1、ICS 21.020 VDI-RICHTLINIEN November 2014 VEREIN DEUTSCHER INGENIEURE Methoden der Zuverlssigkeit Zustandsflussgraphen Reliability methodology State flow graphs VDI 4008 Blatt 5 / Part 5 Ausg. deutsch/englisch Issue German/English Die deutsche Version dieser Richtlinie ist verbindlich. The German ver
2、sion of this standard shall be taken as authori-tative. No guarantee can be given with respect to the English translation. VDI-Gesellschaft Produkt- und Prozessgestaltung (GPP) Fachbereich Zuverlssigkeit VDI-Handbuch Zuverlssigkeit Vervielfltigungauch fr innerbetrieblicheZweckenichtgestattet/Reprodu
3、ction even for internalusenotpermittedFrhereAusgaben:07.86;06.12Entwurf,deutschFormereditions:07/86;06/12Draft,inGerman onlyZu beziehen durch/ AvailableatBeuthVerlagGmbH,10772 Berlin AlleRechtevorbehalten/ All rightsreservedVereinDeutscherIngenieuree.V.,Dsseldorf2014Inhalt Seite Contents Page Vorbem
4、erkung . 2 Einleitung 2 1 Anwendungsbereich 2 2 Normative Verweise . 3 3 Begriffe . 3 4 Formelzeichen und Indizes . 4 5 Grundlagen. 5 5.1 Arten von Knoten in einem Flussgraphen 5 5.2 Arten von Rckkopplungen in einem Flussgraphen 6 5.3 Arten von Kanten in einem Flussgraphen 7 6 Reduktion eines Flussg
5、raphen . 7 7 Diskussion von Markovketten . 9 7.1 Inhomogene Markovketten 9 7.2 Homogene Markovketten 13 7.3 Homogene Markovketten in inhomogener Prozessdarstellung . 16 7.4 Weitere Magren homogener Markovketten . 17 8 Diskussion von Markovprozessen 20 8.1 Ermittlung einer Aufenthaltswahrscheinlichke
6、it . 20 8.2 Nherungsweise Ermittlung einer Aufenthaltswahrscheinlichkeit . 24 8.3 Ermittlung einer Ausfallwahrscheinlichkeit . 25 8.4 Ermittlung der MTBF 25 8.5 Ermittlung der MTTF . 27 Anhang A Elementare Reduktionsregeln 29 Anhang B Erluterungen zur Masonformel 31 Anhang C Flussgraphen eines Marko
7、vprozesses 32 Schrifttum 32 Preliminary note 2 Introduction . 2 1 Scope 2 2 Normative references 3 3 Terms and definitions 3 4 Symbols and indices . 4 5 Fundamentals. 5 5.1 Types of nodes in a flow graph 5 5.2 Types of feedback loops in flow graphs 6 5.3 Types of edges in flow graphs . 7 6 Reduction
8、 of a flow graph . 7 7 Discussion of Markov chains 9 7.1 Inhomogeneous Markov chains . 9 7.2 Homogeneous Markov chains 13 7.3 Homogeneous Markov chains in an inhomogeneous process diagram . 16 7.4 Additional parameters of homogeneous Markov chains . 17 8 Discussion of Markov processes 20 8.1 Determi
9、nation of a stationary probability . 20 8.2 Approximate determination of a state probability . 24 8.3 Determination of the failure probability 25 8.4 Determination of the MTBF . 25 8.5 Determination of the MTTF . 27 Annex A Elementary reduction rules 29 Annex B Explanation of Masons gain formula 31
10、Annex C Flow graph of a Markov process . 32 Bibliography 32 B55EB1B3E14C22109E918E8EA43EDB30F09DCBB7EF8FD9NormCD - Stand 2015-01 2 VDI 4008 Blatt 5 / Part 5 Alle Rechte vorbehalten Verein Deutscher Ingenieure e.V., Dsseldorf 2014 Vorbemerkung Der Inhalt dieser Richtlinie ist entstanden unter Beachtu
11、ng der Vorgaben und Empfehlungen der Richtlinie VDI 1000. Alle Rechte, insbesondere die des Nachdrucks, der Fotokopie, der elektronischen Verwendung und der bersetzung, jeweils auszugsweise oder vollstn-dig, sind vorbehalten. Die Nutzung dieser VDI-Richtlinie ist unter Wah-rung des Urheberrechts und
12、 unter Beachtung der Lizenzbedingungen (www.vdi.de/richtlinien), die in den VDI-Merkblttern geregelt sind, mglich. Allen, die ehrenamtlich an der Erarbeitung dieser VDI-Richtlinie mitgewirkt haben, sei gedankt. Eine Liste der aktuell verfgbaren Bltter dieser Richtlinienreihe ist im Internet abrufbar
13、 unter www.vdi.de/4008. Preliminary note The content of this standard has been developed in strict accordance with the requirements and rec-ommendations of the standard VDI 1000. All rights are reserved, including those of reprint-ing, reproduction (photocopying, micro copying), storage in data proc
14、essing systems and translation, either of the full text or of extracts. The use of this standard without infringement of copyright is permitted subject to the licensing con-ditions (www.vdi.de/richtlinien) specified in the VDI Notices. We wish to express our gratitude to all honorary contributors to
15、 this standard. A catalogue of all available parts of this series of standards can be accessed on the Internet at www.vdi.de/4008. Einleitung In dieser Richtlinie wird ein graphentheoretisches Verfahren zur Sicherheits- und Zuverlssigkeits-analyse vorgestellt, das zur Lsung diskreter Mar-kovprozesse
16、 dient, wie sie beispielsweise in der DIN EN 61165:2007-02 vorgestellt werden. Introduction This standard presents a method for safety and reliability analysis taken from graph theory that is used to find solutions to discrete Markov processes such as those presented in DIN EN 61165:2007-02, for exa
17、mple. 1 Anwendungsbereich Die Anwendung von Zustandsflussgraphen erlaubt die Optimierung einer rechnergesttzten numeri-schen Auswertung. Darber hinaus vereinfacht und erweitert sie die Berechnung, wenn eine analyti-sche Vorgehensweise bevorzugt wird. Die grafi-schen Verfahren basieren auf der Theori
18、e der line-aren Flussgraphen, die in vielen Bereichen der Technik auf lineare Netzwerke angewandt wird. Sie ist mit der Graphical Evaluation and Review Technique (GERT) verwandt. Ein Zustandsflussgraph geht aus den in der Zu-standsanalyse verwendeten Diagrammen hervor. Hierbei werden den bergangslin
19、ien und Zu-standsknoten Wahrscheinlichkeitsgren zugeord-net. Zusammen mit den Verknpfungsregeln fr Flussgraphen ergibt sich eine mathematisch voll-stndige Beschreibung des Zustandsnderungsmo-dells. Wie bei anderen grafischen Methoden der Zuverlssigkeit ist es somit auch in der Zu-standsanalyse mglic
20、h, relevante Zuverlssig-keitsmagren unmittelbar anhand der Struktur des grafischen Modells zu quantifizieren. Die Anwendung grafischer Verfahren bietet fol-gende Vorteile: Modellierung komplexer Systeme und Module in ihrer Gesamtheit 1 Scope The application of state flow graphs allows optimi-zation
21、of computer-based numerical analyses. Fur-thermore, their application expands the calculation and makes it less complicated in cases where an analytic procedure is preferred. The graphic meth-od is based on linear flow graph theory, which is applied to linear networks in many areas of tech-nology. I
22、t is related to the Graphical Evaluation and Review Technique (GERT). A state flow graph is derived from the diagrams used in state analysis. In this case, probabilities are assigned to the transitions and state nodes. Togeth-er with the connection rules for flow graphs, this results in a mathematic
23、ally complete description of the state change model. As in other graphic meth-ods for reliability analysis, it is therefore also pos-sible in state analysis to quantify the relevant relia-bility parameters directly based on the structure of the graphic model. The application of graphic methods offer
24、s the fol-lowing advantages: the ability to model complex systems and mod-ules in their entirety B55EB1B3E14C22109E918E8EA43EDB30F09DCBB7EF8FD9NormCD - Stand 2015-01All rights reserved Verein Deutscher Ingenieure e.V., Dsseldorf 2014 VDI 4008 Blatt 5 / Part 5 3 Anschaulichkeit und einfache Nachvollz
25、iehbar-keit der Rechenwege leichte Verfolgbarkeit des Einflusses einzelner Parameter Mglichkeit der Modellvereinfachung und die Einfhrung von Nherungen The calculation methods are clear and easy to understand. It is easy to trace the influence of individual parameters. the ability to simplify the mo
26、del and introduce approximations 2 Normative Verweise / Normative references Die folgenden zitierten Dokumente sind fr die Anwendung dieser Richtlinie erforderlich: / The following referenced documents are indis-pensable for the application of this standard: DIN EN 61165:2007-02 Anwendung des Markof
27、f-Verfahrens (IEC 61165:2006); Deutsche Fas-sung EN 61165:2006 (Application of Markov techniques (IEC 61165:2006); German version EN 61165:2006) VDI 4001 Blatt 2:2006-07 Terminologie der Zu-verlssigkeit (Reliability Terminology) VDI 4008 Blatt 1:1998-04 (Entwurf / Draft) Vo-raussetzungen und Anwendu
28、ngsschwerpunkte von Zuverlssigkeitsanalysen (Conditions and applicational preferences of reliability analyses) VDI 4008 Blatt 1:1986-05 Voraussetzungen und Anwendungsschwerpunkte von Zuverlssig-keitsanalysen (Conditions and applicational preferences of reliability analyses) VDI 4008 Blatt 8:1984-03
29、Erneuerungsprozesse (Renewal processes) VDI 4008 Blatt 9:1986-04 Mathematische Modelle fr Redundanz (Mathematical models of redun-dancy) 3 Begriffe Fr die Anwendung dieser Richtlinie gelten die Begriffe nach VDI 4001 Blatt 2 sowie die folgen-den Begriffe: Flussgraph Gerichteter Graph mit einer Kante
30、n- und Knoten-bewertung. Anmerkung: Siehe Bild 1. Bild 1. Elementarer Flussgraph mit der Kantenbe-wertung a1,2 von Knoten 1 nach 2. Kante Grafische Darstellung einer bewerteten Beziehung zwischen zwei Variablen beziehungsweise eine bewertete und gerichtete Verbindung zweier Kno-ten. Anmerkung 1: Jed
31、er Kante sind eine Richtung und ein Koef-fizient zugeordnet, z. B. eine bergangswahrscheinlichkeit oder bergangsrate. Anmerkung 2: In der Graphentheorie werden ebenfalls unbe-wertete oder ungerichtete Verbindungen als Kanten bezeichnet. Knoten Grafische Darstellung einer Unbekannten eines Gleichungs
32、systems. Anmerkung 1: In einem Flussgraphen wird ein Knoten durch einen Punkt dargestellt. 3 Terms and definitions For the purposes of this standard, the terms and definitions as per VDI 4001 Part 2 and the follow-ing terms and definitions apply: Flow graph Directed graph with weighted edges and nod
33、es. Note: See Figure 1. Figure 1. Elementary flow graph with an edge of weight a1,2 from node 1 to node 2 Edge Graphical representation of a weighted relationship between two variables or a weighted and directed connection between two nodes. Note 1: Every edge is assigned a direction and a coefficie
34、nt, for example a transition probability or a transition rate. Note 2: In graph theory, unweighted or undirected connec-tions are also referred to as edges. Node Graphical representation of an unknown in a sys-tem of equations. Note 1: In a flow graph, a node is represented by a point. B55EB1B3E14C2
35、2109E918E8EA43EDB30F09DCBB7EF8FD9NormCD - Stand 2015-01 4 VDI 4008 Blatt 5 / Part 5 Alle Rechte vorbehalten Verein Deutscher Ingenieure e.V., Dsseldorf 2014 Anmerkung 2: Die Variable, die einem Knoten zugeordnet wird, kann z. B. eine Wahrscheinlichkeitsgre sein. Anmerkung 3: In den in dieser Richtli
36、nie vorgestellten Mo-dellen gibt das Gleichungssystem die Zuverlssigkeitseigen-schaften der Betrachtungseinheit wieder. Note 2: The variable assigned to a node can be a probability variable, for example. Note 3: In the models presented in this standard, the system of equations models the reliability
37、 characteristics of the item. 4 Formelzeichen und Indizes Formelzeichen In dieser Richtlinie werden die nachfolgend aufge-fhrten Formelzeichen verwendet: Formel-zeichen Benennung A Matrix der bergangsraten im Markov-prozess Ag Ausgangsknoten B bergangsmatrix einer Markovkette D Determinante DlRestde
38、terminante zum Pfad l izDRestdeterminante, nachdem der Zustand i aus dem Flussgraphen entfernt wurde Eg Eingangsknoten F Ausfallwahrscheinlichkeit hirelative Eintrittshufigkeit des Zustands i hKrelative Eintrittshufigkeit fr die Zustandsklasse K I Einheitsmatrix k Ordnung eines Zyklus K Zustandsklas
39、se L Zyklus oder Schleife m Anzahl der Zustnde MTBF mittlere Dauer zwischen Ausfllen MTTF mittlere Dauer bis zum Ausfall NkIndex des Zyklus k-ter Ordnung p(0) Vektor der Anfangsbedingungen Pf Pfad piAufenthaltswahrscheinlichkeit im Zustand i pi,jbergangswahrscheinlichkeit von Zustand i nach Zustand
40、j s Laplacevariable Timittlere Aufenthaltsdauer im Zustand i TKmittlere Aufenthaltsdauer in der Zustandsklasse K U Nichtverfgbarkeit x Eingangsgre z Zustand istationre Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Zustand i 4 Symbols and indices Symbols The following symbols are used throughout this standard: Sy
41、mbol Term A matrix of the transition rates in the Markov process Ag output node B transition matrix of a Markov chain D determinant Dlresidual determinant for path l izDresidual determinant after state i has been removed from the flow graph Eg input node F failure probability hirelative frequency of
42、 occurrence of state i hKrelative frequency of occurrence for state class K I identity matrix k order of a cycle K state class L cycle or loop m number of states MTBF mean time between failures MTTF mean time to failure Nkindex of the cycle of order k p(0) vector of initial conditions Pf path piprob
43、ability of being in state i pi,jprobability of transition from state i to state j s Laplace variable Timean sojourn time in state i TKmean sojourn time in state class K U unavailability x input variable z state istationary probability of being in state i B55EB1B3E14C22109E918E8EA43EDB30F09DCBB7EF8FD
44、9NormCD - Stand 2015-01All rights reserved Verein Deutscher Ingenieure e.V., Dsseldorf 2014 VDI 4008 Blatt 5 / Part 5 5 Indizes In dieser Richtlinie werden die nachfolgend aufge-fhrten Indizes verwendet: i, j Zustandsindizes l Pfadindex n Zeitschrittindex allgemeiner Index Indices The following indi
45、ces are used throughout this standard: i, j state indices l path index n time step index general index 5 Grundlagen 5.1 Arten von Knoten in einem Flussgraphen Unabhngiger Knoten Ein unabhngiger Knoten (Quelle) hat ausschlie-lich wegfhrende Kanten. Sein Wert ist unabhngig von den restlichen Knoten de
46、s Flussgraphen, siehe Bild 2. Bild 2. Beispiel eines unabhngigen Knotens Abhngiger Knoten Ein abhngiger Knoten hat mindestens eine ein-mndende Kante. Sein Wert ist abhngig von min-destens einem anderen Knoten des Flussgraphen. Ein abhngiger Knoten, der ausschlielich einmn-dende Kanten besitzt (Senke
47、), ist eine Sonderform dieses Typs, siehe Bild 3. Bild 3. Beispiel einer Senke Kontributiver Knoten Ein kontributiver Knoten hat hchstens eine weg-fhrende und mindestens zwei einmndende Kan-ten, siehe Bild 4. 5 Fundamentals 5.1 Types of nodes in a flow graph Independent node An independent node (sou
48、rce) has only outgoing edges. Its weight is independent from the rest of the nodes in the flow graph, see Figure 2. Figure 2. Example of an independent node Dependent node A dependent node has at least one incoming edge. Its weight depends on at least one other node in the flow graph. A dependent no
49、de having only incom-ing edges (sink) is a special form of this type of node, see Figure 3. Figure 3. Example of a sink Contributive node A contributive node has at most one outgoing and at least two incoming edges, see Figure 4. B55EB1B3E14C22109E918E8EA43EDB30F09DCBB7EF8FD9NormCD - Stand 2015-01 6 VDI 4008 Blatt 5 / Part 5 Alle Rechte vorbehalten Verein Deutscher Ingenieure e.V., Dsseldorf 2014 Bild 4. Beispiel eines kontributiven Knotens Distributive
