1、1. I I SOMMAIRE Page I AVANT-PROPOS . 1 II NF STATISTIQUE ET QUALITE TRAITEMENT STATISTIQUE DES DONNEES DUN INTERVALLE STATISTIQUE DE DISPERS1 ON y - DETERMI NATI ON A, - NORME FRANAISE HOMOLOGUE i3 8 8! O h EXEMPLES a POPULATION 3 PRESENTATION FORMELLE : TABLEAU I. Intervalle de dispersion unilatra
2、l, u connu. 4 4. METHODES NE SUPPOSANT PAS LA NORMALITE O u- 4 Y c U iI DE LA POPULATION . 10 PRESENTATION FORMELLE 10 I 0 cz II EXEMPLES 11 ANNEXES II - 4 TABLES STATISTIQUES ABAQUES A VA NT-PR OPOS drz LL -a quune fraction de la population au moins gale p soit infrieure : L, = i + k2(n, p, 1 - a)s
3、 = b) Intervalle unilatral a droite n II y a une probabilit 1 - a: quune fraction de la population au moins gale p soit suprieure : - Li = x - k,(n, p, 1 - a)s = NOTES (1) Un exemple numrique est donn page 9 (exemple no 3). (2) Les valeurs de k,(n, p, 1 -a) sont lues dans la table III pour diffrente
4、s valeurs de n et pour : p = 0.90 0.95 ; 0.99 1 -cy = 0,95 et 0,99 COPYRIGHT AFNOR Association Francaise De NormalisationLicensed by Information Handling ServicesAFNL NF XOb-032 73 LOL2372 0376388 Y85 H -7- NF X 06.032 TABLEAU 4 INTERVALLE STATISTIQUE DE DISPERSION BILATERAL (Variance inconnue) (1)
5、Caractristiques de la population tudie . . Caractristiques des individus prlevs . . Observations corriges ou limines Donnes statistiques Effectif de lchantillon : n= Somme des valeurs observes : zx = Somme des carrs des valeurs observes : 2x2 = Fraction de la population choisie pour lintervalle stat
6、istique de dispersion : P= I- 095 ; 0,99 I - 01 = 0,95 et 099 (3) Bien que ces limites soient symtriques par rapport i, il ne serait pas exact den dduire quau niveau de confiance (1 - a) une proportion au plus gale - -p de la popula- tion est infrieure L, et quune proportion au plus gale 1-P est sup
7、rieure L,. 3 2 COPYRIGHT AFNOR Association Francaise De NormalisationLicensed by Information Handling ServicesAFNL NF XOb-032 73 3012372 0376389 3LL -8- NF X 06032 3.3 EXEMPLES NUMRIQUES Les observations : La population considre tait constitue dun lot de 12000 bobines de fil de coton. On a prlev par
8、 tirage au hasard 12 de ces bobines, Sur chacune delles, une prouvette de 50 cm de fil a t dcoupe, environ 5 m de lextrmit libre. La forcede rupture a t mesure dans la rgion centrale de chacune de ces prouvettes, ce qui a fourni les n = 12 nombres suivants (exprims en cN) x = 228,6 232,7 2388 31 7,2
9、 31 5,8 2751 222,2 236,7 224,7 251 ,2 21 0,4 270,7 de moyenne i = 252,O cN. est pratiquement normale pour la fabrication considre. unilatral, variance inconnue). Des informations antrieures permettent dadmettre que la distribution des forces de rupture La prsentation formelle dtaille des calculs ne
10、sera faite que pour lexemple no 3 (intervalle Exemple no I - Intervalle statistique de dispersion unilatral, variance connue (tableau I) On suppose que des observations antrieures ont montr que, quelle que soit la moyenne rn dun lot, sa dispersion est la mme, caractristique du fournisseur, correspon
11、dant un cart- type (r = 35 cN. On veut calculer la limite Li telie quon puisse affirmer, avec un niveau de confiance 1 -01 = 0,95, que, pour une fraction du lot au moins gale p = 0,95, la force de rupture est suprieure Li. La table I donne : k,(12 ; 0,95 0,95) = 2,12 On trouverait naturellement une
12、limite Li plus faible si lon prenait un niveau de confiance plus lev (par exemple 1 -01 = 0,99) ou une fraction plus grande (par exemple, p = 0,99) ou les deux la fois. Exemple no 2 - Intervalle statistique de dispersion bilatral, variance connue (tableau 2) Dans les mmes conditions que dans lexempl
13、e no 1, on veut calculer les limites L, et L, telles quon puisse affirmer avec un niveau de confiance 1 - 01 = 0,95, le mme que dans lexemple no 1, que, pour une fraction du lot au moins gale p = 0,90, la force de rupture est comprise entre Li et i,. La table II donne : ki(12 ; 0,90 0,95) = 1,89 do
14、- Li = x - kl = 252,O - 1,89 x 35 L, = 185,8 CN + k; a = 252,O + I ,89 x 35 = 31 8,2 CN - I . COPYRIGHT AFNOR Association Francaise De NormalisationLicensed by Information Handling Services - AFNL NF XOb-032 73 m LO12372 0376390 033 m -9- NF X 06-032 II serait incorrect de dire que, en de de Li ne s
15、e trouve que 5 4; (au maximum) de la popu- On a vu, propos de lexemple no 1, que la limite en de de laquelle il ny a que 5 r;, au maximum de la population est Li = 177,8 CS (95 To au minimum de la population tant au-delh de Li = 1778 cS). lation et de mme au-del de i.,. Exemple n 3 - Intervalle stat
16、istique de dispersion unilatral, variance inconnue (tableau 3) On suppose maintenant que lcart-type de la population est inconnu et do3t tre estim h partir de lchantillon. On se donnera les mmes conditions que lorsque lcart-type est connu (exemple no 1) soit 1 - 3 = 095 et p = 0,95. La prsentation d
17、es rsultats est donne en dtail dans le tableau ci-aprs. Caractristiques de la population tudie de 12 O00 bobines. Le lot consiste en la fourniture de fil de coton (de telle qualit, de telle origine, reue le .) compose Caractristiques des individus prlevs 12 bobines ont t prises au hasard dans le lot
18、. Une prouvette de 50 cm de fil a tdcoupe sur chacune de ces bobines, environ 5 m de Iexfrmit libre. La force de rupture (exprime en GN) a t dtermine sur la partie centrale de ces prouvettes. Observations corriges ou limines : aucune. Donnes statistiques Effectif de lchantillon : n = 12 Somme des va
19、leurs observes : CX = 3 024,l Somme des carrs des valeurs observes : Xx.2 = 775 99609 Fraction de la population choisie pour Iinter- valle statistique de dispersion : Niveau de Confiance choisi : Coefficient : p = 0,95 l - CY = 0,95 k2(12 ; 0,95 ; 095) = 2,74 (valeur lue dans la table Ill) Calculs -
20、 775 99609 - (3 024,1)2/12 ?I - = 1 263,4 - s = VI 263,4 = 355 k2(12 ; 095 ; 0,95) x 35,s = 97,3 RESULTATS Au niveau de confiance 0,95, on peut affirmer quune fraction au moins gale 0,95 des forces de rupture du lot est suprieure : Li*= 2520 - 97,3 = 154,7 COPYRIGHT AFNOR Association Francaise De No
21、rmalisationLicensed by Information Handling ServicesAFNL NF XOb-O32 73 LO12372 037b391 T7T - 10 - NF X .06-032 On notera que la valeur de li est plus faible que dans lexemple no 1 (variance connue) parce que le caractre alatoire de s entrane une valeur plus leve du coefficient k (2,74 au lieu de 2,1
22、2), les valeurs de s = 355 et de u = 35 tant ici trs peu diffrentes. Exemple no 4 - Intervalle statistique de dispersion bilatral, variance inconnue (tableau 4) Dans les mmes conditions que dans lexemple no 3, on veut calculer les limites Li et I, telles quon puisse affirmer avec un niveau de confia
23、nce I -a = 0,95 que, pour une fraction du lot au moins gale p = 0,90, les forces de rupture sont comprises entre i, et i,. La table IV donne : ki(l2 ; 090 ; 095) = 266 do - Li = x - kis = 252,O - 2,66 x 35,s = 1576 CN i, = X + k$ = 252,O + 2,66 X 355 = 346,4 CN On notera que la valeur de Li est plus
24、 faible et la valeur de i, plus I et xM = 317,2 CK a) intervalles unilatraux (abaque I) Question I : Quelle relation existe-t-il entre la fraction minimale p de la population irif- rieure x, (suprieure x,) et le niveau de confiance 1 - 01 ? Pour n = 12, labaque I associe aux valeurs usuelles du nive
25、au de confiance 1 -a! les valeurs suivantes de p, fraction minimale de la population infrieure xhf (suprieure x,) : I - 01 OI5O 0,80 0,90 0,95 0,98 0,99 p = 0,94 0,88 0,83 0,78 0,72 0,68 1 -a et p varient en sens inverse lun de lautre. Question 2 : Quel serait le nombre minimal dobservations, n, pou
26、r avoir simultanment p = 0,95 et 1 - OL = 0,95 (valeurs retenues dans les exemples 1 et 3 des mthodes paramtriques)? Le point reprsentatif de ces conditions correspond sensiblement n = 60. Des tables numriques donnent effectivement n = 59, soit un nombre minimal dobservations nettement suprieur aux
27、12 actuellement disponibles. b) Intervalles bilatraux (abaque Il) Question-I : Quelle relation existe-t-il entre la fraction minimale p de la population Pour n = 12, labaque II associe aux valeurs usuelles du niveau de confiance 1 -(Y les comprise entre x, et x, et le niveau de Confiance I - OL ? va
28、leurs suivantes de p, fraction minimale de la population comprise entre x, et x, : 1 - 01 = 0,50 0,80 0,90 0,95 0,98 0,99 p = 0,86 0,77 0,71 0,66 0,60 0,56 1 -01 et p varient en sens inverse lun de lautre. Question 2 : Quel serait le nombre minimal dobservations, n, pour que, simultanment, p = 0,90
29、et 1 -OL = 0,95 (valeurs retenues dans les exemples 2 et 4 des mthodes param- triques) ? Le point reprsentatif de ces conditions se situe sensiblement gale distance de n = 40 et n = 50. Des tables numriques donnent effectivement n = 46, soit un nombre dobservations nettement suprieur aux 12 actuelle
30、ment disponibles. COPYRIGHT AFNOR Association Francaise De NormalisationLicensed by Information Handling ServicesAFNL NF XOb-O32 73 E LOI12372 0376393 842 - 12 - NF X W32 ANNEXE TABLES STATISTI Q UES ET ABAQUES TABLE I Intervalle statistique de dispersion unilatral (variance connue). Valeurs du coef
31、ficient k, (n, pt 1 - a)* TABLE TABLE I. Intervalle statistique de dispersion bilatral (variance connue). Valeurs du coefficient ki (ni p, 1 -a). II. Intervalle statistique de dispersion unilatral (variance inconnue). Valeurs du coefficient k, (ni pt 1 - a). TABLE IV. Intervalle statistique de dispe
32、rsion bilatral (variance inconnue). Valeurs du coefficient ki (n, pt 1 - a). ABAQUE I. Intervalle statistique de dispersion unilatral. ABAQUE II. Intervalle statistiquE de dispersion bilatral. COPYRIGHT AFNOR Association Francaise De NormalisationLicensed by Information Handling Servicesn 5 6 7 8 9
33、10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 24 26 28 30 35 40 45 50 60 70 80 90 1 O0 150 200 250 300 400 500 1 O03 Co AFN3 NF XOb-O32 73 m l1032372 0376374 789 - 13 - NF X 06-032 TABLE I INTERVALLE STATISTIQUE DE DISPERSION UNILATERAL rn inconnu, u connu - - x + kfo ou X-kio Valeurs du coefficient k,(nl p,
34、1 - a) p = 0,w 2,02 1195 1,90 1,86 1,83 1,80 1,78 2,76 1,74 1,72 I ,71 1,69 1,68 1,67 1,66 1,65 1,63 I ,62 1,60 1,59 I ,58 I ,56 1,54 1,53 1,49 1,48 1,47 I ,46 1,45 1,42 I ,40 1,39 I ,38 1,36 1,36 I ,33 1,28 1151 1 - a = 0.9s p = 0,95 2,38 2,32 2,27 2,23 2,19 2,17 2,14 2,12 2,l o 2,08 2,07 2,06 2904
35、 2,03 2,02 2,Ol 2,OO 1,98 I ,97 1,96 1.95 192 1,91 1,89 I ,88 1,86 I ,84 1,83 1,82 1,81 1,78 1176 1,75 1,74 1,73 1,72 1,70 1.64 p = 0,99 3 ,O6 3 ,O0 2,95 2,91 2,87 2,85 2,82 2,80 2,78 2,77 2.75 2,74 2,73 2,71 2,70 2,69 2,68 2,66 2,65 2,64 2,63 2,60 2,59 2,57 2,56 2.54 2,52 2,51 2,50 2,49 2,46 2944 2
36、,43 2,42 2,41 2,40 2,38 2,33 p = 0.90 232 2,23 2,16 2,l o 2,06 2,02 1,98 1,95 1,93 1,90 1,88 I ,86 1,85 1,83 1,82 1,80 I ,78 1,76 1,74 1,72 1,71 1,67 1,65 1,63 I ,61 1,58 1,56 1154 1,53 1,51 1147 1,45 1,43 1,42 1,40 1,39 1,36 1,28 I-Ly=0,99 p = 0.95 2,69 2,59 2,52 2,47 2,42 2,38 2,35 2,32 2,29 2,27
37、2,25 2,23 2,21 2,19 2,18 2,17 21 4 2,12 2,l o 2,08 2,07 2104 2,Ol 1,99 1,97 1,95 1,92 1,91 1,89 1,88 1,83 1,81 1,79 1,78 1,76 1,75 1,72 1,64 p = 0.99 3,37 3,28 3,21 335 3,l O 3906 303 3,00 2.97 2,95 2,93 2,91 2,89 2,87 2,86 2,85 2,82 2,80 2,78 2,77 2,75 2,72 2,69 2,67 2,66 2,63 2,60 2,59 2,57 2,56 2
38、,52 2,49 2,47 2846 2144 2,43 2840 2,33 COPYRIGHT AFNOR Association Francaise De NormalisationLicensed by Information Handling Services_ AFNL NF XOb-O32 73 LOX2372 0376395 bL5 W - 14 - NF X 06032 n 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 24 26 28 30 35 40 45 50 60 70 80 90 1 O0 150 200 250 300
39、400 500 1 O00 00 TABLE II INTERVALLE STATISTIQUE DE DISPERSION BILATERAL x k kiu rn inconnu, u connu - Valeurs du coefficient k;(n, p, 1 - 01) j = 0,90 2,16 2,09 2,04 2,oo 1,96 1,93 1,91 1,89 1,87 1,86 1,84 1,83 I ,82 1,8i 1,80 1,78 1,77 1,76 1,75. 1,75 1,73 1,72 1,71 1,80 . 1,71 I ,70 1,69 I ,68 i
40、,63 1,68 1,47 I ,66 1,66 1,66 I ,65 1,65 1,65 1,64 i - 01 = 0,95 2,52 2,45 2,40 2,35 2,31 2,28 2,26 2,24 2,22 2,20 2,19 2,17 2,16 2,15 2,14 2,13 2,12 .2,11 2,l o 2,09 2,08 2,06 2,05 2,04 2.03 2,02 2,Ol 2V.01 2,oo 2,OO 1,98 I ,98 1,97 1,97 1,97 1,97 .I ,96 1,96 p = 0.95 I p = 0,99 I j 3,20 333 3,07 3
41、,O 2,98 2,95 2,93 2,90 2,88 2,86 2.85 2,83 2,82 2,81 2,80 2,79 2,77 2,76 2,74 2,73 2,72 2,71 2,69 2,68 2,67 2,65 2,64 2,63 2,63 2,62 2,61 2,60 2,60 2,59 2,59 239 2,58 258 p = 0,90 2844 2,34 2,26 2,20 2,15 2,11 2,07 2,04 2,02 1,99 1,97 I ,95 I ,94 1,92 1,91 1,90 1,88 1,86 1.84 1,83 1,82 1,79 1,78 1,7
42、6 I ,75 1,73 1,72 1,71 1,70 1,70 1,68 1,67 1,67 1,66 1,66 1,66 1,65 1,64 1 - LX = 0,99 p = 0.95 I p = 039 I 2,80 2,70 2,62 2,56 251 2,47 2,43 2,40 2,37 2,35 2,33 2,31 2,29 L27 2,26 2,25 2,22 2,20 2,19 2,17 2.1 6 2,13 2,11 2,l o 2,08 2,06 2,05 2,04 2,03 2,02 2,oo 1,99 1,99 1,98 1,98 1,97 1.96 1,96 3,
43、48 3,38 3,30 3,24 3,19 334 3,10 3,07 3 ,O4 3,02 3,00 2,98 2,96 2,94 2,93 2,91 2,89 2,87 2,85 2,83 2,82 2,79 2,76 2,74 2,73 2,71 2,69 2,68 2,67 2,66 2,63 2,62 2,61 2,60 2,60 239 2,5 2,58 COPYRIGHT AFNOR Association Francaise De NormalisationLicensed by Information Handling Servicesn 5 6 7 8 9 10 11 1
44、2 13 14 1s 16 17 18 19 20 22 24 26 28 30 35 40 45 50 60 70 80 90 1 O0 150 200 250 30G 400 500 1 O00 Co _ - AFN1 NF XOb-O32 73 1012372 037b39b 551 - 15 - NF X 06-032 TABLE 111 INTERVALLE STATISTIQUE DE DISPERSION U NILATERAL m, U inconnus Valeurs du coefficient k,(n, p, 1 - a) p = 0,90 3,41 3,01 2,76
45、 2,58 2,45 2,36 2,28 2,21 2,16 2,11 2,07 2,03 2,OO 1,97 1,95 1,93 1,89 1,85 1,82 1,80 I ,78 .I ,73 1,70 1,67 1,65 1,61 1,58 1,56 1,54 1,53 1,48 1,45 1,43 1,42 1,40 1,39 1,35 1,28 1 - (Y = 0.95 p = 0,95 4,21 3,71 3,40 3,19 3,03 2,91 2,82 2,74 2,67 2,61 2,57 2,52 . 2149 2,45 2,42 2,40 2,35 2,31 2,27 2
46、,24 2,22 2,17 2,13 2,09 2,07 2,02 1,99 1,97 1,94 1,93 I ,87 1,84 1,81 1,80 1,78 1,76 1,73 1,64 p = 0,99 5,75 5,07 4,64 4,36 4,14 3,98 3,85 3,75 3,66 3,59 3,52 3,46 3,41 3,37 3,33 3,30 3,23 3,18 333 3,09 3,06 2,99 2,94 2,90 2,86 2,81 2,77 2,73 2,71 2,68 2,62 2,57 2,52 2,49 2,48 2.43 2,33 2,54 . p = 0
47、,90 4,41 3,86 3,50 3,24 3 ,O5 2,90 2,77 2,68 2,59 2,52 2,46 2,41 2,36 2,32 2,28 2,21 2,15 2,l o 2,06 2,03 1,96 1,90 1,86 1,82 1,76 I ,72 1,69 1,66 1,64 1,57 1,52 1 ,SO 1,48 1,45 1,43 I ,38 1,28 1 - (Y = 0,99 p = 0,95 5,41 4,73 4,29 3,97 3,74 3,56 3,41 3.29 3.1 9 3,IO 3 ,O3 2,96 2,91 2,86 2,81 2,73 2
48、,66 2,60 255 2,52 2,43 2,37 2,31 2,27 2,20 2,15 2,11 2,08 +O6 1,97 1,92 1,89 1,87 1,84 1,81 I ,76 1,64 7,33 6,41 5,81 . 5,39 5,08 4,83 4,63 4,47 4,34 4,22 432 4,04 3,96 3,89 3,83 3,73 3,64 3,56 3,50 3,45 3.33 3,25 3,18 332 3,04 2,98 2,93 2,89 2-85 2,74 2,68 2,64 2,61 2,57 2,54 2,47 2,33 COPYRIGHT AFNOR Association Francaise De NormalisationLicensed by Information Handling ServicesAFNL NF XOb-O32 73 W 1012372 0376397 498 W NF X 06.032 n 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18. 19 20 22 24 26 28 30 35 40 45 50 60 70 80 90 I O0 150 200 250 300 400 500
