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山东省龙口市兰高镇2018年中考数学三角形分类训练三全等三角形鲁教版.doc

1、1鲁教版中考数学三角形分类训练三(全等三角形)常见的全等三角形:(1)平移型(如图 1-10-32):图 1-10-32(2)翻折型(如图 1-10-33):图 1-10-33(3)旋转型(如图 1-10-34):图 1-10-34(4)复合型(如图 1-10-35):图 1-10-35典例诠释:考点一 三角形全等及其应用例 1 如图 1-10-41,已知 E是 BC的中点,点 A在 DE上,且 BAE= CDE求证: AB=CD.2图 1-10-41 【证明】 如图 1-10-42,延长 DE到 F,使 EF=DE,连接 BF. E是 BC的中点, BE=CE.图 1-10-42 在 BEF

2、和 CED中, BEF CED F= CDE, BF=CD BAE= CDE, BAE= F, AB=BF.又 BF=CD, AB=CD【名师点评】 此题要证明 AB=CD,不能通过证明 ABE和 CED全等得到,因为根据已知条件无法证明它们全等,那么可以利用等腰三角形的性质来解题,为此必须把 AB和 CD通过作辅助线转化到一个等腰三角形中例 2 (2016石景山一模)如图 1-10-43,已知 AD=AE,请你添加一个条件 ,使得 ADC AEB.图 1-10-4【答案】 C= B或 AC=AB等(答案不唯一)【名师点评】 此题考查两个三 角形全等的条件,此题答案不唯一.3例 3 (2016

3、顺义一模)如图 1-10-44,已知 B, A, E在同一直线上, AC BD且AC=BE, ABC= D求证: AB=AD图 1-10-44【证明】 AC BD, BAC= DBE在 ABC和 BDE中, ABC BDE(AAS), AB=BD考点二 尺规 作图例 4 (2016房山二模)阅读下面材料:在数学课上,老师提出如下问题:尺规作图: 已知:Rt ABC, C=90(如图 1-10-45)图 1-10-45求作:Rt DEF,使 DFE=90, DE=AB, FE = CB小芸的作图步骤如下:如图 1-10-46,图 1-10-46(1)作线段 FE=CB;(2)过点 F作 GF F

4、E于点 F;(3)以点 E为圆心, AB的长为半径作弧,交射线 FG于点 D,连接 DE.所以 DEF即为所求作的直角三角形4老师说:“小芸的作图步骤正确,且可以得到 DF=AC”请回答:得到 DF=AC的依据是 【答案】 全等三角形的对应边相等【名师点评】 此题考查两个直角三角形全等的判定定理(HL),学生要能通过阅读作图步骤,找到哪些是已知条件 ,从而找到两个三角形全等的依据.基础精练1.(2016通州一模)如图 1-10-47,在 ABC中, AC=BC, BD AC于点 D,在 ABC外作 CAE= CBD,过点 C作 CE AE于点 E.如果 BCE =140,求 BAC的度数.图

5、1-10-47【解】 BD AC, CE AE, BDC= E=90. CAE= CBD, BDC AEC, BCD= ACE. BCE=140, BCD= ACE=70. AC=BC, BAC= ABC=55.2.(2016西城二模)如图 1-10-48,在 ABC中, D是 AB边上一点,且 DC=DB,点 E在 CD的延长线上,且 EBC= ACB求证: AC=EB图 1-10-48【证明】 DC=DB, DCB= DBC在 ACB和 EBC中, ACB EBC, AC=EB3.(2016东城二模)如图 1-10-49,已知 ABC=90,分别以 AB和 BC为边向外作等边 ABD和等边

6、 BCE,连接 AE, CD.求证: AE=CD.5图 1-10-49【证明】 如图 1-10-49, ABD和 BCE为等边三角形, ABD= CBE=60, BA=BD, BC=BE, ABD+ ABC= CBE+ ABC,即 CBD= ABE.在 CBD和 EBA中, CBD EBA(SAS), AE=CD.4.(2016海淀二模)如图 1-10-50,在 ABC中, ACB=90,点 D在 BC上,且 BD=AC,过点 D作 DE AB于点 E,过点 B作 CB的垂线,交 DE的延长线于点 F求证: AB=DF图 1-10-50【证明】 如图 1-10-51.图 1-10-51 BF

7、BC, DE AB, ACB=90, DBF= BEF= ACB=90, 1+2=90,2+ F=90. 1= F.在 ABC和 DFB中, ABC DFB, AB=DF.5.如图 1-10-52,在 MNQ中, MQ NQ6图 1-10-52(1)请你以 MN为一边,在 MN的同侧构造一个与 MNQ全等的三角形,画出图形,并简要说明构造的方法;(2)参考(1)中构造全等三角形的方法解决下面问题:如图 1-10-53,在四边形 ABCD中, ACB+ CAD=180, B= D求证: CD=AB图 1-10-53(1)【解】 如图 1-10-54,过点 N在 MN的同侧作 MNR= QMN,在

8、 NR上截取 NP=MQ,连接 MP,则 MNP即为所求 图 1-10-54(2)【证明】 如图 1-10-54,延长 BC到点 E,使 CE=AD,连接 AE ACB+ CAD=180, ACB+ ACE=180, CAD= ACE又 AD=CE, AC=CA, ACD CAE D= E, CD=AE B= D, B= E, AE=AB, CD=AB6.(2014河南)(1)问题发现如图 1-10-55, ACB和 DCE均为等边三角形,点 A, D, E在同一直线上,连接 BE.填空: AEB的度数为 ;7图 1-10-55线段 AD,BE之间的数量关系是 (2)拓展探究如图 1-10-5

9、6, ACB和 DCE均为等腰直角三角形, ACB= DCE=90,点 A, D, E在同一直线上, CM为 DCE中 DE边上的高,连接 BE请判断 AEB的度数及线段 CM, AE, BE之间的数量关系,并说明理由图 1-10-56(3)解决问题如图 1-10-57,在正方形 ABCD中, CD=若点 P满足 PD=1,且 BPD=90,请直接写出点A到 BP的距离图 1-10-57【解】 (1)60; AD=BE.(2) AEB90; AE=2CM+BE.【理由】 ACB和 DCE均为等腰直角三角形, ACB= DCE=90, AC=BC,CD=CE. ACB DCB= DCE DCB,

10、即 ACD= BCE, ACD BCE. AD=BE, BEC= ADC=135. AEB= BEC CED=13545=908在等腰直角三角形 DCE中, CM为斜边 DE上的高, CM=DM=ME, DE=2CM. AE=DE+AD=2CM+BE.(3)或.【提示】 PD=1, BPD=90, BP是以点 D为圆心,以 1为半径的 D的切线,点 P为切点第一种情况:如图 1-10-58,过点 A作 AP的垂线,交 BP于点 P,过点 A作 AM BP交 BP于 点 M.可证 APD AP B,PD=P B=1. CD=, BD=2,BP=, AM=PP=( PB BP)=.图 1-10-58 第二种情况如图 1-10-59,可得 AM=PP=( PB+BP)=.图 1-10-59真题演练1.如图 1-10-60,已知 D是 AC上一点, AB=DA, DE AB, B= DAE.求证: BC=AE.图 1-10-60【证明】 DE AB, CAB= ADE.在 ABC与 DAE中,9 ABC DAE(ASA), BC=AE.2.如图 1-10-61,已知点 E, A, C在同一条直线上, AB CD,AB=CE,AC=CD.求证: BC ED.图 1-10-61【证明】 AB CD, BAC= ECD.在 BAC和 ECD中, BAC ECD(SAS), CB=ED

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