1、1考查角度 2 不等式选讲分类透析一 解不等式与证明不等式结合例 1 (吉大附中 2018届第四次模拟)已知函数 f(x)=|x-a|.(1)当 a=-2时,解不等式 f(x)16 -|2x-1|.(2)若关于 x的不等式 f(x)1 的解集为0,2,求证: f(x)+f(x+2)2 a.分析 (1)把 a=-2代入不等式,根据绝对值不等式的解法,即可求出不等式的解集 .(2)通过解绝对值不等式,结合不等式的解集确定 a的值;根据绝对值不等式的解法即可证明 .解析 (1)当 a=-2时,不等式为 |x+2|+|2x-1|16 .当 x -2时,原不等式可化为 -x-2-2x+116,解得 x
2、- ;173当 -20及 f(x)1,求交集可得不等式 00,得 |x-2|x-1|,则 |x-2|2|x-1|2,即 x2-4x+4x2-2x+1,解得 xm恒成立,须有 f(x)minm;(3)不等式的解集为 R,即不等式恒成立;(4)不等式的解集为空集,即不等式无解 .分类透析三 解不等式与探索性问题例 3 (江西师大附中 2018届高三测试题)已知函数 f(x)= + ,其中 a,b为正实数 .|x+4a|x-1b|(1)若 a=b=1,求不等式 f(x)6 的解集 .(2)若 f(x)的最小值为 1,问是否存在正实数 a,b,使得不等式 a+4b16 成立?若存在,求出 a,b的值;
3、若不存在,请说明理由 .分析 (1)把要解的不等式转化为与之等价的三个不等式组,求出每个不等式组的解集,再取并集,即得所求;(2)利用绝对值三角不等式得到 f(x)的最小值,再结合均值不等式即可得到结果 .3解析 (1)当 a=b=1时, f(x)=|x+4|+|x-1|,不等式 f(x)6 等价于 或x -4,-(x+4)-(x-1) 6或 解得 - x ,-4 的解集;32(2)若 x(0,1)时不等式 f(x)2x成立,求 a的取值范围 .解析 (1)当 a=2时, f(x)=|2x+1|-|2x-1|,即 f(x)=-2,x -12,4x,-12 的解集为 .32 x|x38(2)当
4、x(0,1)时, |2x+1|-|ax-1|2x成立等价于当 x(0,1)时, |ax-1|0,|ax-1|8-|2x-2|的解集为 M.(1)求 M.4(2)设 a,b M,证明: f(ab)f(2a)-f(-2b).解析 (1)将 f(x)=|x+4|代入不等式整理得 |x+4|+|2x-2|8. 当 x -4时,不等式转化为 -x-4-2x+28,解得 x8,解得 x8,解得 x2,所以此时 x2.综上, M=x|x2.(2)因为 f(2a)-f(-2b)=|2a+4|-|-2b+4| |2a+4+2b-4|=|2a+2b|,所以要证 f(ab)f(2a)-f(-2b),只需证 |ab+
5、4|2a+2b|,即证( ab+4)2(2a+2b)2,即证 a2b2+8ab+164a2+8ab+4b2,即证 a2b2-4a2-4b2+160,即证( a2-4)(b2-4)0.因为 a,b M,所以 a24,b24,所以( a2-4)(b2-4)0成立,所以原不等式成立 .3.(2017年全国 卷,文 23改编)已知 a0,b0,a2+b2=a+b.证明:(1)(a+b)22( a2+b2);(2)(a+1)(b+1)4 .解析 (1)因为( a+b)2-2(a2+b2)=2ab-a2-b2=-(a-b)20,所以( a+b)22( a2+b2).(2)由(1)及 a2+b2=a+b得
6、a+b2,因为 ab,b0,所以 00),求 + 的取值范围 .4a1b解析 (1)由 f(x)1,即 |2x+1|1 -12 x+11,解得 -1 x0,故不等式的解集为 x|-1 x0 .(2)g(x)=f(x)+f(x-1)=|2x+1|+|2x-1| |2x+1-(2x-1)|=2,a+b= 2(a,b0), + = (a+b) = = ,4a1b12 (4a+1b)12(5+4ba+ab) 12(5+2 4baab)92当且仅当 = a=2b,即 a= ,b= 时等号成立 .4baab 43 23综上, + 的取值范围为 .4a1b 92,+ )3.(山西省太原市 2018届高三模拟
7、题)设函数 f(x)=|x+2|+|x-1|.(1)求 f(x)的最小值及取得最小值时 x的取值范围;(2)若关于 x的不等式 f(x)+ax-10的解集为 R,求实数 a的取值范围 .解析 (1) 函数 f(x)=|x+2|+|x-1| |x+2-(x-1)|=3,当且仅当( x+2)(x-1)0 时,等号成立 . 函数 f(x)=|x+2|+|x-1|的最小值为 3,此时 x的取值范围为 x|-2 x1 .(2)当不等式 f(x)+ax-10的解集为 R时,函数 f(x)-ax+1恒成立,即 f(x)的图象恒位于直线 y=-ax+1的上方 .6 函数 f(x)=|x+2|+|x-1|=-2
8、x-1,x1, 而函数 y=-ax+1表示过点(0,1),斜率为 -a的一条直线 .如图所示,当直线 y=-ax+1过点 A(1,3)时,3 =-a+1,a=- 2;当直线 y=-ax+1过点 B(-2,3)时,3 =2a+1,a= 1. 由数形结合可得 a的取值范围为( -2,1).4.(湖北师大第一附属中学 2018届高三 5月押题)已知函数 f(x)=|2x-1|-a(aR) .(1)若 f(x)在 -1,2上的最大值是最小值的 2倍,解不等式 f(x)5;(2)若存在实数 x使得 f(x)|4x-2|-|2x+1|,12令 g(x)=|4x-2|-|2x+1|,问题转化为 ag(x)min.又 g(x)=-2x+3,x -12,-6x+1,-12-2.(12) 实数 a的取值范围为( -2,+ ).7
