1、124.4 直线与圆的位置关系第 1 课时 直线与圆的位置关系知识要点基础练知识点 直线与圆的位置关系1.已知 O 的半径为 5 cm,圆心 O 到直线 l 的距离为 5 cm,则直线 l 与 O 的位置关系为 (B)A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定2.已知 O 的半径为 3,圆心 O 到直线 l 的距离为 4,则直线 l 与 O 的位置关系是 (C)A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定3.如果一条直线与圆有公共点,那么该直线与圆的位置关系是 (D)A.相交 B.相离 C.相切 D.相交或相切4.如图, O=30,C 为 OB 上一点,且 OC=6,以 C 为圆心,半径为 3
2、的圆与 OA 的位置关系是 相切 . 5.Rt ABC 的斜边 AB=6 厘米,直角边 AC=3 厘米,以 C 为圆心,2 厘米为半径的圆和 AB 的位置关系是 相离 ,以 4 厘米为半径的圆和 AB 的位置关系是 相交 . 综合能力提升练6. O 的半径为 6, O 的一条弦 AB 长为 3 ,以 3 为半径的同心圆与 AB 的位置关系是 (A)3A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定27.如图,已知 BAC=45,一动点 O 在射线 AB 上运动(点 O 与点 A 不重合),设 OA=x,如果半径为 1 的圆 O 与射线 AC 有公共点,那么 x 的取值范围是 (A)A.02 28.如
3、图,直线 l 与 O 相交于 A,B 两点,点 O 到直线 l 的距离为 3,AB=8.(1)求 O 的直径;(2) O 满足什么条件时,它与直线 l 不相交?解:(1)作 OC AB 于点 C,连接 OA.由已知可得 OC=3,AC= AB=4,12根据勾股定理得 OA= =5,故 O 的直径为 10.OC2+AC2(2)当 O 的半径 r3 时,它与直线 l 不相交 .9.(教材改编)如图, ABC 中, C=90, B=60,点 O 在 AB 上, AO=x, O 的半径为 1.问当x 在什么范围内取值时, AC 与 O 相离、相切、相交?解:过点 O 作 OD AC 于点 D. C=9
4、0, B=60, A=30,AO=x ,OD= AO= x.(1)若12 12 O 与 AC 相离,则有 OD 大于 r,即 x1,解得 x2;(2)若 O 与 AC 相切,则有 OD 等于 r,即12x=1,解得 x=2;(3)若 O 与 AC 相交,则有 OD 小于 r,即 00)个单位,若平移后得到的直线 l 与半径为5126 的 O 相交(点 O 为坐标原点), m 的取值范围是 m0),设直线 l 与 x 轴、 y 轴分别交512于点 A,B,过点 O 作 OD AB 于点 D,OA= m,OB=m.在 Rt OAB 中,根据勾股定理得125AB= m,S ABO= ODAB= OA
5、OB, OD m= mm,m 0,解得 OD= m,由直线与圆135 12 12 12 135 12125 1213的位置关系可知 m6,解得 m .1213 132第 2 课时 切线的性质与判定知识要点基础练知识点 1 切线的性质1.如图, A,B 是 O 上的两点, AC 是 O 的切线, B=70,则 BAC 等于(C)A.70 B.354C.20 D.102.如图,在 ABC 中, A=90,AB=AC=2 cm, A 与 BC 相切于点 D,则 A 的半径长为 2cm. 3.如图,在以 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 AB 是小圆的切线, P 为切点 .已知 AB=8,大圆半径为
6、 5,则小圆半径为 3 . 知识点 2 切线的判定4.下列直线是圆的切线的是 (B)A.与圆有公共点的直线B.到圆心的距离等于半径的直线C.垂直于圆的半径的直线D.过圆直径外端点的直线5.已知 O 的半径为 5,直线 EF 经过 O 上一点 P(点 E,F 在点 P 的两旁),下列条件能判定直线 EF 与 O 相切的是 (D)A.OP=5B.OE=OFC.O 到直线 EF 的距离是 45D.OP EF6.如图,已知 ABC 内接于 O,AB 为直径,过点 A 作直线 EF,要使 EF 是 O 的切线,只需添加的一个条件是 答案不唯一,如 AB FE; BAC+ CAE=90; C= FAB .
7、(写出一个即可) 综合能力提升练7.菱形的对角线相交于点 O,以点 O 为圆心,以点 O 到菱形一边的距离为半径的 O 与菱形其他三边的位置关系是 (C)A.相交 B.相离C.相切 D.无法确定8.(深圳中考)如图,直尺、60的直角三角板和光盘如图摆放,60角与直尺交于 A 点, AB=3,则光盘的直径是 (D)A.3 B.3 C.6 D.63 39.(重庆中考)如图,已知 AB 是 O 的直径,点 P 在 BA 的延长线上, PD 与 O 相切于点 D,过点B 作 PD 的垂线交 PD 的延长线于点 C,若 O 的半径为 4,BC=6,则 PA 的长为 (A)A.4 B.2 C.3 D.2.
8、53610.如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 为正方形,顶点 A,C 在坐标轴上,以边 AB 为弦的 M 与 x 轴相切,若点 A 的坐标为(0,8),则圆心 M 的坐标为 (D)A.(4,5) B.(-5,4)C.(-4,6) D.(-4,5)11.如图所示, APB=60,半径为 a 的 O 切 PB 于 P 点,若将 O 在 PB 上向右滚动,则当滚动到 O 与 PA 也相切时,圆心 O 移动的水平距离是 a . 312.(黄冈中考改编)如图, AD 是 O 的直径, AB 为 O 的弦, OP AD,OP 与 AB 的延长线交于点 P,过 B 点的切线交 OP 于点 C.求证
9、: CBP= ADB.证明:连接 OB.AD 是 O 的直径, ABD=90, A+ ADB=90,BC 为切线, OB BC, OBC=90, OBA+ CBP=90,OA=OB , A= OBA, CBP= ADB.13.如图,有两个同心圆,大圆的弦 AB 和 CD 相等 .AB 切小圆于点 E,那么 CD 是小圆的切线吗?为什么?7解: CD 是小圆的切线 .理由:连接 OE,过点 O 作 OF CD,垂足为 F.AB 切小圆于点 E,OE AB,AB=CD ,OF=OE ,CD 是小圆的切线 .14.如图所示, AB 是 O 的直径, C 为 O 上一点,过点 B 作 BD CD,垂足
10、为 D,连接 BC,BC 平分 ABD.求证: CD 为 O 的切线 .证明: BC 平分 ABD, OBC= DBC,OB=OC , OBC= OCB, OCB= DBC,OC BD,BD CD,OC CD,CD 为 O 的切线 .15.如图, ABC 内接于 O, B=60,CD 是 O 的直径, P 是 CD 延长线上一点,且 AP=AC.(1)求证: PA 是 O 的切线;(2)若 PD= ,求 O 的直径 .58解:(1)连接 OA. B=60, AOC=2 B=120,又 OA=OC , OAC= OCA=30,又 AP=AC , P= ACP=30, OAP= AOC- P=90
11、,OA PA,PA 是 O 的切线 .(2)在 Rt OAP 中, P=30,PO= 2OA=OD+PD,又 OA=OD ,PD=OA ,PD= , 2OA=2PD=2 , O 的直径为 2 .5 5 5拓展探究突破练16.(宁波中考改编)如图,正方形 ABCD 的边长为 8,M 是 AB 的中点, P 是 BC 边上的动点,连接PM,以 P 为圆心, PM 长为半径作 P.当 P 与正方形 ABCD 的边相切时,求 BP 的长 .解:如图 1,当 P 与直线 CD 相切时,设 PC=PM=x.9在 Rt PBM 中, PM 2=BM2+PB2,x 2=42+(8-x)2,解得 x=5,PC=
12、 5,BP=BC-PC=8-5=3.如图 2,当 P 与直线 AD 相切时,设切点为 K,连接 PK,则 PK AD,四边形 PKDC 是矩形 .PM=PK=CD= 2BM,BM= 4,PM=8,在 Rt PBM 中, PB= =4 .PM2-BM2= 82-42 3综上所述, BP 的长为 3 或 4 .3第 3 课时 切线长定理知识要点基础练知识点 1 切线长的概念1.下列说法正确的有 (C) 切线就是切线长; 切线是可以度量的; 切线长是可以度量的; 切线与切线长是不同的量,切线是直线,而切线长是线段的长度 .A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个2.如图, P 是 O 外一点,
13、以 OP 为直径画圆,使它和 O 交于 A,B 两点,连接 PA,PB.则线段PA,PB 是 O 的 切线 . 3.10如图, O 的半径为 5,PA 切 O 于点 A, APO=30,则切线长 PA 为 5 .(结果保留根3号) 知识点 2 切线长定理4.如图,若 O 的直径 AB 与弦 AC 的夹角为 30,切线 CD 与 AB 的延长线交于点 D,且 O 的半径为 2,则 CD 的长为 (A)A.2 B.43 3C.2 D.45.如图, PA 切 O 于点 A,PB 切 O 于点 B,OP 交 O 于点 C,下列结论中,错误的是 (D)A.1 =2 B.PA=PBC.AB OP D. P
14、AB 是等边三角形6.如图, O 的半径为 3 cm,点 P 到圆心 O 的距离为 6 cm,过点 P 引 O 的两条切线,这两条切线的夹角为 60 . 7.(教材改编)如图,四边形 ABCD 是 O 的外切四边形,且 AB=10,CD=12,则四边形 ABCD 的周长为 44 . 11综合能力提升练8.如图, AB 是 O 的直径, AD 是 O 的切线,点 C 在 O 上, BC OD,AB=2,OD=3,则 BC 的长为(A)A. B.23 32C. D.32 229.如图, PA,PB 是 O 的两条切线, A,B 为切点,直线 OP 交 O 于点 C,D,交 AB 于点 E,AF 为
15、O 的直径,下列结论: ABP= AOP; ;PC PD=PEPO.其中正确的结论有 (A)BC=DFA.3 个 B.2 个C.1 个 D.0 个10.如图所示, O 与 ABC 中 AB,AC 的延长线及 BC 边相切,且 ACB=90, A, ABC, ACB所对的边长依次为 6,8,10,则 O 的半径是 4 . 1211.如图, MA,MB 是 O 的两条切线, A,B 为切点,若 AMB=60,AB=1,则 O 的直径等于 .233提示:连接 OB.MA ,MB 是 O 的两条切线, A,B 为切点, AM=BM , AMO= AMB=30,12 OAM=90,OA=OB ,OM 是
16、 AB 的垂直平分线, AB= 1,AC= ,在 Rt OAM 中, AOM=60,12 ACO=90, sin 60= ,ACOAOA= , O 的直径为 .1232= 13= 33 23312.(教材改编)如图所示, PA,PB 是 O 的两条切线, A,B 为切点,连接 PO,交 O 于点 D,交 AB 于点 C,根据以上条件,请写出三个你认为正确的结论,并对其中的一个结论给予证明 .解:如图,结论: 3 =4 或7 =8 或1 =5 或2 =6 或1 =2; OP AB;AC=BC.证明 :PA ,PB 是 O 的切线,OA PA,OB PB, OAP= OBP=90.在 Rt OAP
17、 与 Rt OBP 中, OA=OB,OP=OP, Rt OAPRt OBP(HL),PA=PB ,13OA=OB , 点 O,P 在 AB 的垂直平分线上,OP AB.13.如图,在 Rt ABC 中, ACB=90,以 BC 为直径的圆交 AB 于点 D,过点 D 作 O 的切线 EF 交AC 于点 E.求证: AE=DE.证明:连接 CD.BC 是 O 的直径, CDB=90. ACB=90,CE 切 O 于点 C.DE 切 O 于点 D,CE=DE , EDC= ECD, EDC+ ADE=90, ECD+ A=90, ADE= A,AE=DE.14.如图, AB 是半圆 O 的直径,
18、 C 是半圆 O 上一点, CD AB 于点 D,从 C,B 两点分别作半圆 O 的切线,它们相交于点 E,连接 AE 交 CD 于点 P.求证: PDCE=ADAB.14证明:显然 PDA=90.E ,即 EBA=90,又 PADB 为半圆 O 的切线, AB 是半圆 O 的直径,EB AB= EAB, APD AEB,PDBE=ADAB ,EC ,EB 都是半圆 O 的切线, CE=BE ,PDCE=ADAB.15.(凉山州中考)如图,已知 AB 为 O 的直径, AD,BD 是 O 的弦, BC 是 O 的切线,切点为B,OC AD,BA,CD 的延长线相交于点 E.(1)求证: DC
19、是 O 的切线;(2)若 AE=1,ED=3,求 O 的半径 .解:(1)连接 DO.AD OC, DAO= COB, ADO= COD.又 OA=OD , DAO= ADO, COD= COB.在 COD 和 COB 中,OD=OB , COD= COB,OC=OC, COD COB(SAS), CDO= CBO.BC 是 O 的切线, CBO=90, CDO=90,15又 点 D 在 O 上, CD 是 O 的切线 .(2)设 O 的半径为 R,则 OD=R,OE=OA+AE=R+1,CD 是 O 的切线, EDO=90,ED 2+OD2=OE2, 32+R2=(R+1)2,解得 R=4,
20、 O 的半径为 4.拓展探究突破练16.如图, PA,PB 是 O 的切线,切点分别是 A,B,直线 EF 也是 O 的切线,切点为 Q,与 PA,PB的交点分别为 E,F,已知 PA=12 cm, P=40.(1)求 PEF 的周长;(2)求 EOF 的度数;(3)若 P= ,请直接写出 EOF 的度数 .解:(1) PA ,PB 是 O 的切线, PA=PB ,又 直线 EF 是 O 的切线, EB=EQ ,FQ=FA, PEF 的周长 =PE+PF+EF=PE+PF+EB+FA=PA+PB=2PA=24 cm.(2)连接 OE,OF,则 OE 平分 BEF,OF 平分 AFE, OEF+ OFE= ( P+ PFE)+ ( P+ PEF)= (180+40)=110,12 12 12 EOF=180-110=70.(3) EOF=90- . 216
