1、1概率初步章末小结与提升概率初步事件 确定性事件 必然事件:在一定条件下,必然会发生的事件, P(A)=1不可能事件:在一定条件下,必然不会发生的事件, P(A)= 0 随机事件:在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件, 0P(A)1 概率定义:刻画一随机事件发生可能性大小的数值公式:在一次试验中,有 n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件 A包含其中的 m种结果,则 P(A)= mn 求法 用列举法求概率 列表法画树状图法 用频率估计概率:利用多次重复试验,通过统计试验结果去估算概率 类型 1 必然事件、不可能事件、随机事件典例 1 下列说法中不正确的是 ( )A.抛掷一枚硬币,
2、硬币落地时正面朝上是随机事件B.把 4个球放入三个抽屉中,其中一个抽屉中至少有 2个球是必然事件C.任意打开九年级下册数学教科书,正好是 97页是确定事件D.一只盒子中有白球 m个,红球 6个,黑球 n个(每个球除了颜色外都相同),如果从中任取一个球,取得的是红球的概率与不是红球的概率相同,那么 m与 n的和是 6【解析】事件分为确定事件和不确定事件,确定事件分为必然事件和不可能事件 .本题的易错点在于把随机事件当作确定事件,从而错选 .【答案】 C【针对训练】1.下列事件是必然事件的是 (A)A.地球绕着太阳转2B.抛一枚硬币,正面朝上C.明天会下雨D.打开电视,正在播放新闻2.下列事件:
3、随意翻到一本书的某页,这页的页码是奇数; 测得北京某天的最高气温是100 ; 掷一次骰子,向上一面的数字是 2; 度量四边形的内角和,结果是 360.其中是随机事件的是 .(填序号) 类型 2 概率的计算典例 2 一袋中装有形状大小都相同的四个小球,每个小球上各标有一个数字,分别是 1,4,7,8.现规定从袋中任取一个小球,对应的数字作为一个两位数的个位数;然后将小球放回袋中搅拌均匀,再任取一个小球,对应的数字作为这个两位数的十位数 .(1)写出按上述规定得到所有可能的两位数;(2)从这些两位数中任取一个,求其算术平方根大于 4且小于 7的概率 .【解析】(1)用列表分析所有可能的结果:个位十
4、位 1 4 7 81 11 14 17 184 41 44 47 487 71 74 77 788 81 84 87 88则所得的所有可能的两位数为:11,14,17,18,41,44,47,48,71,74,77,78,81,84,87,88 .(2)算术平方根大于 4且小于 7的共 6个,分别为 17,18,41,44,47,48,则所求概率 P= .616=383【针对训练】1.某校安排三辆车,组织八年级学生开展“合肥工业游”活动,其中方圆和吴敏同学都可以选三辆车中的任何一辆搭乘,他们乘坐同一辆车的概率是 (B)A. B. C. D.14 13 34 122.(安徽中考)如图,管中放置着
5、三根同样的绳子 AA1,BB1,CC1.(1)小明从这三根绳子中随机选一根,恰好选中绳子 AA1的概率是多少?(2)小明先从左端 A,B,C三个绳头中随机选两个打一个结,再从右端 A1,B1,C1三个绳头中随机选两个打一个结,求这三根绳子连接成一根长绳的概率 .解:(1)小明可选择的情况有 3种,每种发生的可能性相等,恰好选中绳子 AA1的情况只有 1种,所以小明恰好选中绳子 AA1的概率 P= .13(2)画树状图如下:其中左、右打结是相同字母(不考虑下标)的情况,不可能连结成为一根长绳,所以能连结成为一根长绳的情况有 6种: 左端连 AB,右端连 A1C1或 B1C1; 左端连 BC,右端
6、连 A1B1或 A1C1; 左端连 AC,右端连 A1B1或 B1C1.故这三根绳子连结成为一根长绳的概率 P= .69=23类型 3 概率的实际应用典例 3 “校园诗歌大赛”结束后,张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理,并分别绘制成扇形统计图和频数直方图的部分信息如下:4(1)本次比赛参赛选手共有 人,扇形统计图中“69 .579.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为 ; (2)赛前规定,成绩由高到低前 60%的参赛选手获奖 .某参赛选手的比赛成绩为 78分,试判断他能否获奖,并说明理由;(3)成绩前四名是 2名男生和 2名女生,若从他们中任选 2人作为获奖代表发言
7、,试求恰好选中 1男 1女的概率 .【解析】(1)50;30% .(2)不能;由频数分布直方图可得“89 .599.5”这一组人数为 12人,12 50=24%,则79.589.5和 89.599.5两组占参赛选手的 60%,而 7879.5,所以他不能获奖 .(3)由题意得树状图如下:由树状图知,共有 12种等可能结果,其中恰好选中 1男 1女的结果共有 8种,故 P= .812=23【针对训练】1.小明和小红玩抛硬币游戏,连续抛两次 .小明说:“如果两次都是正面,那么你赢;如果两次是一正一反,则我赢 .”小红赢的概率是 .据此判断该游戏 不公平 .(填“公平”或14“不公平”) 2.经过校
8、园某路口的行人,可能左转,也可能直行或右转 . 假设这三种可能性相同,现有小明和小亮两人经过该路口,请用列表法或画树状图法,求两人之中至少有一人直行的概率 .解:依据题意,列表得:5小亮小明 左转 直行 右转左转 (左转,左转) (左转,直行) (左转,右转)直行 (直行,左转) (直行,直行) (直行,右转)右转 (右转,左转) (右转,直行) (右转,右转)或画树状图得:由表格(或树状图)可知,共有 9种可能出现的结果,每种结果出现的可能性相同,其中两人中至少有一人直行的结果有 5种:(左转,直行),(直行,左转),(直行,直行),(直行,右转),(右转,直行),所以 P(两人中至少有一人
9、直行) = .59类型 4 用频率估计概率典例 4 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共 20个,某学习小组做摸球试验,将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回袋中,不断重复试验,下表是活动进行中的一组统计数据:摸球次数 n100150200500800 1000摸到白 58 96 116295484 6016球的次数m摸到白球的频率mn0.580.640.580.590.6050.601(1)请估计:当 n很大时,摸到白球的频率将会接近 .(精确到 0.1) (2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个?(3)解决了上面的问题,小明同学猛然想起过去一个悬而未决
10、的问题,这个问题是:在一个不透明的口袋里装有若干个白球,在不允许将球倒出来的情况下,如何估计白球的个数(可以借助其他工具及用品)?请你运用统计与概率的思想和方法解决这个问题,写出解决这个问题的主要步骤及估算方法 .【解析】(1)由表中数据可以看出,当摸球次数大于 500时,摸到白球的频率稳定在 0.6左右,故当 n很大时,摸到白球的频率约为 0.6.(2)白球有 200.6=12(个),黑球有 200.4=8(个) .(3) 标记:从口袋中摸出一定数目的白球做上标记,然后放回口袋中,充分搅匀; 试验:进行多次摸球试验(每次摸出一个球,再放回),记录摸到标记球的次数,计算频率,由频率估算概率;
11、估算: =白球总个数 .有标记球的个数摸到有标记球的概率【针对训练】1.在一个不透明的袋子中有 1个红球,1 个绿球和 n个白球,这些球除颜色外都相同 .(1)从袋中随机摸出 1个球,记录下颜色后放回袋子中并搅匀,不断重复该试验,发现摸到白球的频率稳定在 0.75,则 n的值为 6 ; (2)当 n=2时,把袋中的球搅匀后任意摸出 2个球,求摸出的 2个球颜色不同的概率 .7解:(2)任意摸出 2个球,共有 12种等可能的结果,即(红,绿),(红,白 1),(红,白 2),(绿,红),(绿,白 1),(绿,白 2),(白 1,红),(白 1,绿),(白 1,白 2),(白 2,红),(白 2,
12、绿),(白 2,白 1),其中 2个球颜色不同的结果有 10种,则所求概率为 .562.在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验,统计发芽种子数,获得如下频数表 .试验种子n(粒) 15 50 100200500100020003000发芽频数 m 14 45 92 188476 951 19002850发芽频率mn 10.800.900.920.940.9520.951 a b(1)计算表中 a,b的值;(2)估计该麦种的发芽概率;(3)如果该麦种发芽后,只有 87%的麦芽可以成活,现有 100千克麦种,则有多少千克的麦种可以成活?解:(1) a=19002000=0.95,b=2850300
13、0=0.95.(2)随着大量重复试验,发芽频率逐渐稳定在 0.95附近,所以该麦种的发芽概率约为 0.95.(3)1000.9587%=82.65(千克) .3.4件同型号的产品中,有 1件不合格品和 3件合格品 .(1)从这 4件产品中随机抽取 1件进行检测,不放回,再随机抽取 1件进行检测 .请用列表法或画树状图的方法,求两次抽到的都是合格品的概率;(解答时可用 A表示 1件不合格品,用B,C,D分别表示 3件合格品)(2)在这 4件产品中加入 x件合格品后,进行如下试验:随机抽取 1件进行检测,然后放回,多次重复这个试验,通过大量重复试验后发现,抽到合格品的频率稳定在 0.95,则可以推算出x的值大约是多少?解:(1)8共有 12种情况,抽到的都是合格品的情况有 6种,P (两次抽到的都是合格品) = .612=12(2) 大量重复试验后发现,抽到合格品的频率稳定在 0.95, 抽到合格品的概率等于 0.95, =0.95,解得 x=16.x+3x+4
