1、13.3 垂径定理知识要点基础练知识点 1 垂径定理及推论1.下列命题中错误的有 (A) 弦的垂直平分线经过圆心; 平分弦的直径垂直于弦; 平分弦的直径平分弦所对的两段弧 .A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个2.在 O 中,弦 AB 的长为 6,圆心 O 到 AB 的距离为 4,则 O 的半径为 (C)A.10 B.6 C.5 D.43.(泸州中考)如图, AB 是 O 的直径,弦 CD AB 于点 E.若 AB=8,AE=1,则弦 CD 的长是 (B)A. B.27 7C.6 D.8【变式拓展】(安顺中考)已知 O 的直径 CD=10 cm,AB 是 O 的弦, AB CD,垂足
2、为 M,且AB=8 cm,则 AC 的长为 (C)A.2 cm B.4 cm5 5C.2 cm 或 4 cm D.2 cm 或 4 cm5 5 3 3知识点 2 垂径定理的应用4.如图是一个圆弧形门拱,拱高 AB=1 m,跨度 CD=4 m,那么这个门拱的半径为(B)2A.2 mB.2.5 mC.3 mD.5 m5.一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径 OA=1 m,水面宽 AB=1.2 m,某天下雨后,水管水面上升了 0.2 m,则此时排水管水面宽 CD 等于 1.6 m. 6.如图是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为 O,直径 AB 是河底线,弦 CD 是水位线, CD AB,且 AB
3、=26 m,OE CD 于点 E.水位正常时测得 OECD= 5 24.(1)求 CD 的长;(2)现汛期来临,水面要以每小时 4 m 的速度上升,则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满?解:(1) 直径 AB=26 m,OD= AB=13 m,12OE CD,DE= CD,12OECD= 5 24,OEDE= 5 12, 设 OE=5x,DE=12x, 在 Rt ODE 中,(5 x)2+(12x)2=132,解得 x=1,CD= 2DE=2121=24 m.(2)延长 OE 交 O 于点 F,由(1)得 OE=15=5 m,EF=OF-OE= 13-5=8 m, =2(小时), 经过 2 小时桥洞
4、会刚刚被灌满 .843综合能力提升练7.在半径为 13 的 O 中,弦 AB CD,弦 AB 和 CD 的距离为 7,若 AB=24,则 CD 的长为 (D)A.10B.4 30C.10 或 4 30D.10 或 2 1658.过 O 内一点 M 的最长弦为 10 cm,最短弦长为 8 cm,则 OM 的长为 (C)A.9 cm B.6 cmC.3 cm D. cm419.(广州中考)如图,在 O 中, AB 是直径, CD 是弦, AB CD,垂足为 E,连接 CO,AD, BAD=20,则下列说法中正确的是 (D)A.AD=2OBB.CE=EOC. OCE=40D. BOC=2 BAD41
5、0.(衢州中考)如图, AC 是 O 的直径,弦 BD AO 于点 E,连接 BC,过点 O 作 OF BC 于点 F,若 BD=8 cm,AE=2 cm,则 OF 的长度是 (D)A.3 cm B. cm6C.2.5 cm D. cm511.如图,已知 AB 是 O 的直径,弦 CD 交 AB 于点 E, CEA=30,OE=4,DE=5 .求弦 CD 及3O 的半径长 .解:过点 O 作 OM CD 于点 M,连接 OD. CEA=30, OEM= CEA=30.在 Rt OEM 中, OE= 4,OM=OE sin 30=2,EM=OEcos 30=2 .3DE= 5 ,DM=DE-EM
6、= 3 .3 3OM 过圆心, OM CD,CD= 2DM,CD= 6 .3OM= 2,DM=3 ,3 在 Rt DOM 中, OD= ,OM2+DM2= 22+(3 3)2= 31 弦 CD 的长为 6 , O 的半径长为 .3 31512.如图,已知 AD 是 O 的直径, AB,BC 是 O 的弦, AD BC,垂足是 E,BC=8,DE=2,求 O 的半径长和 sin BAD 的值 .解:设 O 的半径为 r, 直径 AD BC,BE=CE= BC= 8=4, AEB=90,12 12在 Rt OEB 中,由勾股定理得 OB2=OE2+BE2,即 r2=42+(r-2)2,解得 r=5
7、,AE= 5+3=8, 在 Rt AEB 中,由勾股定理得 AB= =4 ,82+42 5 sin BAD= .BEAB= 445= 5513.如图, AB 是半圆 O 的直径, AC 是弦,点 P 从点 B 开始沿 BA 边向点 A 以 1 cm/s 的速度移动,若AB 长为 10 cm,点 O 到 AC 的距离为 4 cm.(1)求弦 AC 的长;(2)问经过几秒后, APC 是等腰三角形 .解:(1)过点 O 作 OD AC 于点 D,易知 AO=5 cm,OD=4 cm,从而 AD=3 cm,AC=6 cm.(2)经过 s 后, AC=PC, APC 是等腰三角形;145经过 4 s
8、后, AP=AC, APC 是等腰三角形;经过 5 s 后, AP=CP, APC 是等腰三角形 .拓展探究突破练14.(金华中考)如图 1 是小明制作的一副弓箭, A,D 分别是弓臂 BAC 与弓弦 BC 的中点,弓弦BC=60 cm.沿 AD 方向拉弓的过程中,假设弓臂 BAC 始终保持圆弧形,弓弦不伸长 .如图 2,当弓箭从自然状态的点 D 拉到点 D1时,有 AD1=30 cm, B1D1C1=120.6(1)图 2 中,求弓臂两端 B1,C1的距离 .(2)如图 3,将弓箭继续拉到点 D2,使弓臂 B2AC2为半圆,则 D1D2的长为多少 .解:(1)如图,连接 B1C1,B1C1与
9、 AD1相交于点 E,D 是弓弦 BC 的中点,AD 1=B1D1=C1D1=30 cm,由三点确定一个圆可知, D1是弓臂 B1AC1的圆心,A 是弓臂 B1AC1的中点, B1D1D= B1D1C1=60,B1E=C1E,AD1 B1C1,12在 Rt B1D1E 中, B1E=B1D1cos D1B1E=30 =15 cm,32 3则 B1C1=2B1E=30 cm.3(2)连接 B2C2,B2C2与 AD1相交于点 E1, 将弓箭继续拉到点 D2,使弓臂 B2AC2为半圆,E 1是弓臂 B2AC2的圆心, 弓臂 B2AC2长不变,7 ,解得 B2E1=20 cm,120 30180=180 B2E1180在 Rt B2D2E1中,由勾股定理可得 D2E1= =10 cm,B2D22-B2E21= 302-202 5则 AD2=AE1+D2E1=(20+10 ) cm,5即 D1D2=AD2-AD1=20+10 -30=(10 -10) cm.5 5
