1、AFNL NF XOb-O70 90 m 3032372 0376845 bT4 m ISSN 0335-3931 NF X 06-070 Dcembre 1990 i Application de la statistique Comparaison de deux proportions E : Application of statistic - Comparison of two proportions D : Anwendung der Statistik-Vergleich von zwei Proportionen Norme franaise homologue par dci
2、sion du Directeur Gnrai de Iafnor le 20 novembre 1990 pour prendre effet le 20 dcembre 1990. O correspondance la date de publication de la prsente norme, il existe des travaux internatio- naux traitant du mme sujet. analyse La prsente norme porte sur lexcution et linterprtation des calculs de la com
3、paraison de deux proportions. 1 descripteurs Thsaurus International Technique : statistique, analyse statistique, propor- tion, comparaison. m od if cat ions correct ions O editee et diffuse par lassociation franaise de normalisation afnor), tour europe cedex 7 92049 paris la dfense- tl. : (1) 42 91
4、 55 55 afnor 1990 O afnor 1990 lertirage 90-12 COPYRIGHT AFNOR Association Francaise De NormalisationLicensed by Information Handling ServicesAFNL NF XOb-070 90 W LOL2372 0376846 530 W Mthodes statistiques AFNORX06E Membres de la commission de normalisation charge de llaboration de la prsente norme
5、Prsident : M BRUNSCHWIG Secrtaire : MME DEL CERRO-AFNOR M BRUNSCHWIG Conseil Gnral des PONTS Cp, c2 + 1, ., XM) (x, xm + 1, ., c) II (c, c + 1, .I XM) III o : x, = max (O, r- rn) et xM = min (r,n) c, et c2, ou c, sont dtermins notamment par le niveau de signification a du test. c1 et c2 du cas I son
6、t deux entiers tels que, si Ho est vraie : P(X- ou b(c + r) a si - F2=(a+I)(d+s+1) n - dans le cas II : FI dfini comme dans le cas - dans le cas III : F2 dfini comme dans le cas I. Lhypothse nulle est rejete si - dans le cas I : FI 2 FI -ui/2 ( 2b + 2, 2a) ou F2 2 FI - ui/2 (2a + 2, 2b) - dans le ca
7、s II : FI 2 FI -a (2b + 2, 2a) - dans le cas III : F2 2 i, -u (2a + 2, 2b) C - 3-(c + l)(b + n + ) n m ou ac F- Si- c(b + n) 4-(a+1)(d+m+) - dans le cas II : F3 dfini comme dans le cas I - dans le cas III : F4 dfini comme dans le cas I. Lhypothse nulle est rejete si : - dans le cas I : F3 2 FI -, (2
8、c + 2, 2a) ou F4 2 FI - , (2a + 2, 2c) - dans le cas II : F3 2 FI -a (2c + 2, 2a) - dans le cas III : F4 2 F, -a (2a + 2, 2c) NF X 06-070 FI - u/, (VIV,) FI - CL (V1.V,) et sont les fractiles de la loi de F (voir annexe A) 4.3 Approximation normale Cette mthode peut tre applique si tous les totaux m
9、arginaux n, rn, r, n + rn - rsont plus grands que (n + mY4. Toutefois, lorsque cette condition nest pas ralise, lapproximation normale peut aussi tre utilise lorsque les totaux marginaux n et m, ou ret (n + m - r), sont du mme ordre de grandeur : on vite ainsi les interpolations dans les tables de F
10、 qui sont gnralement ncessaires avec lapproximation binomiale. La statistique du test est calcule de la faon suivante laide des donnes du tableau initial (voir chapitre 2) : (x - 1/2)(n + m) - nr XY O - cas i : = Si- nmr (n + m - r)/(n + rn) n rn ou nr - (x + 1/21 (n + m) XY u, = si-c- +mr (n + rn -
11、 r)/(n + m) “ rn - cas II : U, dfini comme dans le cas I - cas III : U, dfini comme dans le cas I. Lhypothse nulle est rejete si : - dans le cas I : U, 2 u1 - - dans le cas II : U, 2 u1 -a - dans le cas III : U, 2 u, -cl Les nombres u1 -CL et u1 -, sont les fractiles de la loi normale rduite (voir a
12、nnexe B). ou U, 2 u1 - d2 o Y COPYRIGHT AFNOR Association Francaise De NormalisationLicensed by Information Handling ServicesAFNL NF XOb-070 90 w LOL2372 0376852 834 NF X 06-070 -8- 5 RISQUE DE Ze ESPECE Le risque de 2e espce est la probabilit daccepter lhypothse nulle quand celle-ci est fausse. Cet
13、te probabilit dpend de lhypothse alternative considre et aussi de leffectif des chantillons. Les deux problmes qui se posent dans la pratique peuvent snoncer comme suit : a) Quels doivent tre les effectifs des chantillons pour avoir une probabilit au plus gale a une valeur donne daccepter lhypothse
14、nulle quand la ralit correspond une hypothse alternative donne, cest-dire un couple de proportions p1 et p2 ne satisfaisant pas Ho ? b) Les effectifs des deux chantillons tant donns, quelle est la probabilit daccepter lhypothse nulle si la ralit correspond une hypothse alternative donne, cest-dire u
15、n couple de proportions p1 et p2 ne satisfaisant pas Ho ? Les tables 1 et 2 du paragraphe 5.1 et la formule du paragraphe 5.2 rpondent la question a), tandis que la formule du paragraphe 5.3 rpond la question b). Ces tables et ces formules supposent que lon se trouve dans le cas unilatral II : H, :
16、Pl 5 PPI H, : Pl P2 le niveau de signification du test tant a (ou encore que lon se trouve dans le cas bilatral I, mais avec une restriction sur H, : Ho : Pl = P2 Hl : Pl PPI le niveau de signification du test bilatral tant alors 2 a). On notera que leffectif exig pour chacun des deux chantillons es
17、t le mme : n = rn. 5.1 Table des effectifs des chantillons Ces tables, dues Haseman 131, donnent pour divers couples, p1 et p2 (p1 p2) leffectif commun aux deux chantillons, n = rn, pour que le test unilatral de Ho : p1 5 p2 ait un risque de 2e espce donn (= 0,l ou 0,2 ou 0,5), sachant que a = 005 (
18、table 1) ou 0,Ol (table 2). a et dsignent ici les valeurs nominales des risques ; les valeurs relles sont infrieures ou gales aux valeurs nominales. COPYRIGHT AFNOR Association Francaise De NormalisationLicensed by Information Handling ServicesAFNL NF XOb-O70 90 = 3032372 0376853 770 = -9- 5 3 NF X
19、06-070 5 6 3 5 Table 1 - Effectif commun aux deux chantillons, n = m, pour obtenir un risque de espce donn, le test tant unilatral avec a = 0,05 Note : dans chaque case du tableau, le nombre suprieur correspond = 0,1, le nombre central = 0,2 et le nombre infrieur = 0,5. Par exemple , si p, = 0,9 et
20、p2 = 0,8, il faut n = m = 232 pour obtenir = 0,l ; n = m = 173 pour obtenir = 0,2 et seulement n = m = 87 pour obtenir = 0,5. COPYRIGHT AFNOR Association Francaise De NormalisationLicensed by Information Handling ServicesTable 2 - Effectif commun aux deux chantillons, n = rn, pour obtenir un risque
21、de 2e espce donn, le test tant unilatral avec a = 0,Ol Note : dans chaque case du tableau, le nombre suprieur correspond = 0,1, le nombre central = 0,2 et le nombre infrieur = 0,5. Par exemple, si p, = 0,9 et pi! = 0,8 il faut n = rn = 344 pour obtenir = 0,l ; n = rn = 269 pour obtenir = 0,2 et seul
22、ement n = rn = 155 pour obtenir = 0,5. COPYRIGHT AFNOR Association Francaise De NormalisationLicensed by Information Handling ServicesAFNL NF XOb-O70 90 m 3032372 0376855 543 m Modle A . Modle B Total NF X 06-070 - 11 - Avec panne Sans panne Total 8 6 14 38 5 43 46 11 57 5.2 Expression approche des
23、effectifs des chantillons Pour des valeurs de CI, p1 et p2 et du risque de 2e espce qui ne sont pas retenues dans les tables 1 et 2, la formule dapproximation suivante, due Fleiss, Tytun et Ury 41, peut tre utilise : 2 1. Pl - pz +/2 (p1 + P2)(91 + 92) + u1 - p I/- Pl - p2 n=m- o : g, = 1 - p1 et g,
24、 = 1 - p2. 5.3 Expression approche du risque de 2e espce Une expression approche du risque de 2e espce du test a t propose par Walters 151 en utilisant la transformation en arcsin. Si a est le niveau de signification du test unilatral de Ho : p1 I p2 ralis laide de deux chantillons de mme effectif n
25、, le risque de 2e espce du test correspondant un couple p1, pz o p1 pz est : 0 o : est la fonction de rpartition de la loi normale rduite, u1 -cl est le fractile dordre 1 - a de cette loi normale, et z = +i arcsin pl - (1/2n) - arcsin 4p2 - (1/2n) Cette approximation est trs prcise. 6 EXEMPLES 6.1 A
26、pproximation binomiale Dans une usine, il y a 14 machines dun modle A et 43 machines dun modle B. Ces machines O effectuent des travaux similaires et les tches sont rparties dune faon alatoire entre les deux modles. On considre pour ltude quelles constituent deux chantillons alatoires des deux types
27、 de machines correspondants. En un mois, 8 machines du modle A et 38 machines du modles B tombent en panne. On considre galement pour ltude que ce mois est une priode alatoire de la vie des machines. Est-il justifi de conclure que le modle A est plus fiable que le modle B ? On fera le test avec risq
28、ue de 1 re espce a = 0,05. COPYRIGHT AFNOR Association Francaise De NormalisationLicensed by Information Handling ServicesAFNL NF XOb-O70 90 W 1012372 037b85b 48T NF X 06-070 - 12 - 6.1.2 Supposons que p, soit la probabilit de panne pour le modle A et ps pour le modle B Lhypothse nulle est Ho : PI 2
29、 P2 , Hl ; Pl c Pp I et lhypothse alternative ce qui correspond au cas III. X 6.1.3 tant donn que - c 2,687, Ho est rejete et on conclut que p1 c ps au niveau de signification de 0,05, ou que le modle A de machine est plus fiable que le modle B. Remarque : la probabilit exacte PXI 5 ; 43, 14, 111 es
30、t gale 0,018 2 (voir lannexe C pour le dtail des calculs). 6.2 Approximation normale Un fabricant de produits alimentaires a demand une enqute auprs des consommateurs de haricots cuits et de pommes de terre frites. On a interrog cinq cents mnagres qui utilisent toutes les deux produits. Le fabricant
31、 voulait savoir si les mnagres qui utilisent rgulirement un de ces produits sont plus disposes que les autres utiliser galement lautre produit. On fera le test avec un risque de premire espce a = 0,05. COPYRIGHT AFNOR Association Francaise De NormalisationLicensed by Information Handling ServicesAFN
32、L NF XO6-O70 90 LO12372 0376857 316 I - 13 - Marque considre 6.2.1 Les donnes peuvent tre rsumes dans le tableau 2 x 2 suivant : O Autres marques NF X 06-070 376 Pommes de terre frites Marque considre Autres marques . 124 500 Total 170 I 71 I 241 206 I 53 I 259 II est prciser que les 241 et 259 cons
33、ommateurs utilisant des pommes de terre frites de la marque considre et des autres marques constituent les deux chantillons sur lesquels porte ltude. 6.2.2 Lhypothse nulle dindpendance peut tre formule comme o o : p1 et p2 sont les probabilits conditionnelles dutilisation de haricots cuits de la mar
34、que considre dans les cas o, respectivement, des pommes de terre frites de cette marque ou dautres marques sont utlises. Lhypothse alternative est : H, : P, f P2 ce qui correspond au cas I. 6.2.3 tant donn que x - x 170 206 -#- - n m (241 + z) on ne peut conclure immdiatement et lon passe ltape suiv
35、ante. 6.2.4 II y a un total marginal qui est un peu plus petit que le quart du total gnral (124 c 500/4), mais si on appliquait lapproximation binomiale, il serait ncessaire dinterpoler dans la table de F. tant donn que les totaux marginaux 241 et 259 sont presque gaux, lapproximation normale peut t
36、re utilise. a 6.2.5 Cas I : tant donn que on calcule x y 170 206 n m (241 259) - 1,96, Ho est rejete. On en conclut que la proprit consistant acheter ,a marque considre pour un produit et pour lautre est lune des proprits (dpendantes). Remarque : la probabilit exacte P X 5 53 ; 259, 241, 1241 est ga
37、le 0,013 O (voir annexe C pour le dtail des calculs). 6.3 Dtermination de leffectif des chantillons Le processus de fabrication dun produit industriel construit en grande srie inclut un rglage possible au stade final. Lexprience montre que cet ajustement nest ncessaire que pour 25 % seulement des un
38、its. En fait, deux lignes de production, A et B, sont concernes et elles semblent contribuer ingalement ce rsultat, A tant responsable dune proportion plus petite que B. On veut faire une comparaison par chantillonnage. Appelons pA et pB les proportions inconnues correspondant A et B. Lhypothse null
39、e sera pA 2 ps de sorte que le rejet confirmera la supposition ci-dessus. Pour a = 0,025 et pour un risque = 0,05 de ne pas rejeter lhypothse nulle (ou une puissance du test de 0,951 si pA = 20 % et pB= 30 %, combien faut-il prlever dunits dans chacune des lignes de production ? Lapplication de la f
40、ormule du paragraphe 5.2 avec p, = 1 - pA = 0,80 et ps = 1 - pB = 0,70 (de sorte que la condition p, p2 est satisfaite) donne : n= 1,960 O 41/2 (1,5)(0,5) + 1,644 9 d(0,16) + (0,211 l2 + 6 = 504,3 Of1 La valeur suivante peut tre adopte : est lgrement affect par cet arrondissage, mais la modification
41、 est acceptable : lapplication de la formule de 5.3 donne = 0,051. n = 500 7 BIBLIOGRAPHIE 111 I21 i31 i41 5 R.D. Boschloo,Raised conditional level of significance for the 2x2-table when testing the equality of two probabilities. Statist. Neerl. (1970) 24, 1 - 35. W. Molenaar, Approximations to the
42、Poisson, binomial and hypergeometric distribution func- tions (1970) Amsterdam, Math. Centrum. J.K. Haseman, Exact sample sizes for use with the Fisher-Irwin test for 2x2 tables. Biometrics (1978) 34, 106-109. J.L. Fleiss, A. Tytuin ;= C 8 a U N LL OB COPYRIGHT AFNOR Association Francaise De Normali
43、sationLicensed by Information Handling ServicesAFNL NF XOb-070 90 II LOL2372 037b8b2 783 NF X 06-070 - 18 - ANNEXE 8 (fait partie intgrante de la norme FRACTILES DE LA VARIABLE NORMALE RDUITE (1) Le fractile dordre p de la variable normale rduite U (loi normale de moyenne gale O et dcart-type gal 1
44、: loi symbolise N (Oll) est not up : cest la valeur de U telle que la probabilit que U soit au plus gal up est p. f(ul dsignant la fonction de rpartition de U: F(up) = Pr u up = p Pr U 2 up = I - p Lorsque p crot de O 1, up crot de - 00 + 00, u La table A.? permet dobtenir up en fonction de p ou de
45、1 - p. Pour p 0,50, on entre dans la table aux ligne et colonne correspondant 1 - p (colonne de droite, ligne infrieure). I_- Exemple : p = 0,653 up = 0,393 4 _ COPYRIGHT AFNOR Association Francaise De NormalisationLicensed by Information Handling ServicesAFNL NF XOb-O70 90 W 11032372 037bdb4 556 W
46、NF X 06-070 - 20 - Table A.2 - Probabilit p = Pr u 5 up correspondant une valeur donne du fractile up de la variable normale rduite U P 0.00 0,500 O 0,539 8 0,579 3 0,617 9 0,655 4 0,691 5 0,725 7 0,758 O 0,788 1 0,815 9 0,841 3 0,864 3 0,884 9 0,903 2 0,919 2 0,933 2 0,945 2 0,955 4 0,964 1 0,971 3
47、 0,977 2 0,982 1 0,986 1 0,989 3 0,991 8 0,993 8 0,995 3 0,996 5 0,997 4 0,998 1 0,998 65 0.01 0,504 O 0,543 8 0,583 2 0,621 7 0,659 1 0,695 O 0,729 O 0,761 1 0,791 O 0,818 6 0,843 8 0,866 5 0,886 9 0,904 9 0,920 7 0,934 5 0,946 3 0,956 4 0,964 9 0,971 9 0,977 9 0,982 6 0,986 4 0,989 6 0,992 O 0,994
48、 O 0,995 5 0,996 6 0,997 5 0,998 2 0,998 69 0.02 0,508 O 0,547 8 0,587 1 0,625 5 0,662 8 0,698 5 0,732 4 0,764 2 0,793 9 0,821 2 0,846 1 0,868 6 0,888 8 0,906 6 0,922 2 0,935 7 0,947 4 0,957 3 0,965 6 0,972 6 0,978 3 0,983 O 0,986 8 0,989 8 0,992 2 0,994 1 0,995 6 0,996 7 0,997 6 0,998 2 0,998 73 0,04 0,512 O 0,551 7 0,591 O 0,629 3 0,666 4 0,701 9 0,735 7 0,767 3 0,796 7 0,823 8 0,848
