1、1考查角度 1 古典概型与几何概型分类透析一 古典概型的应用例 1 有 5 个小球(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫 .从这 5 个小球中任取 2 个不同颜色的小球,则取出的 2 个小球中含有红色小球的概率为( ).A. B. C. D.45 35 25 15解析 选取 2 个小球的方法有红黄,红蓝,红绿,红紫,黄蓝,黄绿,黄紫,蓝绿,蓝紫,绿紫,共10 种,含有红色小球的选法有 4 种 .由古典概型公式,所求概率 P= = .故选 C.41025答案 C 方法技巧 古典概型中基本事件数的探求方法:(1)列举法 .(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求 .对于基本
2、事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法 .(3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化,抽象的题目具体化 .分类透析二 几何概型的应用例 2 设不等式组 所表示的区域为 M,函数 y=- 的图象与 xx-y 2 2,x+y -2 2,y 0 4-x2轴所围成的区域为 N,向 M 内随机投一个点,则该点落在 N 内的概率为( ).A. B. C. D. 4 8 162解析 如图,由题意知区域 M 为 ABC 及其内部,其面积为 S= 4 2 =8,12 2 2区域 N 为半圆及其内部(图中阴影部分),其面积为 S1= 22=2,12 所求概率 P= = .
3、28 4故选 A.2答案 A方法技巧 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法 .对于几何概型的计算,首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域(长度、面积、体积或时间),其次计算基本事件区域的几何度量和事件 A 区域的几何度量,最后计算 P(A).例 3 甲、乙两人约定 7:10 在某处会面,已知甲在 7:00 7:20 内某一时刻随机到达,乙在 7:057:20 内某一时刻随机到达,则甲至少需等待乙 5 分钟的概率是( ).A. B. C. D.18 14 38 58解析 建立直角坐标系,如图, x,y 分别表示甲,乙两人到达的时刻,则矩形中的点( x,y)表示甲,乙两人到达的时刻
4、,则甲至少等待乙 5 分钟应满足的条件是 y-x5,其构成的区域为图中阴影部分,则所求的概率为 P= = .故选 C.121515201538答案 C方法技巧 (1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时,应考虑使用几何概型求解 .(2)利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域 .(3)几何概型有两个特点:一是无限性,二是等可能性 .基本事件可以抽象为点,尽管这些点是无限的,但它们所占据的区域都是有限的,因此可用“比例解法”求解几何概型的概率 .1.(2018 年全国 卷,文 5 改编)从数字 1,2,3,4
5、 中任取两个不同数字组成两位数,则该两位数大于 32 的概率为( ).A. B. C. D.12 13 14 16解析 从数字 1,2,3,4 中任取两个不同数字组成的两位数有12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,共 12 个,每个结果出现的可能性是相同的,所以该3试验属于古典概型 .记事件 A 为“取出两个不同数字组成的两位数大于 32”,则 A 中包含34,41,42,43,共 4 个基本事件,根据古典概型概率公式,得 P(A)= = .故选 B.41213答案 B2.(2018 年全国 卷,文 5 改编)某单位电话总机室内有 2 部外线电话: T1和 T
6、2.在同一时间内, T1打入电话的概率是 0.4,T2打入电话的概率是 0.5,两部同时打入电话的概率是 0.2,则至少有一部电话打入的概率是( ).A.0.9 B.0.7 C.0.6 D.0.5解析 所求的概率为 0.4+0.5-0.2=0.7.故选 B.答案 B3.(2018 年全国 卷,理 10 改编)折纸艺术是我国古代留下来的宝贵民间艺术,具有很高的审美价值和应用价值 .右图是一个折纸图案,由一个正方形内切一个圆形,然后在四个顶点处分别嵌入半径为正方形边长一半的扇形 .向图中随机投入一个质点,则质点落在阴影部分的概率 P1与质点落在正方形内且圆形区域外的概率 P2的大小关系是( ).A
7、.P1P2 B.P1P2 C.P1=P2 D.不能确定解析 将正方形内圆形区域外的四个直角进行沿直角边重合组合,恰好得到的图形就是阴影部分图形,所以阴影部分区域的面积等于正方形内圆形区域外的面积,故 P1=P2.答案 C4.(2017 年全国 卷,理 2 改编)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案,它形象化地表达了阴阳轮转,相反相成是万物生成变化根源的哲理,展现了一种相互转化,相对统一的形式美 .按照太极图的构图方法,在平面直角坐标系中,圆 O 被 y=3sin x 的图象分割为两个对称 64的鱼形图案,其中小圆的半径均为 1,现在大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为( ).A. B
8、. C. D.13611811219解析 设大圆的半径为 R,函数 y=3sin x 的周期 T= =12,则 R= =6, 6 2 6 T2所以大圆的面积为 S1= R2=36,两个小圆的面积之和为 S2= 122=2,故所求概率 P= = .故选 B.236118答案 B5.(2016 年全国 卷,理 10 改编)已知单位圆有一条长为 的弦 AB,动点 P 在圆内,则使得2 2 的概率为 . APAB解析 如图,建立平面直角坐标系,设 A(-1,0),B(0,1),则 =(1,1),AB设点 P 的坐标为( x,y),x2+y21,则 =(x+1,y), =x+1+y2,故 x+y-10,
9、AP APAB则使得 2 的概率为 P= = .APABS阴影S圆 -24答案 -241.(2018 衡水三轮模拟)已知某厂产品的合格率为 0.8,现抽出 10 件产品检查,则下列说法正确的是( ).A.合格产品少于 8 件 B.合格产品多于 8 件C.合格产品正好是 8 件 D.合格产品可能是 8 件解析 因为某厂产品的合格率为 0.8,所以抽出 10 件产品检查,合格产品约为100.8=8 件,根据概率的意义,可得合格产品可能是 8 件,故选 D.答案 D52.(2018 陕西咸阳一模)在区间 -1,1上随机选取一个实数 x,则事件“2 x-10”的概率为( ).A. B. C. D.12
10、 34 23 14解析 由题意得,2 x-10,即 x ,由几何概型的概率公式可得事件“2 x-10”的概率为12P= = .故选 B.12-(-1)1-(-1)34答案 B3.(2018 广东惠州模拟)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种,则他们选择相同颜色运动服的概率为( ).A. B. C. D.13 12 23 34解析 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种有9 种不同的结果,分别为(红,红),(红,白),(红,蓝),(白,红),(白,白),(白,蓝),(蓝,红),(蓝,白),(蓝,蓝) .他们选择相同颜色运动
11、服有 3 种不同的结果,即(红,红),(白,白),(蓝,蓝),故他们选择相同颜色运动服的概率为 = ,故选 A.3913答案 A4.(2018 广东省高三一模)下图为射击使用的靶子,靶中最小的圆的半径为 1,靶中各圆的半径依次加 1,在靶中随机取一点,则此点取自黑色部分(7 环到 9 环)的概率是( ).A. B. C. D.320 325 325 20解析 根据圆的面积公式以及几何概型概率公式可得,此点取自黑色部分的概率是= .故选 A. 42- 12 102 320答案 A5.(2018 安徽马鞍山二模)从 2 名男生,3 名女生中选 3 人参加某活动,则男生甲和女生乙不同时参加该活动,且
12、既有男生又有女生参加活动的概率为( ).6A. B. C. D.31025 12 35解析 设 2 名男同学为 A1,A2(A1是男生甲),3 名女同学为 B1,B2,B3(B1是女生乙),则总的基本事件有 A1A2B1,A1A2B2,A1A2B3,A1B1B2,A1B1B3,A1B2B3,A2B1B2,A2B1B3,A2B2B3,B1B2B3,共 10 种可能,男生甲和女生乙不同时参加该活动,且既有男生又有女生参加活动有A1A2B2,A1A2B3,A1B2B3,A2B1B2,A2B1B3,A2B2B3,共 6 种方法 .所以由古典概型的公式得 P(A)= = .61035故选 D.答案 D6
13、.(2018 江西上饶二模)在 上随机取一个数 x,则 cos x 的值介于 与 之间的概率- 2, 2 12 32为( ).A. B. C. D.13 14 15 16解析 令 cos x ,- x ,- x - 或 x ,12 32 2 2 3 6 6 3 由几何概型的概率公式得 P= = .故选 A.2( 3- 6)2-(- 2)13答案 A7.(2018 山东省枣庄市二模)七巧板是我们祖先的一项创造,被誉为“东方魔板”,它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的 .如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形,在此正方形中
14、任取一点,则此点取自阴影部分的概率是( ).A. B. C. D.31638 14 18解析 如图,设 AB=4,则 OG=GH=FD=HI=IE= ,DE=2,2所以此 S 四边形 OGHI= =2,S 四边形 EDFI=21=2,2 2所以此点取自阴影部分的概率是 = .故选 C.2+244147答案 C8.(2018 大庆市二模)在古代,直角三角形中较短的直角边称为“勾”,较长的直角边称为“股”,斜边称为“弦” .三国时期吴国数学家赵爽用“弦图”(如图) 证明了勾股定理,证明方法叙述为:“按弦图,又可以勾股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以勾股之差自相乘为中黄实,加差实,亦成弦实 .”这里的
15、“实”可以理解为面积 .这个证明过程体现的是这样一个等量关系:“两条直角边的乘积是两个全等直角三角形的面积的和(朱实二 ),四个全等的直角三角形的面积的和(朱实四) 加上中间小正方形的面积(黄实) 等于大正方形的面积(弦实) .”若弦图中“弦实”为 16,“朱实一”为 2 ,现随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不3计),则其落入小正方形内的概率为( ).A.1- B. C. D.1-38 1- 32 32 32解析 弦图中“弦实”为 16,“朱实一”为 2 .3 大正方形的面积为 16,一个直角三角形的面积为 2 .3 小正方形的面积为 16-8 ,3 随机向弦图内投入一粒黄豆(大小忽略不计)
16、,则其落入小正方形内的概率为=1- .故选 D.16-8316 32答案 D9.(2018 河南安阳二模)若执行如图所示的程序框图,其中 rand0,1表示区间0,1上任意一个实数,则输出数对( x,y)的概率为( ).A. B.12 6C. D. 4 328解析 本题概率类型为几何概型,测度为面积 .所求概率为 = .故选 C.14 1211 4答案 C10.(2018 陕西高三联考)在由不等式组 所确定的三角形区域内随机取2x-y+14 0,x -3,y 2 一点,则该点到此三角形的三个顶点的距离均不小于 1 的概率是( ).A.9- B.9- C.1- D.1- 2 9 18解析 画出关
17、于 x,y 的不等式组 所构成的三角形区域,如图所示 .2x-y+14 0,x -3,y 2 ABC 的面积为 S1= 36=9, ABC 内的点到其三个顶点的距离不都大于 1 所构成的区域12的面积为 S2= ,12 该点到此三角形的三个顶点的距离都不小于 1 的概率为 P= =1- ,故选 D.9- 29 18答案 D11.(2018 河南高三一模)如图,在正六边形 ABCDEF 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( ).A.12B.25C.35D.5129解析 设正六边形的边长为 2,AC 与 BE 的交点为 G,易知 AB=2,BG=1,AG=CG= ,CD=2,3则所求的概率为
18、 = .故选 D.1213+23(2+4)3 512答案 D12.(2018 山西一模)某市 1 路公交车每日清晨 6:30 于始发站 A 站发出首班车,随后每隔 10分钟发出下一班车 .甲、乙两人某日早晨均需从 A 站搭乘该公交车上班,甲在 6:35-6:55 内随机到达 A 站候车,乙在 6:50-7:05 内随机到达 A 站候车,则他们能搭乘同一班公交车的概率是( ).A. B. C. D.16 14 13 512解析 建立如图所示的平面直角坐标系, x,y 分别表示甲、乙两人到达 A 站的时刻,则坐标系中每个点( x,y)可对应某日甲、乙两人到达车站时刻的可能性 .根据题意,甲、乙两人
19、到达 A 站的时刻的所有可能组成的可行域是图中粗线围成的矩形,其中两人可搭乘同一班公交车对应的区域为黑色区域,根据几何概型概率计算公式可知,所求概率为 = .故选510201516A.答案 A13.(2018 华南师大附中模拟)已知如图所示的矩形,长为 12,宽为 5,在矩形内随机地投掷1000 颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆为 600 颗,则可以估计阴影部分的面积为 .解析 由题意得 ,所以 S36 .S125 6001000答案 361014.(2018 江苏预测卷)在含甲、乙的 6 名学生中任选 2 人去执行一项任务,则甲被选中,乙没有被选中的概率为 . 解析 利用列举法可知在含甲、乙的
20、 6 名学生中任选 2 人有 15 种方法,其中甲被选中,乙没有被选中的方法有 4 种,则甲被选中,乙没有被选中的概率为 .415答案41515.(2018 绵阳南山中学模考)在一场比赛中,某篮球队的 11 名队员共有 9 名队员上场比赛,其得分的茎叶图如图所示,从上述得分超过 10 分的队员中任取 2 名,则这 2 名队员的得分之和超过 35 分的概率为 . 解析 从得分超过 10 分的队员中任取 2 名,一共有以下 10 种不同的取法:(12,14),(12,15),(12,20),(12,22),(14,15),(14,20),(14,22),(15,20),(15,22),(20,22).其中这2 名队员的得分之和超过 35 分的取法有以下 3 种:(14,22),(15,22),(20,22) .故所求概率P= .310答案310
