1、VEREIN DEUTSCHERINGENIEUREWerkstoff- und BauteildmpfungModelle fr gedmpfte StrukturenDamping of materials and membersModels for damped structuresVDI 3830Blatt 4 / Part 4Ausg. deutsch/englischIssue German/EnglishVDI-Handbuch SchwingungstechnikVDI-RICHTLINIENZu beziehen durch / Available from Beuth Ve
2、rlag GmbH, 10772 Berlin Alle Rechte vorbehalten / All rights reserved Verein Deutscher Ingenieure, Dsseldorf 2005Die deutsche Version dieser Richtlinie ist verbindlich.ICS 17.160Mai 2005May 2005The German version of this guideline shall be taken as authorita-tive. No guarantee can be given with resp
3、ect to the English trans-lation.Inhalt SeiteVorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Grundlegendes Modell . . . . . . . . . . . . . 22 Strukturen mit endlich vielenFreiheitsgraden . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1 N-Parameter-Modell fr viskoelastischesMaterialverhalten . . . . . .
4、. . . . . . . . 72.2 2-Parameter-Modell nach Kelvin-Voigt, viskose Dmpfung . . . . . . . . . . . . . 122.3 Dmpfung mit vorgegebener Frequenz-abhngigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Zur Berechnung viskoelastischer Bauteilemit der Randelemente-Methode . . . . . . . . 17Schrifttumhrifttum. . .
5、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Contents PagePreliminary noteote . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Basic model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Structures with a finite number of. . . . . . . 7degrees of freedom2.1 N-parameter model for viscoelastic materialbehaviour. . . . . .
6、 . . . . . . . . . . . . . 72.2 2-parameter model according to Kelvin-Voigt,viscous damping . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Damping with given frequency-dependence. . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Calculation of viscoelastic components by the boundary element method . . . . . . . . . . . 1
7、7Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244VDI-Gesellschaft Entwicklung Konstruktion VertriebAusschuss Werkstoff- und BauteildmpfungFrhere Ausgabe: 04.03 Entwurf,deutschFormer edition: 04/03 draft, in German onlyB55EB1B3E14C22109E918E8EA43EDB30F09DCCB7EF86D9NormCD - Stand 2012-08All
8、rights reserved Verein Deutscher Ingenieure, Dsseldorf 20052 VDI 3830 Blatt 4 / Part 4Part 4VorbemerkungDas vorliegende Blatt 4 gilt nur in Verbindung mitBlatt 1 Einteilung und bersicht“ der RichtlinieVDI 3830.Die Richtlinie VDI 3830 Werkstoff- und Bauteil-dmpfung“ besteht aus folgenden einzelnen Bl
9、ttern:Blatt 1: Einteilung und bersichtBlatt 2: Dmpfung in festen WerkstoffenBlatt 3: Dmpfung von BaugruppenBlatt 4: Modelle fr gedmpfte StrukturenBlatt 5: Versuchstechniken zur Ermittlung von Dmp-fungskenngrenAlle Modelle geben die Wirklichkeit vereinfachendwieder. Sie mssen jedoch mindestens die fr
10、 einegestellte Aufgabe als wesentlich erachteten Eigen-schaften des Systems bercksichtigen. Es hngt so-mit von der Aufgabenstellung ab, welches Ersatzmo-dell am besten geeignet ist.Alle in den folgenden Abschnitten dargestellten Mo-delle enthalten als Nherung, dass die Verformungs-felder durch Reihe
11、nentwicklung mit endlich vielenVariablen approximiert werden. Bei den Modellen inAbschnitt 1 und Abschnitt 2 handelt es sich um dieVerformungsfelder in der gesamten Struktur, bei derRandelemente-Methode in Abschnitt 3 nur um dieVerformungen an der Oberflche.Der Schwinger mit einem Freiheitsgrad (Abs
12、chnitt 1)ist das einfachste Modell, gltig fr ein System, des-sen Bewegung als Starrkrperbewegung mit einereinzigen Koordinate beschrieben werden kann. ImAllgemeinen sind mehrere Freiheitsgrade ntig, weilKontinuumsschwingungen stattfinden. Die erforder-liche Anzahl von Freiheitsgraden hngt von der Au
13、f-gabenstellung ab.Alle im Folgenden dargestellten Modelle enthaltendie vereinfachende Annahme, dass lineare Dmpfungvorliegt. Die Annahme ist im konkreten Anwen-dungsfall zu berprfen.1 Grundlegendes ModellDer lineare Schwinger mit einem Freiheitsgrad istdas Standardmodell der Schwingungstechnik. Sei
14、nemomentane Lage wird durch eine Koordinate festge-legt. Er kann ein beliebiges (hier: technisch-physika-lisches) schwingungsfhiges System darstellen: me-chanischer, elektrischer, akustischer, fluidischerSchwinger.Eine mechanische Schwingung ist durch Austauschvon potenzieller und kinetischer Energi
15、e gekenn-zeichnet. Dmpfung ist Energiedissipation, fhrt alsozum Abklingen einer freien Schwingung und zurPhasenverschiebung zwischen Anregung und Ant-Preliminary note This Part of guideline VDI 3830 applies only in con-junction with Part 1 ”Classification and survey“.Guideline VDI 3830 ”Damping of m
16、aterials andmembers“ consists of the following separate parts:Part 1: Classification and surveyPart 2: Damping in solid materialsPart 3: Damping of assembliesPart 4: Models for damped structuresPart 5: Test methods for determining damping pa-rametersAll models present a simplified manner. They howev
17、erhave to take into account at least those properties of thesystem which are considered to be of fundamental im-portance to the problem under consideration. Which mo-del will be the most suitable therefore depends on theproblem formulation.All of the models presented in the following sectionsinclude
18、 as approximation the fact that the deforma-tion fields are approximated by series expansion witha finite number of variables. In the case of the modelsin Section 1 and Section 2 these are the deformationfields in the structure as a whole, while with theboundary element method in Section 3 only the
19、de-formations at the surface are concerned.The vibrating system with one degree of freedom(Section 1) is the simplest model, and is valid for asystem whose motion can be described as rigid-bodymotion with a single coordinate. In general, severaldegrees of freedom are required since continuum vi-brat
20、ions are present. How many degrees of freedomwill be required depends on the problem formulation.All of the models presented below assume, for thesake of simplification, that there is linear damping.This assumption should be checked in the concretecase of application.1 Basic model The linear system
21、with one degree of freedom is thestandard model in vibration engineering. Its actualposition is specified by one coordinate. It may repre-sent any (here: technical-physical) oscillatory sys-tem: mechanical, electrical, acoustic, or fluidic sys-tem.Mechanical vibration is characterized by the ex-chan
22、ge of potential and kinetic energy. Damping isdissipation of energy and therefore results in the de-cay of a free vibration and phase-shift between exci-tation and response (lagging, hysteresis) in the caseB55EB1B3E14C22109E918E8EA43EDB30F09DCCB7EF86D9NormCD - Stand 2012-08Alle Rechte vorbehalten Ve
23、rein Deutscher Ingenieure, Dsseldorf 2005 VDI 3830 Blatt 4 / Part 4latt 4 / P 3wort (Nacheilung, Hysterese) bei einer erzwungenenSchwingung. Daher ist der Schwinger mit einemFreiheitsgrad geeignet, Dmpfung zu charakterisie-ren. Dabei wird ein lineares oder linearisiertes Mo-dell verwendet.Der in Bil
24、d 1 dargestellte mechanische Lngs-schwinger dient als Beispiel. Seine Bewegungsglei-chung(1)beschreibt die Verschiebung u(t), die von der statischenRuhelage aus gezhlt ist, auf Grund der ErregerkraftF(t). Die Parameter sind:m Massek Federsteifigkeitd DmpfungskoeffizientFreie Schwingungen mit F(t) 0M
25、it der Eigenkreisfrequenz des ungedmpftenSchwingers0= (2)dem Dmpfungsgrad(3)der Eigenkreisfrequenz des gedmpften Schwin-gersd= 0(4)dem Abklingkoeffizienten = 0(5)und der Abkrzungd*= 0(6)ist der Zeitverlauf der Lsung fr den freien (autono-men) Schwinger bei den Anfangsbedingun-m duku F t()=+km-d2 km-
26、=d1 221Ft() 0of a forced vibration. For this reason the system withone degree of freedom is suitable for characterizingdamping. Here a linear or linearised model is used.Let the mechanical system shown in Figure 1 serveas an example. The differential equation of motion(1)describes the displacement u
27、(t) which is measured fromthe equilibrium position due to the excitation force F(t).The parameters are:m massk spring stiffnessd damping coefficientFree vibrations with F(t) 0With the natural angular frequency of the undampedsystem0= (2)the damping ratio(3)the natural angular frequency of the damped
28、systemd= 0(4)the decay coefficient = 0(5)and the abbreviationd*= 0(6)the variation in time of the solution for the free (autono-mous) vibrator (F(t) 0) with the initial conditionsm duku F t()=+km-d2 km-=d1 221Bild 1. Mechanischer Lngsschwinger Fig. 1. Mechanical system with translatory vibrationsB55
29、EB1B3E14C22109E918E8EA43EDB30F09DCCB7EF86D9NormCD - Stand 2012-08All rights reserved Verein Deutscher Ingenieure, Dsseldorf 20054 VDI 3830 Blatt 4 / Part 4I 3830 Blatt 4 / Pgen u(0) = u0und (0) = v0fru(t) = etu(t) = etsin(dt + ) (7)7)mit = undfr = 1:u(t) = e0tu0(1 + 0t) + v0t(8)fr 1:u(t) = et(9)Glei
30、chung (7) bis Gleichung (9) beschreiben die Ei-genschwingung des Modells. Bei fehlender Dmp-fung ist dies eine harmonische Schwingung mit derEigenkreisfrequenz 0und bei Dmpfung klingt dieSchwingung ab. Bei sehr starker Dmpfung 1weist der Zeitverlauf hchstens einen Nulldurchgangauf.Fr den in der Tech
31、nik wichtigsten Fall der schwa-chen Dmpfung T0= (10)aufeinander. Die Amplitudenabnahme wird durchdas logarithmische Dekrement gekennzeichnet, = ln = Td= 2 (11)Fr sehr kleine Dmpfung ist das logarithmi-sche Dekrement ungefhr proportional zum Dmp-fungsgrad 2 (12)Erzwungene Schwingungen mit F(t) 0Unter
32、 Einwirkung einer harmonischen ErregerkraftF(t) = cos(t)(13)folgt aus Gleichung (1) die harmonische Lsung(nachdem der Einschwingvorgang abgeklungen ist)u(t) = cos(t )(14)Dabei ist= (, )(15)u0 1: 1:u(t) = et(9)Equation (7) to Equation (9) describe the natural oscilla-tion of the model. In the absence
33、 of damping this is aharmonic vibration with the natural angular frequency0 whereas with damping the vibration decays. In thecase of very high damping where 1 the historycurve exhibits at most one passage through zero.As regards weak damping where T0= (10)The decrease in amplitude is described by th
34、e loga-rithmic decrement : = ln = Td= 2 (11)For very small damping the logarithmic decre-ment is roughly proportional to the damping ratio: 2 (12)Forced vibrations where F(t) 0If the system is excited by a harmonic excitation forceF(t) = cos(t)(13)the harmonic solution follows from Equation (1) (onc
35、ethe initial transient died out)u(t) = cos(t )(14)where= (, )(15)u0 1: 0 (77)beschreiben alsE( ) = E 1 + i( ) sgn (78)3) Infolge der Fourier-Transformation nach Gleichung (79) sind auchnegative Kreisfrequenzen 0 (77)described asE( ) = E 1 + i( ) sgn (78)3) Due to the Fourier transformation according
36、 to Equation (79) even nega-tive angular frequencies 0 will need to be taken into consideration.uuf0DMM 0K 00 MA1TA0TR E-B55EB1B3E14C22109E918E8EA43EDB30F09DCCB7EF86D9NormCD - Stand 2012-08All rights reserved Verein Deutscher Ingenieure, Dsseldorf 200516 VDI 3830 Blatt 4 / Part 4DI 3830 Blatt 4 / PF
37、r frequenzabhngige, beliebige Dmpfungskoeffi-zienten R( ) aus Messungen kann der Ansatz (78)ebenfalls verwendet werden, wobei allerdings dieVorstellung eines rheologischen Modells aufgegebenwerden muss und ( ) nicht mehr proportional zu ist. Gleichung (78) gilt nur im Frequenzbereich, alsofr fourier
38、transformierte Zustandsgren,U(i ) = eit dt (79)oder fr den eingeschwungenen Zustand harmoni-scher Bewegungu(t) = Re (eit)(80)Ein einfaches Beispiel: Das Materialgesetz (Glei-chung (78) wird in die fouriertransformierte Bewe-gungsgleichung (34) des dmpfungsfreien Stabele-mentes von Bild 3 einbezogen
39、und fhrt auf2M + K(1 i ( ) sgn ) U = F (81)Gleichung (81) lautet bei einer gedmpften Strukturmit verschiedenen Dmpfungsfaktoren der Matrix-elemente verallgemeinert2M + i D( ) sgn + K U = F (82)Dem Sonderfall konstanter, das heit frequenzunab-hngiger Verlustfaktoren ( ) = 0(Strukturdmp-fung) kommt in
40、 den Anwendungen4) groe Bedeu-tung zu. Er fhrt auf eine frequenzunabhngigeDmpfungsmatrix D in Gleichung (82). Damit giltbezglich der Entkopplung der Gleichung (82) durchKongruenztransformation mit der Modalmatrix des ungedmpften Problems alles in Abschnitt 2.2Geschriebene hier sinngem 13.4) etwa in
41、der Flatteranalysis oder als Modell der Werkstoffdmpfungvon Wellenstrngenu t()uThis Equation (78) can also be used for any frequency-dependent damping coefficients R( ) obtained frommeasurements. However, here it will be necessary toabandon the idea of a rheological model and ( ) willno longer be pr
42、oportional to . Equation (78) only ap-plies within the frequency range in other words, to Fou-rier-transformed state variablesU(i ) = eit dt (79)or to the steady state of a harmonic motion (80)u(t) = Re (eit)(80)A straightforward example: the constitutive law(Equation (78) is incorporated into the F
43、ourier-transformed Equation (34) of the damping-free barelement in Figure 3, thus producing2M + K(1 i ( ) sgn ) U = F (81)In the case of a damped structure with various dam-ping factors of the matrix elements, Equation (81)may be expressed in generalized terms as 2M + i D( ) sgn + K U = F (82)In the
44、 applications4)great importance is attached to thespecial case of constant in other words, frequency-in-dependent loss factors ( ) = 0(structural dam-ping). It results in a frequency-independent dampingmatrix D in Equation (82). This means that as regardsthe decoupling of Equation (82) by congruence
45、 trans-formation with the modal matrix of the undampedproblem, everything written in Section 2.2 will alsoapply here mutatis mutandis 13.4) In flutter analysis, for example, or as a model of the material dam-ping in shaft linesu t()uBild 5. Frequenzabhngigkeit der Verlustfaktoren Fig. 5. Frequency d
46、ependence of the loss factorsB55EB1B3E14C22109E918E8EA43EDB30F09DCCB7EF86D9NormCD - Stand 2012-08Alle Rechte vorbehalten Verein Deutscher Ingenieure, Dsseldorf 2005 VDI 3830 Blatt 4 / Part 4Part 4 17Zur Berechnung transienten Systemverhaltens ist dieRcktransformation des fouriertransformierten Lage-
47、vektors U in Gleichung (82) vorzunehmen gemu(t) = (i ) eitd (83)Wird Strukturdmpfung auf diese Weise beschrieben,treten in der Lsung allerdings kleine nichtkausaleAnteile auf 5; 6.Zur Berechnung des eingeschwungenen Zustandesbei harmonischer Erregung fhrt Gleichung (82) mitdem Ansatz (80) auf den ko
48、mplexen Verschiebungs-vektor= (2M + iD( ) sgn + K)1(84)Einzelheiten zur Lsung und insbesondere zu Fre-quenzgangdarstellungen sind z.B. in 10; 13 angege-ben.Die Zusammenstellung der Verlustfaktoren mit denzugehrigen modellmigen Frequenzabhngigkei-ten zeigt Bild 5.3 Zur Berechnung viskoelastischer Bauteile mit der Randelemente-MethodeZur Berechnung insbesondere rumlicher Span-nungs- und Verschiebungsfelder kompakter Bauteilewird vermehrt die Randelemente-Methode (BEM)einges
