1、1考点规范练 52 二项式定理基础巩固组1.在( x2-4)5的展开式中,含 x6项的系数为( )A.20 B.40 C.80 D.160答案 D解析 因为 Tr+1= (x2)5-r(-4)r=(-4)r x10-2r,Cr5 Cr5令 10-2r=6,解得 r=2,所以含 x6项的系数为( -4)2 =160.C252.已知 的展开式中,第 6项为常数项,则 n=( )(x2- 15x)nA.9 B.8 C.7 D.6答案 D解析 因为第 6项为常数项,所以由 =- xn-6,可得 n-6=0,即 n=6.故选 D.C5n(x2)n-5(- 15x)5 (12)n-5C5n3.(2017山
2、东青岛模拟)已知( x+1)10=a1+a2x+a3x2+a11x10.若数列 a1,a2,a3,ak(1 k11, kN *)是一个单调递增数列,则 k的最大值是( )A.5 B.6 C.7 D.8答案 B解析 由二项式定理知 an= (n=1,2,3,n).又( x+1)10展开式中二项式系数最大的项是第 6项,Cn-110所以 a6= ,则 k的最大值为 6.C5104.若 的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为 64,则 x3的系数为( )(x+3x)nA.15 B.45 C.135 D.405答案 C解析 由题意得 =64,n=6,Tr+1= x6-r =3r ,令 6- =3,
3、得 r=2,32 =135.故选 C.4n2n Cr6 (3x)r Cr6x6-3r2 3r2 C265.若 的展开式中,各项系数的和为 2,则该展开式的常数项是( )(x+ax)(2x-1x)5A.-40 B.-20 C.40 D.20答案 C解析 令 x=1,则(1 +a)(2-1)5=2,解得 a=1.所以 的展开式的通项公式为 Tr+1= (2x)5-r(2x-1x)5 Cr5=(-1)r25-r x5-2r,(-1x)r Cr5令 5-2r=-1,5-2r=1,解得 r=3或 r=2.所以该展开式的常数项为( -1)322 +(-1)223 =40.C35 C2526.在 的二项式中
4、,所有项的二项式系数之和为 256,则常数项等于 . (3x-2x)n答案 112解析 2n=256,n=8.通项 Tr+1= (-2)r ,Cr8x8-r3(-2x)r=Cr8 x8-4r3令 r=2,得常数项为 (-2)2=112.C287.在 的展开式中恰好第 5项的二项式系数最大,则展开式中含 x2项的系数是 . (x-1x)n答案 -56解析 因为在 的展开式中恰好第 5项的二项式系数最大,所以 n=8,(x-1x)n展开式的通项公式为 Tr+1= (-1)rx8-2r,令 8-2r=2,得 r=3,所以展开式中含 x2项的系数是 -Cr8=-56.C388.(2017四川成都二诊)
5、在二项式 的展开式中,若常数项为 -10,则 a= . (ax2+ 1x)5答案 -2解析 该二项式展开式的通项公式为Tr+1= (ax2)5-r a5-r ,Cr5 (1x)r=Cr5 x10-52r令 10- r=0,得 r=4,52故常数项为 a5-4=-10,所以 a=-2.C45能力提升组9.在(1 -x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含 x3项的系数是( )A.121 B.-74 C.74 D.-121答案 D解析 由题意得含 x3项的系数是 - =-10-20-35-56=-121.C35-C36-C37-C3810.已知 的展开式中各项系数的和为 32
6、,则展开式中系数最大的项为( )(ax-1x)5A.270x-1 B.270x C.405x3 D.243x5答案 B解析 令 x=1,(a-1)5=32,解得 a=3,即 中共有 6项,其中奇数项为正数,偶数项为负数,所以(3x-1x)5比较奇数项的系数,分别为 (3x)5=243x5, (3x)3 =270x, (3x) ,所以系数最C05 C25 (-1x)2 C45 (-1x)4=15x3大的项为 270x,故选 B.11.设 aZ,且 0 a13,若 512 012+a能被 13整除,则 a=( )3A.0 B.1 C.11 D.12答案 D解析 512012+a=(52-1)201
7、2+a=522012- 522011+ 52(-1)2011+C02012 C12012 C20112012(-1)2012+a,C20122012522012- 522011+ 52(-1)2011能被 13整除 . C02012 C12012 C20112012且 512012+a能被 13整除, (-1)2012+a=1+a也能被 13整除 .因此 a可取 12. C2012201212.(x2-x+1)10展开式中 x3项的系数为( )A.-210 B.210 C.30 D.-30答案 A解析 (x2-x+1)10=(x2-x)+110的展开式的通项公式为 Tr+1= (x2-x)10
8、-r,(x2-x)10-r的通项公式为Cr10Tr+1=(-1)r x20-2r-r.令 20-2r-r=3,根据 0 r10 -r,r,rN,得 所以C r10-r r=8,r=1,或 r=7,r=3,(x2-x+1)10展开式中 x3项的系数为 (-1)+ (-1)=-90-120=-210.C810C12 C710C3313 展开式中,各项系数之和为 3,则展开式中的常数项为( ).(x+ax)(2x-1x)5A.-120 B.-80 C.80 D.120答案 D解析 展开式中,各项系数之和为 3, (x+ax)(2x-1x)5 当 x=1时,1 +a=3,a= 2. (x+ax)(2x
9、-1x)5=(x+2x)(2x-1x)5.展开式中 x的一次项为 80x,x的 -1次项为 -40x-1, 展开式中的常数项为 160- (2x-1x)540=120.故选 D.14.已知(1 +x+x2) (nN *)的展开式中没有常数项 ,且 2 n8,则 n= . (x+1x3)n答案 5解析 (1+x+x2) 的展开式中没有常数项即 中没有常数项,不含 x-1,x-2项,因为(x+1x3)n (x+1x3)n的通项公式为 Tr+1= xn-4r,所以 经验证得 n=5.(x+1x3)n Crn n-4r 0,n-4r -1,n-4r -2,15.若(1 +2x)5=a0+a1x+a2x
10、2+a3x3+a4x4+a5x5,则 a0+a2+a4= .答案 121解析 令 x=1,得 a0+a1+a2+a3+a4+a5=35;令 x=-1,得 a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1,4所以 a0+a2+a4= =121.35-1216.已知(1 -2x)5(1+ax)4的展开式中 x的系数为 2,则实数 a的值为 . 答案 3解析 因为(1 -2x)5的展开式中的常数项为 1,x的系数为 (-2)=-10;(1+ax)4的展开式中的常数C15项为 1,x的系数为 a=4a,所以(1 -2x)5(1+ax)4的展开式中 x的系数为 14a+1(-10)=2,所以 a=3.C1417
11、.(2017浙江绍兴调研)已知 f(x)=(2x-3)n展开式的二项式系数和为 512,且(2 x-3)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+an(x-1)n.(1)求 a2的值;(2)求 a1+a2+a3+an的值 .解 (1)由 f(x)=(2x-3)n展开式的二项式系数和为 512,可得 2n=512,故 n=9.因为(2 x-3)9=-1+2(x-1)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a9(x-1)9,所以 a2= (-1)722=-144.C29(2)在(2 x-3)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+an(x-1)n中,令 x=1,可得 a0=-1.再令 x
12、=2,可得 a0+a1+a2+a3+an=1,所以 a1+a2+a3+an=2.18.已知 (12+2x)n.(1)若其展开式中第 5项、第 6项与第 7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数;(2)若其展开式前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项 .解 (1)通项 Tr+1= (2x)r=22r-n xr,Crn(12)n-r Crn由题意知 成等差数列,C4n,C5n,C6n所以 2 所以 n=14或 n=7.C5n=C4n+C6n.当 n=14时,第 8项的二项式系数最大,该项的系数为 227-14 =3432;C714当 n=7时,第 4、5 项的二项式系数相等且最大,其系数分别为 223-7 ,224-7 =70.C37=352 C47(2)由题意知 =79,C0n+C1n+C2n所以 n=12或 n=-13(舍) .所以 Tr+1=22r-12 xr.Cr12由 所以 r=10.22r-12Cr12 22(r-1)-12Cr-112,22r-12Cr12 22(r+1)-12Cr+112,得 r525,r 475,所以展开式中系数最大的项为 T11=2210-12 x10= (2x)10.C1012332
