使用寿命 X(小时)服从参数为 的指数分布，如果一个这种电阻已使用了 N 小时没有坏，问它仍能使用的小时数 Y 的分布函数 F(y)26 工厂自动生产线在调整之后出现
7、废品的概率为 p，当在生产过程中出现废品时，立即重新进行调整设每次生产相互独立，求在两次调整之间生产的合格品数 X的概率函数及其分布函数27 设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 求：(1)X 的分布函数 F(x)； (2)P1X2； (3)P 一 1X128 设随机变量 X 的密度函数为 求：(1)试求常数 C； (2)求 X 的分布函数29 设随机变量 X 具有以下分布律，求 的分布律30 设随机变量 X 的概率密度函数为 求：(1)Y 1=3X+1 的概率密度函数 p1(y)； (2)Y 2=5 一 X 的概率密度函数 p2(y)； (3)Y 3=X2 的概率密度函数p3(y)MPA
8、公共管理硕士综合知识数学概率论（随机变量及其分布）模拟试卷 3 答案与解析选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 由于【知识模块】 概率论2 【正确答案】 D【试题解析】 甲、乙两人掷出 k 个正面的概率均为由于甲、乙两人是独立投掷的，所以两人掷出正面数相等的概率为【知识模块】 概率论3 【正确答案】 D【试题解析】 XB(5，07) ，即 PX=0=C 50(03) 5=0002 43， PX=1=C5107(0 3) 4=0028 35， PX=2=C 52(07) 2(03) 3=0132 3， PX=3=C53(07) 3(03) 2=0308 7， PX=4=C 54(0 7)403
9、=0360 15， PX=5=C55(07) 5=0168 07PX3=PX=3+PX=4+PX=5 =0308 7+0360 15+01 68 07=0836 92即至少中靶 3 次的概率为 0836 92【知识模块】 概率论4 【正确答案】 C【试题解析】 机变量的分布函数应当满足条件 由此可以看出 F3 不满足上述条件【知识模块】 概率论5 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不是分布函数，因为作为概率的 p 不能是任何实数，只能是非负的实数；(B) 不是分布函数，因为 01+03+03+02+0 21；(C) 不是分布函数，因为 (D)是参数为 3 的泊松分布【知识模块】 概率论6
10、【正确答案】 A【试题解析】 不难看出 PX3= 对 X3 次独立观测可看成是三重贝努利试验，至少有 2 次观测值大于 3 的概率应为故应选(A)【知识模块】 概率论7 【正确答案】 C【试题解析】 设 由 XN(， 2)，得 YN(0，1)，因此 P|X 一 |=P|Y|1=2(1) 一 1，由此可见，概率不随 的变化而变化故应选(C)【知识模块】 概率论8 【正确答案】 D【试题解析】 X 服从指数分布，设参数为 ，则 显然，Y=minX，2当 y0 时，有 F(y)=0；当 y2时，有 F(y)=1；当 0y2 时，有 F(y)=PYy=PminX，2y=PXy= 所以 Y 的分布函数为
11、故应选(D)【知识模块】 概率论9 【正确答案】 C【试题解析】 一 X 与 X 具有相同的分布函数， P(Xx)=P(一 Xx)=P(X一 x)， 即 -xf(x)dx=-x+f(-x)dx 对 x 求导数得 f(x)=f( 一 x) 故应选(C) 【知识模块】 概率论10 【正确答案】 B【试题解析】 Pmax(X ， Y)0=1一 Pmax(X，Y)=0由于 X，Y 均服从 P(1)分布，所以 Pmax(X ，Y)=0=PX=0 ，Y=0=PX=0PY=0故 Pmax(X，Y)0)=1 一 e-2【知识模块】 概率论11 【正确答案】 C【试题解析】 因为参数为 的指数分布的数学期望为
12、，即平均寿命为 使用时间 t，而未损坏的概率为 PXt=e -t，所以使用一个平均寿命的概率为使用到平均寿命而未损坏，再使用一个平均寿命长度而仍未损坏的概率为 根据无记忆性故应选(C)【知识模块】 概率论12 【正确答案】 B【试题解析】 PX1= 01x2dx= 由题目可知， 所以故应选(B)【知识模块】 概率论13 【正确答案】 C【试题解析】 PX=Y=PX=a，Y=a+PX=b，Y=b =PX=aPY=a+PX=bPY=b =p2+q2 故应选(C)【知识模块】 概率论填空题14 【正确答案】 01【试题解析】 由图 241 可以看出 p(x)是关于直线 x=2 对称的，于是有 PX一
13、 3=01【知识模块】 概率论15 【正确答案】 【试题解析】 p k=PY=k，X=一 1，Y= 一 1，PY=-1= X=0，Y=一 3，PY=-3= X=1，Y=一 1，PY=一 1= X=2，Y=5 ，PY=5=【知识模块】 概率论16 【正确答案】 0216【试题解析】 这是一个 P=03 的三重贝努利概型问题，事件“最多只有一个坏了”意味着“3 个都是好的或有 2 个是好的，仅有 1 个坏了”，于是所求概率为 P=P 3(3)+P3(2) =C3303 307 0+C3203 207 =021 6【知识模块】 概率论17 【正确答案】 【试题解析】 这是一个贝努利概型问题，已知 n
14、 和有关概率，求 p 设事件A=在 4 次投掷中至少一次出现正面朝上，则 A 中包含 4 种情况，即 4 次投掷出现 1 次、2 次、3 次或 4 次正面朝上，如果简单套用贝努利定理，计算将会比较复杂，但我们注意到 =在 4 次投掷中没有正面朝上 ，其概率是比较好求的 设一次投掷中正面朝上的概率为 p，则由题意【知识模块】 概率论18 【正确答案】 068【试题解析】 设比赛不论过程如何，总要打满 5 局(不改变胜负率)，并设 A=甲队获胜，则所求概率为 P(A)=C53(06) 3(04) 2+C54(06) 4(04)+C 52(06)5068【知识模块】 概率论19 【正确答案】 3【试
15、题解析】 令 Xi(i=1，2，3) 表示“第 i 个电气元件无故障工作的时间”，则X1，X 2，X 3 相互独立且同分布，其分布函数为 设G(t)是 T 的分布函数当 t0时，G(t)=0 当 t0 时， G(t)=PTt)=1 一 PTt =1 一 PX1t ，X 2t，X 3t =1 一 PX1t.PX 2t.PX 3t =1 一1 一 F(t)3=1 一 e-3t 即 T 服从参数为 3的指数分布【知识模块】 概率论20 【正确答案】 【试题解析】 因为 PX1=1一 PX1=1 一 PX=0= 所以 PX=0= 又 X服从参数为(2，p)的二项分布，所以 PX=0=C20P0(1 一
16、 p)2-0=(1 一 p)2= 所以从而 PY1=1 一 PY=0=【知识模块】 概率论计算题21 【正确答案】 (1)由 PX240=pX160知 由条件 PX240=1 一 02=08，于是=1 一 (21)=10982 14=0 017 86即不到 100 克的梨占 1786【知识模块】 概率论22 【正确答案】 先求出一个集成电路能用 1 000 小时的概率，再用独立性和乘法公式求 3 个集成电路都能用 1 000 小时的概率 X 的密度函数为：能用 1 000 小时的概率为 PX1 000=1-PX1 000) =1-1 一 e1000.(-0.001) =1 一(1 一 e-1)
17、=e-1 于是所求概率为(e -1)3=e-3005【知识模块】 概率论23 【正确答案】 记 ，则 YN(0，1) e X=e2Y+1+1，于是【知识模块】 概率论24 【正确答案】 记 A 为事件“电压超过 210 伏” ，B 为“ 得到合格品”，用全概率公式，所求合格品率(即 B 的概率)为 P(B)=P(A)P(B|A)+ 其中 P(B |A)=098 ， P(A)=PV210= 查表得 P(A)=06915，则 =0308 5代入求出 P(B)=0980691 5+090308 50955 【知识模块】 概率论25 【正确答案】 F(y)=PYy=1 一 PYy， y 0其中 PYy
18、是在电阻寿命大于 N 的条件下，超过 N+y 的条件概率，则于是 Y 的分布函数 F(y)=1 一e-y【知识模块】 概率论26 【正确答案】 因为随机变量 X 是两次调整之间生产的合格品数，所以它的可能取值为 0，1，2，而 X 的概率函数为这是一个离散型随机变量 X 的分布函数【知识模块】 概率论27 【正确答案】 (1)X 的分布函数 (2)P1X2=F(2)一 F(1)=(1 一 e-2)一(1 一 e-1)=e-1 一 e-2(3)P( 一 1X1)=F(1)一 F(一1)=(1 一 e-1)一 0=1 一 e-1【知识模块】 概率论28 【正确答案】 (1)由 -+p(x)dx=1
19、 得所以 即 X 的密度函数为 (2)当 x0 时，当 x0 时，F(x)+F(一 x)=1， 也可得：当 x0时，【知识模块】 概率论29 【正确答案】 经过合并整理，得到 的分布律为【知识模块】 概率论30 【正确答案】 (1)Y 1 的分布函数为两边求导数，得到Y1 的概率密度函数为 (2)Y2 的分布函数为 F2(y)=PY2y =P5 一 Xy) =PX5一 y =1 一 PX5 一 y) =1 一Fx(5 一 y)两边求导数，得到 Y2 的概率密度函数 p 2(y)=一 pX(5 一 y)(一 1) =PX(5一 y)= (3)Y3 的分布函数 F3(y)=PY3y=PX2y若 y0，则 F3(y)=0，因此 p3(y)=0若 y0，则【知识模块】 概率论
