1、1鲁教版中考数学三角形分类训练三（全等三角形）常见的全等三角形：(1)平移型(如图 1-10-32)：图 1-10-32(2)翻折型(如图 1-10-33)：图 1-10-33(3)旋转型(如图 1-10-34)：图 1-10-34(4)复合型(如图 1-10-35)：图 1-10-35典例诠释：考点一 三角形全等及其应用例 1 如图 1-10-41，已知 E是 BC的中点，点 A在 DE上，且 BAE= CDE求证： AB=CD.2图 1-10-41 【证明】 如图 1-10-42,延长 DE到 F，使 EF=DE，连接 BF. E是 BC的中点， BE=CE.图 1-10-42 在 BEF
2、和 CED中， BEF CED F= CDE， BF=CD BAE= CDE， BAE= F, AB=BF.又 BF=CD， AB=CD【名师点评】 此题要证明 AB=CD，不能通过证明 ABE和 CED全等得到，因为根据已知条件无法证明它们全等，那么可以利用等腰三角形的性质来解题，为此必须把 AB和 CD通过作辅助线转化到一个等腰三角形中例 2 (2016石景山一模)如图 1-10-43，已知 AD=AE，请你添加一个条件 ，使得 ADC AEB.图 1-10-4【答案】 C= B或 AC=AB等(答案不唯一)【名师点评】 此题考查两个三 角形全等的条件，此题答案不唯一.3例 3 (2016
3、顺义一模)如图 1-10-44，已知 B， A， E在同一直线上， AC BD且AC=BE， ABC= D求证： AB=AD图 1-10-44【证明】 AC BD， BAC= DBE在 ABC和 BDE中， ABC BDE(AAS)， AB=BD考点二 尺规 作图例 4 (2016房山二模)阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图： 已知：Rt ABC， C=90(如图 1-10-45)图 1-10-45求作：Rt DEF，使 DFE=90， DE=AB， FE = CB小芸的作图步骤如下：如图 1-10-46,图 1-10-46(1)作线段 FE=CB；(2)过点 F作 GF F
4、E于点 F；(3)以点 E为圆心, AB的长为半径作弧，交射线 FG于点 D，连接 DE.所以 DEF即为所求作的直角三角形4老师说：“小芸的作图步骤正确，且可以得到 DF=AC”请回答：得到 DF=AC的依据是 【答案】 全等三角形的对应边相等【名师点评】 此题考查两个直角三角形全等的判定定理(HL)，学生要能通过阅读作图步骤，找到哪些是已知条件 ，从而找到两个三角形全等的依据.基础精练1.(2016通州一模)如图 1-10-47，在 ABC中， AC=BC， BD AC于点 D，在 ABC外作 CAE= CBD，过点 C作 CE AE于点 E.如果 BCE =140，求 BAC的度数.图
5、1-10-47【解】 BD AC， CE AE， BDC= E=90. CAE= CBD， BDC AEC， BCD= ACE. BCE=140， BCD= ACE=70. AC=BC， BAC= ABC=55.2.(2016西城二模)如图 1-10-48，在 ABC中， D是 AB边上一点，且 DC=DB,点 E在 CD的延长线上，且 EBC= ACB求证： AC=EB图 1-10-48【证明】 DC=DB， DCB= DBC在 ACB和 EBC中， ACB EBC， AC=EB3.(2016东城二模)如图 1-10-49，已知 ABC=90，分别以 AB和 BC为边向外作等边 ABD和等边
6、 BCE，连接 AE， CD.求证： AE=CD.5图 1-10-49【证明】 如图 1-10-49， ABD和 BCE为等边三角形， ABD= CBE=60， BA=BD， BC=BE, ABD+ ABC= CBE+ ABC，即 CBD= ABE.在 CBD和 EBA中， CBD EBA(SAS)， AE=CD.4.(2016海淀二模)如图 1-10-50，在 ABC中， ACB=90，点 D在 BC上，且 BD=AC，过点 D作 DE AB于点 E，过点 B作 CB的垂线，交 DE的延长线于点 F求证： AB=DF图 1-10-50【证明】 如图 1-10-51.图 1-10-51 BF
7、BC， DE AB， ACB=90， DBF= BEF= ACB=90, 1+2=90，2+ F=90. 1= F.在 ABC和 DFB中， ABC DFB， AB=DF.5.如图 1-10-52，在 MNQ中， MQ NQ6图 1-10-52(1)请你以 MN为一边，在 MN的同侧构造一个与 MNQ全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法；(2)参考(1)中构造全等三角形的方法解决下面问题：如图 1-10-53，在四边形 ABCD中， ACB+ CAD=180， B= D求证： CD=AB图 1-10-53(1)【解】 如图 1-10-54,过点 N在 MN的同侧作 MNR= QMN，在
8、 NR上截取 NP=MQ，连接 MP，则 MNP即为所求 图 1-10-54(2)【证明】 如图 1-10-54，延长 BC到点 E，使 CE=AD，连接 AE ACB+ CAD=180， ACB+ ACE=180， CAD= ACE又 AD=CE， AC=CA， ACD CAE D= E， CD=AE B= D， B= E， AE=AB， CD=AB6.(2014河南)(1)问题发现如图 1-10-55， ACB和 DCE均为等边三角形，点 A， D， E在同一直线上，连接 BE.填空： AEB的度数为 ；7图 1-10-55线段 AD,BE之间的数量关系是 (2)拓展探究如图 1-10-5
9、6， ACB和 DCE均为等腰直角三角形， ACB= DCE=90,点 A， D， E在同一直线上， CM为 DCE中 DE边上的高，连接 BE请判断 AEB的度数及线段 CM， AE， BE之间的数量关系，并说明理由图 1-10-56(3)解决问题如图 1-10-57，在正方形 ABCD中， CD=若点 P满足 PD=1,且 BPD=90，请直接写出点A到 BP的距离图 1-10-57【解】 (1)60； AD=BE.(2) AEB90； AE=2CM+BE.【理由】 ACB和 DCE均为等腰直角三角形， ACB= DCE=90, AC=BC,CD=CE. ACB DCB= DCE DCB,
10、即 ACD= BCE， ACD BCE. AD=BE, BEC= ADC=135. AEB= BEC CED=13545=908在等腰直角三角形 DCE中， CM为斜边 DE上的高， CM=DM=ME, DE=2CM. AE=DE+AD=2CM+BE.(3)或.【提示】 PD=1， BPD=90, BP是以点 D为圆心，以 1为半径的 D的切线，点 P为切点第一种情况：如图 1-10-58，过点 A作 AP的垂线，交 BP于点 P，过点 A作 AM BP交 BP于 点 M.可证 APD AP B,PD=P B=1. CD=, BD=2,BP=, AM=PP=( PB BP)=.图 1-10-58 第二种情况如图 1-10-59，可得 AM=PP=( PB+BP)=.图 1-10-59真题演练1.如图 1-10-60，已知 D是 AC上一点， AB=DA， DE AB， B= DAE.求证： BC=AE.图 1-10-60【证明】 DE AB， CAB= ADE.在 ABC与 DAE中，9 ABC DAE(ASA)， BC=AE.2.如图 1-10-61，已知点 E， A， C在同一条直线上， AB CD,AB=CE,AC=CD.求证： BC ED.图 1-10-61【证明】 AB CD， BAC= ECD.在 BAC和 ECD中， BAC ECD(SAS)， CB=ED
