1、1考查角度 1 坐标系与参数方程分类透析一 方程互化与相交弦长问题例 1 (河北衡水中学 2018 届高三数学复习题)在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为( 为参数),以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 .x=3cos ,y=3+3sin (1)求圆 C 的普通方程;(2)直线 l 的极坐标方程是 2 sin =4 ,射线 OM:= 与圆 C 的交点为 P,与( - 6) 3 56直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长 .分析 (1)利用 cos2+ sin2= 1 消去 即可 .(2)先求出圆 C 的极坐标方程,再由直线 l 和圆 C 的极坐标方程得到 P,Q
2、两点的极径,它们的差的绝对值就是线段 PQ 的长 .解析 (1) 圆 C 的参数方程为 ( 为参数),又 cos2+ sin2= 1,x=3cos ,y=3+3sin 圆 C 的普通方程为 x2+(y-3)2=9.(2)化圆 C 的普通方程为极坐标方程得 = 6sin ,设 P( 1, 1),则由 得 =6sin , =56 1=3, 1=56.设 Q( 2, 2),则由 得2 sin( - 6)=4 3, =56 2=4,2=56. 1= 2,|PQ|=| 2- 1|=1.方法技巧 化曲线的参数方程为普通方程的方法有反解消参、平方消参等,注意消参后变量的取值范围 .化普通方程为极坐标方程,则
3、需利用关系式 x= cos ,y= sin 来转化 .在极坐标系中求线段的长度、图形的面积等问题时,注意观察几何对象隐含的特点(如三点共线等),从而得到解决问题的合理方法 .分类透析二 方程互化与参数几何意义的应用2例 2 (福建省三明市第一中学 2018 届高三适应性试题)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 (t 为参数),在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲x= 55t,y=9+255t线 C2的极坐标方程为 = 8sin .(1)求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程;(2)若曲线 C1与 C2交于 A,B 两点,点 P 的坐标为(0,9),求
4、+ .1|PA| 1|PB|分析 (1)消元法解出直线 C1的普通方程,利用直角坐标和极坐标的互化公式解出圆 C2的直角坐标方程 .(2)将直线 C1的参数方程代入圆 C2的直角坐标方程,并化简整理得关于 t 的一元二次方程,利用 |t|的几何意义求解问题 .解析 (1)由曲线 C2的极坐标方程为 = 8sin ,即 2=8 sin ,得 x2+y2=8y,故曲线 C2的直角坐标方程为 x2+(y-4)2=16.由曲线 C1的参数方程为 (t 为参数),可得 y-9=2x,即曲线 C1的普通方程x= 55t,y=9+255t为 2x-y+9=0.(2)显然点 P 在直线 C1上,又直线 C1的
5、参数方程为 (t 为参数),x= 55t,y=9+255t将其代入 x2+(y-4)2=16 中并化简,得 t2+4 t+9=0.5设点 A 对应的参数为 t1,点 B 对应的参数为 t2,则 t1+t2=-4 ,t1t2=9,5从而 + = + = = = .1|PA| 1|PB| 1|t1| 1|t2|t1|+|t2|t1t2| -t1+(-t2)|t1t2| 459方法技巧 利用 |t|的几何意义求解问题是解决直线上的定点与交点问题的常规解法 .注意 |PA|=|t1|,|PB|=|t2|,要去绝对值符号,需判断交点与定点的位置关系,上方为正,下方为负 .分类透析三 方程互化与最值问题3
6、例 3 (安徽省六安市第一中学 2018 届高三适应性试题)在直角坐标系 xOy 中, C1:(t 为参数),以原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线x=t,y=k(t-1)C2: 2+10 cos - 6 sin + 33=0.(1)求 C1的普通方程及 C2的直角坐标方程;(2)若 P,Q 分别为 C1,C2上的动点,且 |PQ|的最小值为 2,求 k 的值 .分析 (1)消去参数可得 C1的普通方程;由互化公式可得曲线 C2的直角坐标方程 .(2)利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离 d,利用 d-r=2 即可得出 .解析 (1)由 可得其普通方程为 y=k(
7、x-1),它表示过定点(1,0),斜率为 kx=t,y=k(t-1)的直线 .由 2+10 cos - 6 sin + 33=0 可得其直角坐标方程为 x2+y2+10x-6y+33=0,整理得( x+5)2+(y-3)2=1,它表示圆心为( -5,3),半径为 1 的圆 .(2)因为圆心( -5,3)到直线 y=k(x-1)的距离 d= ,所以 |PQ|的最小值为 -1,|6k+3|1+k2 |6k+3|1+k2故 -1=2,得 3k2+4k=0,解得 k=0 或 k=- .|6k+3|1+k2 43方法技巧 求解与极坐标有关的问题的主要方法:(1)直接利用极坐标系求解,可与数形结合思想配合
8、使用;(2)转化为直角坐标系,用直角坐标求解 .使用后一种方法时,应注意若结果要求的是极坐标,还应将直角坐标化为极坐标 .1.(2017 年全国 卷,文 22 改编)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为( 为参数, 0,2),曲线 C2的参数方程为 (t 为参数) .x=cos ,y=3sin x= -2-12t,y= 32t (1)求曲线 C1,C2的普通方程;(2)求曲线 C1上一点 P 到曲线 C2距离的取值范围 .分析 (1)直接消去参数即得普通方程 .(2)求曲线 C1上一点 P 到曲线 C2距离的取值范围,可借助参数方程设此点为(cos ,3sin ),然后根据点到
9、直线的距离公式得出表达式转化为三角函数求最值问题即可 .解析 (1)直接消去参数得 C1的普通方程为 x2+ =1,y29直接消去参数得 C2的普通方程为 y=- (x+2),即 x+y+2 =0.3 3 34(2)设 P(cos ,3sin ),则点 P 到 C2的距离 d= = =|3cos +3sin +23|2 |23sin( + 6)+23|2.3sin( + 6)+1 0,2), 当 sin =1,即 = 时, dmax=2 ;( + 6) 3 3当 sin =-1,即 = 时, dmin=0.( + 6) 43 曲线 C1上一点 P 到曲线 C2距离的取值范围为0,2 .32.(
10、2018 年全国 卷,文 22 改编)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为( 为参数),以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2x=4cos ,y=a+4sin 的极坐标方程为 cos2= 4sin .(1)求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程;(2)若曲线 C1和曲线 C2有三个公共点,求以这三个点为顶点的三角形的面积 .解析 (1)由曲线 C1: ( 为参数),消去参数 ,得曲线 C1的普通方程x=4cos ,y=a+4sin 为 x2+(y-a)2=16.由曲线 C2: cos2= 4sin ,得 2cos2= 4 sin ,化为直角坐标方程
11、为 x2=4y.(2)因为曲线 C1和曲线 C2都是关于 y 轴对称的图形,它们有三个公共点,所以原点为其中的一个公共点 .将原点 O(0,0)代入 x2+(y-a)2=16,得 a=4 或 a=-4(舍去),此时,曲线 C1的方程为 x2+(y-4)2=16,故曲线 C1和曲线 C2的三个公共点坐标为(0,0),(4,4),( -4,4),易得以这三个点为顶点的三角形的面积为 44-(-4)=16.123.(2018 年全国 卷,文 22 改编)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为( 为参数) .x=2cos ,y=sin (1)求曲线 C 的普通方程;(2)经过点 P (直角坐
12、标系 xOy 中的点)作直线 l 交曲线 C 于 A,B 两点,若 P 恰好为线段(1,12)AB 的中点,求直线 l 的方程 .解析 (1)由曲线 C 的参数方程,得 cos =x2,sin =y,所以 cos2+ sin2= +y2=1,(x2)25所以曲线 C 的普通方程为 +y2=1.x24(2)设直线 l 的倾斜角为 1,则直线 l 的参数方程为 (t 为参数),x=1+tcos 1,y=12+tsin 1将其代入曲线 C 的直角坐标方程,得(cos 2 1+4sin2 1)t2+(2cos 1+4sin 1)t-2=0,所以 t1+t2=- .由题意知 t1=-t2,2cos 1+
13、4sin 1cos2 1+4sin2 1所以 2cos 1+4sin 1=0,得直线 l 的斜率 k=- ,12所以直线 l 的方程为 x+2y-2=0.1.(福建省两大名校 2018 届高三下学期第一次模拟题)已知直线 l 的参数方程为(t 为参数),在以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线x=1+t,y= 3+ 3tC 的极坐标方程为 2=4 cos + 2 sin - 4.3(1)求直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程;(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求 |OA|OB|的值 .解析 (1) 直线 l 的参数方程为 (t 为参数),x=
14、1+t,y= 3+ 3t 直线 l 的普通方程为 y= + (x-1),3 3即 y= x, 直线 l 的极坐标方程为 = .3 3 曲线 C 的极坐标方程为 2=4 cos + 2 sin - 4,3x 2+y2=4x+2 y-4,即( x-2)2+(y- )2=3,3 3 曲线 C 的直角坐标方程为( x-2)2+(y- )2=3.3(2)将直线 l:= 代入曲线 C 的极坐标方程: 2=4 cos + 2 sin - 4,得 2- 3 35+ 4=0.设直线 l 与曲线 C 的两个交点 A,B 的极坐标分别为 A( 1, 1),B( 2, 2), 1 2=4,|OA| |OB|=| 1|
15、 2|=| 1 2|=4.2.(山东、湖北部分重点中学 2018 届高三高考冲刺模拟题)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数, 为直线的倾斜角) .以平面直角坐标系的原点为x=5+tcos ,y=tsin 极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 = 4cos .(1)当 = 45时,求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程;6(2)已知点 C 的直角坐标为 C(2,0),直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当 ABC 面积最大时,求直线 l 的普通方程 .解析 (1)当 = 45时,直线 l 的参数方程为x=5+ 22t,y
16、= 22t, 消去 t 得直线 l 的普通方程为 x-y-5=0.曲线 C 的极坐标方程是 = 4cos ,两边乘以 为 2=4 cos ,可得 x2+y2-4x=0,所以曲线 C 的直角坐标方程为( x-2)2+y2=4.(2)因为直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,由参数方程设直线 l 的普通方程为 y=k(x-5).曲线 C 是以 C(2,0)为圆心,2 为半径的圆,S ABC= |CA|CB|sin ACB=2sin ACB.12当 ACB=90时, ABC 的面积最大,此时点 C 到直线 l 的距离为 ,所以 = ,2 2|2k-5k|k2+1解得 k= ,147所以直线 l
17、的普通方程为 y= (x-5).1473.(江西省抚州市临川区一中 2018 届模拟)以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为 = 2 .(sin +cos +1 )(1)写出曲线 C 的参数方程;(2)在曲线 C 上任取一点 P,过点 P 分别作 x 轴, y 轴的垂线,垂足分别为 A,B,求矩形 OAPB 的面积的最大值 .解析 (1)由 = 2 得 2=2( sin+ cos+ 1),所以(sin +cos +1 )x2+y2=2x+2y+2,即( x-1)2+(y-1)2=4,故曲线 C 的参数方程为 ( 为参数) .x=1+2cos ,
18、y=1+2sin (2)由(1)可设点 P 的坐标为(1 +2cos ,1+2sin ), 0,2),则矩形 OAPB 的面积S=|(1+2cos )(1+2sin )|=|1+2sin + 2cos + 4sin cos|.令 t=sin + cos= sin ,2 ( + 4)则 t - , ,t2=1+2sin cos ,2 2所以 S=|1+2t+2t2-2|= ,故当 t= 时, Smax=3+2 .|2(t+12)2-32| 2 274.(河北省石家庄二中 2018 届高三三模试题)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1过点 P(a,1),其参数方程为 (t 为参数, aR) .以坐
19、标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极x=a- 22t,y=1- 22t坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 cos2+ 3cos -= 0.(1)求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程;(2)已知曲线 C1和曲线 C2交于 A,B 两点,且 |PA|=3|PB|,求实数 a 的值 .解析 (1)由 C1的参数方程 消参得其普通方程为 x-y-a+1=0,x=a- 22t,y=1- 22t,由 C2的极坐标方程易得 2cos2+ 3 cos - 2=0,从而得其直角坐标方程为 y2=3x.(2)将曲线 C1的参数方程 (t 为参数, aR)代入曲线 C2:y2=3x,得x=a- 22t,y=1- 22tt2+ t+2-6a=0,2由 = (- )2-41(2-6a)0,得 a .214设 A,B 对应的参数为 t1,t2,由题意得 |t1|=3|t2|,即 t1=3t2或 t1=-3t2.当 t1=3t2时, 解得 a= ;t1=3t2,t1+t2= - 2,t1t2=2-6a, 1348当 t1=-3t2时, 解得 a= .t1= -3t2,t1+t2= - 2,t1t2=2-6a, 712综上所述, a= 或 a= .1348 7128
