1、1相交线与平行线章末小结与提升相交线与平行线相交线 两条直线相交 一般情况:邻角互补,对顶角相等相交成直角:在同一平面内,过一点有且只有 一 条直线与已知直线垂直点到直线的距离:垂线段最短 两条直线被第三条直线所截:同位角、内错角、同旁内角 平行线定义:在同一平面内,不相交的两条直线平行公理及推论平行公理:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 推论:如果 b a,c a,那么 b c 平行线的判定方法 同位角相等,两直线平行内错角相等,两直线平行同旁内角互补,两直线平行 平行线的性质 两直线平行,同位角相等两直线平行,内错角相等两直线平行,同旁内角互补 命题 定义:判断一件事情的语句组
2、成 题设:已知事项结论:由已知事项推出的事项 分类 真命题(正确的命题,如公理、定理) 假命题(错误的命题) 平移 性质 新图形与原图形的形状和大小 完全相同 对应点所连线段 相等 且平行(或在同一条直线上) 作图:找出平移方向、距离,确定关键点 类型 1 邻补角和对顶角典例 1 2如图,已知直线 AB,CD 相交于点 O,OA 平分 EOC, EOD=70,则 BOD 的大小为 ( )A.25 B.35 C.45 D.55【解析】 EOD=70, EOC=180-70=110.OA 平分 EOC, AOC= EOC=55, BOD= AOC=55.12【答案】 D【针对训练】1.如图,三条直
3、线 AB,CD,EF 相交于点 O,若 AOD=3 FOD, AOE=120,则 COE 的度数为(A)A.30 B.40 C.50 D.602.如图 ,两条直线交于一点,图中共有 =2 对对顶角;如图 ,三条直线交于一点,(4-2)44图中共有 =6 对对顶角;如图 ,四条直线交于一点,图中共有 =12 对对顶(6-2)64 (8-2)84角;按这样的规律,六条直线交于一点,那么图中共有 30 对对顶角 .(只填数字) 类型 2 垂线典例 2 如图,直线 AB,CD 相交于点 O,射线 OM 平分 AOC,ON OM,若 AOM=30,则 CON 的度数为 ( )A.30 B.40 C.50
4、 D.60【解析】 射线 OM 平分 AOC, AOM= MOC. AOM=30, MOC=30.ON OM, CON=60.【答案】 D【针对训练】1.已知 OA OB,O 为垂足,且 AOC AOB=1 2,则 BOC 是 (C)3A.45 B.135C.45或 135 D.60或 202.如图,已知 AO OB,CO DO, BOC= ,则 AOD 的度数为 (C)A. -90 B.2 -90C.180- D.2 -180类型 3 平行线的判定典例 3 如图,所给条件: C= ABE, C= DBE, A= ABE, CBE+ C=180中,能判定BE AC 的有 ( )A. B.C.
5、D.【解析】 C= ABE,这两角既不是同位角也不是内错角,不能判定 BE AC; C= DBE,由同位角相等,两直线平行,可判断 EB AC; A= ABE,由内错角相等,两直线平行,可判断 EB AC; CBE+ C=180,由同旁内角互补,两直线平行,可判断 EB AC.【答案】 D【针对训练】1.一次数学活动中,检验两条纸带 、 的边线是否平行,小明和小丽采用两种不同的方法:小明对纸带 沿 AB 折叠,量得1 =2 =50;小丽对纸带 沿 GH 折叠,发现 GD 与 GC 重合,HF 与 HE 重合 .则下列判断正确的是 (B)A.纸带 的边线平行,纸带 的边线不平行B.纸带 的边线不
6、平行,纸带 的边线平行C.纸带 的边线都平行D.纸带 的边线都不平行42.如图,直线 a b,垂足为 O, ABC 与直线 a,b 分别交于点 E,F,且 C=90,EG,FH 分别平分 MEC 和 NFC.(1)填空: OEC+ OFC= 180 ; (2)求证: EG FH.解:(2)由(1)知 OEC+ OFC=180,因为 MEC=180- OEC, NFC=180- OFC,所以 MEC+ NFC=(180- OEC)+(180- OFC)=360-( OEC+ OFC)=360-180=180,因为 EG,FH 分别平分 MEC 和 NFC,所以 CEG= MEC, CFH= NF
7、C,12 12所以 CEG+ CFH= ( MEC+ NFC)= 180=90.12 12过 C 点作 CD EG 交 AB 于点 D,所以 CEG= DCE.因为 DCE+ DCF=90, CEG+ CFH=90,所以 DCF= CFH,所以 CD FH.又因为 CD EG,所以 EG FH.类型 4 平行线的性质典例 4 5如图,直线 a,b 被直线 c 所截,若 a b,1 =50,2 =65,则3 的度数为 ( )A.110 B.115C.120 D.130【解析】 a b,1 =50,2 =65, 4 =1 =50, 2 +4 =65+50=115, 3 =2 +4 =115.【答案
8、】 B【针对训练】1.如图, AB CD, BED=61, ABE 的平分线与 CDE 的平分线交于点 F,则 DFB= (B)A.149 B.149.5C.150 D.150.52.如图 1,AB CD,EOF 是直线 AB,CD 间的一条折线 .(1)试证明: O= BEO+ DFO;(2)如果将折一次改为折两次,如图 2,则 BEO, O, P, PFC 之间会满足怎样的数量关系,证明你的结论 .解:(1)作 OM AB,如图 , 1 = BEO.AB CD,OM CD, 2 = DFO, 1 +2 = BEO+ DFO,即 EOF= BEO+ DFO.(2) EOP+ PFC= BEO
9、+ OPF.理由:作 OM AB,PN CD,如图 .AB CD,OM PN AB CD, 1 = BEO,2 =3,4 = PFC,6 1 +2 + PFC= BEO+3 +4, EOP+ PFC= BEO+ OPF.类型 5 平移作图及性质典例 5 如图,线段 AB=CD,AB 与 CD 相交于点 O,且 AOC=60,CE 是由 AB 平移所得,AC 与 BD 不平行,则 AC+BD 与 AB 的大小关系是: AC+BD AB.(填“ ”“DE=AB,即 AC+BDAB.当 D,B,E 三点共线时,AC+BD=AB,AC 和 BD 不平行, D ,B,E 三点不能共线 .综上可知 AC+
10、BDAB.【答案】 【针对训练】1.如图是一块从一个边长为 50 cm 的正方形材料中剪出的垫片(正方形 BCDM 中, BC=50 cm),现测得 FG=5 cm,则这个剪出的图形的周长是 210 cm. 2.如图,长方形 ABCD 中, AB=5 cm,AD=8 cm.若将该长方形沿 AD 方向平移一段距离,得到长方形 EFGH.(1)长方形 ABFE 与长方形 DCGH 的面积是否相等?为什么?(2)将长方形 ABCD 平移多长距离,能使两长方形的重叠部分 FCDE 的面积是 35 cm2?7解:(1)面积相等 . 长方形 EFGH 是由长方形 ABCD 平移得到的, 长方形 ABCD 的面积和长方形 EFGH 的面积相等, 长方形 ABFE 与长方形 DCGH 的面积相等 .(2)设 AE=x,根据题意列出方程 5(8-x)=35,解得 x=1. 点 A 的对应点为 E, 平移距离为 AE 的长, 向右平移 1 cm,能使两长方形的重叠部分 FCDE 的面积是 35 cm2.
