浙江专用2020版高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布考点规范练52二项式定理20190118486.docx

1、1考点规范练 52 二项式定理基础巩固组1.在( x2-4)5的展开式中,含 x6项的系数为( )A.20 B.40 C.80 D.160答案 D解析 因为 Tr+1= (x2)5-r(-4)r=(-4)r x10-2r,Cr5 Cr5令 10-2r=6,解得 r=2,所以含 x6项的系数为( -4)2 =160.C252.已知 的展开式中,第 6项为常数项,则 n=( )(x2- 15x)nA.9 B.8 C.7 D.6答案 D解析 因为第 6项为常数项,所以由 =- xn-6,可得 n-6=0,即 n=6.故选 D.C5n(x2)n-5(- 15x)5 (12)n-5C5n3.(2017山

2、东青岛模拟)已知( x+1)10=a1+a2x+a3x2+a11x10.若数列 a1,a2,a3,ak(1 k11, kN *)是一个单调递增数列,则 k的最大值是( )A.5 B.6 C.7 D.8答案 B解析 由二项式定理知 an= (n=1,2,3,n).又( x+1)10展开式中二项式系数最大的项是第 6项,Cn-110所以 a6= ,则 k的最大值为 6.C5104.若 的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为 64,则 x3的系数为( )(x+3x)nA.15 B.45 C.135 D.405答案 C解析 由题意得 =64,n=6,Tr+1= x6-r =3r ,令 6- =3,

3、得 r=2,32 =135.故选 C.4n2n Cr6 (3x)r Cr6x6-3r2 3r2 C265.若 的展开式中,各项系数的和为 2,则该展开式的常数项是( )(x+ax)(2x-1x)5A.-40 B.-20 C.40 D.20答案 C解析 令 x=1,则(1 +a)(2-1)5=2,解得 a=1.所以 的展开式的通项公式为 Tr+1= (2x)5-r(2x-1x)5 Cr5=(-1)r25-r x5-2r,(-1x)r Cr5令 5-2r=-1,5-2r=1,解得 r=3或 r=2.所以该展开式的常数项为( -1)322 +(-1)223 =40.C35 C2526.在 的二项式中

4、,所有项的二项式系数之和为 256,则常数项等于 . (3x-2x)n答案 112解析 2n=256,n=8.通项 Tr+1= (-2)r ,Cr8x8-r3(-2x)r=Cr8 x8-4r3令 r=2,得常数项为 (-2)2=112.C287.在 的展开式中恰好第 5项的二项式系数最大,则展开式中含 x2项的系数是 . (x-1x)n答案 -56解析 因为在 的展开式中恰好第 5项的二项式系数最大,所以 n=8,(x-1x)n展开式的通项公式为 Tr+1= (-1)rx8-2r,令 8-2r=2,得 r=3,所以展开式中含 x2项的系数是 -Cr8=-56.C388.(2017四川成都二诊)

5、在二项式 的展开式中,若常数项为 -10,则 a= . (ax2+ 1x)5答案 -2解析 该二项式展开式的通项公式为Tr+1= (ax2)5-r a5-r ,Cr5 (1x)r=Cr5 x10-52r令 10- r=0,得 r=4,52故常数项为 a5-4=-10,所以 a=-2.C45能力提升组9.在(1 -x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含 x3项的系数是( )A.121 B.-74 C.74 D.-121答案 D解析 由题意得含 x3项的系数是 - =-10-20-35-56=-121.C35-C36-C37-C3810.已知 的展开式中各项系数的和为 32

6、,则展开式中系数最大的项为( )(ax-1x)5A.270x-1 B.270x C.405x3 D.243x5答案 B解析 令 x=1,(a-1)5=32,解得 a=3,即 中共有 6项,其中奇数项为正数,偶数项为负数,所以(3x-1x)5比较奇数项的系数,分别为 (3x)5=243x5, (3x)3 =270x, (3x) ,所以系数最C05 C25 (-1x)2 C45 (-1x)4=15x3大的项为 270x,故选 B.11.设 aZ,且 0 a13,若 512 012+a能被 13整除,则 a=( )3A.0 B.1 C.11 D.12答案 D解析 512012+a=(52-1)201

7、2+a=522012- 522011+ 52(-1)2011+C02012 C12012 C20112012(-1)2012+a,C20122012522012- 522011+ 52(-1)2011能被 13整除 . C02012 C12012 C20112012且 512012+a能被 13整除, (-1)2012+a=1+a也能被 13整除 .因此 a可取 12. C2012201212.(x2-x+1)10展开式中 x3项的系数为( )A.-210 B.210 C.30 D.-30答案 A解析 (x2-x+1)10=(x2-x)+110的展开式的通项公式为 Tr+1= (x2-x)10

8、-r,(x2-x)10-r的通项公式为Cr10Tr+1=(-1)r x20-2r-r.令 20-2r-r=3,根据 0 r10 -r,r,rN,得 所以C r10-r r=8,r=1,或 r=7,r=3,(x2-x+1)10展开式中 x3项的系数为 (-1)+ (-1)=-90-120=-210.C810C12 C710C3313 展开式中,各项系数之和为 3,则展开式中的常数项为( ).(x+ax)(2x-1x)5A.-120 B.-80 C.80 D.120答案 D解析 展开式中,各项系数之和为 3, (x+ax)(2x-1x)5 当 x=1时,1 +a=3,a= 2. (x+ax)(2x

9、-1x)5=(x+2x)(2x-1x)5.展开式中 x的一次项为 80x,x的 -1次项为 -40x-1, 展开式中的常数项为 160- (2x-1x)540=120.故选 D.14.已知(1 +x+x2) (nN *)的展开式中没有常数项 ,且 2 n8,则 n= . (x+1x3)n答案 5解析 (1+x+x2) 的展开式中没有常数项即 中没有常数项,不含 x-1,x-2项,因为(x+1x3)n (x+1x3)n的通项公式为 Tr+1= xn-4r,所以 经验证得 n=5.(x+1x3)n Crn n-4r 0,n-4r -1,n-4r -2,15.若(1 +2x)5=a0+a1x+a2x

10、2+a3x3+a4x4+a5x5,则 a0+a2+a4= .答案 121解析 令 x=1,得 a0+a1+a2+a3+a4+a5=35;令 x=-1,得 a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1,4所以 a0+a2+a4= =121.35-1216.已知(1 -2x)5(1+ax)4的展开式中 x的系数为 2,则实数 a的值为 . 答案 3解析 因为(1 -2x)5的展开式中的常数项为 1,x的系数为 (-2)=-10;(1+ax)4的展开式中的常数C15项为 1,x的系数为 a=4a,所以(1 -2x)5(1+ax)4的展开式中 x的系数为 14a+1(-10)=2,所以 a=3.C1417

11、.(2017浙江绍兴调研)已知 f(x)=(2x-3)n展开式的二项式系数和为 512,且(2 x-3)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+an(x-1)n.(1)求 a2的值;(2)求 a1+a2+a3+an的值 .解 (1)由 f(x)=(2x-3)n展开式的二项式系数和为 512,可得 2n=512,故 n=9.因为(2 x-3)9=-1+2(x-1)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a9(x-1)9,所以 a2= (-1)722=-144.C29(2)在(2 x-3)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+an(x-1)n中,令 x=1,可得 a0=-1.再令 x

12、=2,可得 a0+a1+a2+a3+an=1,所以 a1+a2+a3+an=2.18.已知 (12+2x)n.(1)若其展开式中第 5项、第 6项与第 7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数;(2)若其展开式前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项 .解 (1)通项 Tr+1= (2x)r=22r-n xr,Crn(12)n-r Crn由题意知 成等差数列,C4n,C5n,C6n所以 2 所以 n=14或 n=7.C5n=C4n+C6n.当 n=14时,第 8项的二项式系数最大,该项的系数为 227-14 =3432;C714当 n=7时,第 4、5 项的二项式系数相等且最大,其系数分别为 223-7 ,224-7 =70.C37=352 C47(2)由题意知 =79,C0n+C1n+C2n所以 n=12或 n=-13(舍) .所以 Tr+1=22r-12 xr.Cr12由 所以 r=10.22r-12Cr12 22(r-1)-12Cr-112,22r-12Cr12 22(r+1)-12Cr+112,得 r525,r 475,所以展开式中系数最大的项为 T11=2210-12 x10= (2x)10.C1012332