1、13.5 确定圆的条件知识要点基础练知识点 1 确定圆的条件1.如图,在 55 正方形网格中,一条圆弧经过 A,B,C 三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是 (B)A.点 P B.点 QC.点 R D.点 M【变式拓展】(烟台中考)如图,方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度,点O,A,B,C 在格点(两条网格线的交点叫格点)上,以点 O 为原点建立直角坐标系,则过 A,B,C三点的圆的圆心坐标为 (-1,-2) . 2.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中四块碎片如图所示,为了配到与原来大小一样的圆形镜子,小明带到商店去的一块碎片应该是 (A)A. B.C. D.3.若 AB=4 cm,
2、则过点 A,B 且半径为 3 cm 的圆有 2 个 . 知识点 2 三角形的外接圆与外心4.(南京中考)过三点 A(2,2),B(6,2),C(4,5)的圆的圆心坐标为 (A)2A. B.(4,3)(4,176)C. D.(5,3)(5,176)5.如图,将 ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中,点 A,B,C 均落在格点上,用一个圆面去覆盖 ABC,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 . 56.如图, O 是 ABC 的外接圆,sin A= ,BC=6,求 O 的半径 .35解:作直径 CD,连接 BD.则 DBC=90, D= A, sin D=sin A= ,BCCD=3
3、5CD= 10, O 的半径是 5.7.如图,为丰富 A,B,C 三个小区的文化生活,现准备新建一个影剧院 M,使它到三个小区的距离相等,试确定 M 的位置 .(用尺规作图,不写作法,但要保留痕迹)解:如图 .综合能力提升练38.如图, ABC 内接于 O,OC OB,OD AB 于点 D,交 AC 于点 E,已知 O 的半径为 1,则AE2+CE2的值为 (B)A.1 B.2 C.3 D.49.(陕西中考)如图, ABC 是 O 的内接三角形, C=30, O 的半径为 5,若 P 是 O 上的一点,在 ABP 中, PB=AB,则 PA 的长为 (D)A.5 B. C.5 D.5532 2
4、 310.(扬州中考)如图,已知 O 是 ABC 的外接圆,连接 AO,若 B=40,则 OAC= 50 . 11.如图, O 的半径为 4, ABC 是 O 的内接三角形,连接 OB,OC,若 BAC 和 BOC 互补,则弦 BC 的长度为 4 . 312.如图,是一块残破的圆轮片, A,B,C 是圆弧上的三点 .(1)作出弧 ACB 所在的 O;(不写作法,保留作图痕迹)(2)如果 AC=BC=60 cm, ACB=120,求该残破圆轮片的半径 .4解:(1)作 AC,BC 的垂直平分线,交点 O 即为圆心;再以 O 为圆心, OA 为半径画圆即可 .图略 .(2)连接 AC,BC,OA,
5、OB,OC.AC=BC ,OA=OB,OC=OC, AOC BOC. ACB=120, ACO= BCO=60, AOC 与 BOC 为等边三角形,OA=AC= 60 cm,则该残破圆轮片的半径为 60 cm.13.如图,在 ABC 中, AB=AC=10,BC=12,求 ABC 外接圆 O 的半径 r.解:作 ABC 的外接圆 O,直径 AD 交 BC 于点 E,交圆于点 D,连接 BD,则 ABD=90,AB=AC , ABC= C, C= D, ABC= D. BAE= DAB, ABE ADB, AEB= ABD=90,BE=CE= 6.5AE= =8.AB2-BE2 ABE ADB,
6、 ,ABAD=AEABAD= ,AB2AE=1028=252 ABC 外接圆 O 的半径 r 为 .25414.(临沂中考)如图, BAC 的平分线交 ABC 的外接圆于点 D, ABC 的平分线交 AD 于点 E.(1)求证: DE=DB;(2)若 BAC=90,BD=4,求 ABC 外接圆的半径 .解:(1) AD 平分 BAC,BE 平分 ABC, ABE= CBE, BAE= CAD, , DBC= BAE,BD=CD DBE= CBE+ DBC, DEB= ABE+ BAE, DBE= DEB,DE=DB.(2)连接 CD.由(1)得 ,CD=BD= 4,BD=CD BAC=90,B
7、C 是直径, BDC=90,BC= =4 ,BD2+CD2 2 ABC 外接圆的半径为 4 =2 .12 2 2615.某公司临街面的外墙上有一块三角形的墙面发生破损现象(如图所示),公司领导让工人师傅做一个圆形广告牌,将破损面全部覆盖住,工人师傅量得 B=45, C=30,BC=4 m.为使所做广告牌最小,工人师傅给出两种方案:(1)作 ABC 的外接圆;(2)以 BC 为直径作圆 .问:哪个方案中的圆面积最小?是多少?解:如图,作 ABC 的外接圆 O 和以 BC 为直径的 P.方案(2)中圆的面积较小 .理由: ABC=45, ACB=30, BAC=180-(45+30)=105. B
8、AC90, ABC 的外接圆 O 的直径大于 BC 的长 . P 的直径为 BC, O 的直径大于 BC 的长,S PS O. P 的半径为 BP,S P=BP2,BC= 4 m,BP= 2 m,S P=4 m 2.则圆的最小面积是 4 m 2.16.如图,已知 P 是 O 外一点, Q 是 O 上的动点,线段 PQ 的中点为 M,连接 OP,OM.若 O 的半径为 2,OP=4,求线段 OM 的最小值 .7解:由题图可知 OM OP-PM,而且 OP=4 是定值,所以当 PM 最大时 OM 最小 .而 PM= PQ,所以当 PQ 最大,即 PQ=6 时, OM 最小,此时 PQ 过圆心 O,
9、12OM=OP-PM=4- 6=1,即线段 OM 的最小值等于 1.1217.(安徽中考)如图,在四边形 ABCD 中, AD=BC, B= D,AD 不平行于 BC,过点 C 作 CE AD 交 ABC 的外接圆 O 于点 E,连接 AE.(1)求证:四边形 AECD 为平行四边形;(2)连接 CO,求证: CO 平分 BCE.解:(1)由圆周角定理得 B= E,又 B= D, E= D.CE AD, D+ ECD=180, E+ ECD=180,AE CD, 四边形 AECD 为平行四边形 .(2)作 OM BC 于点 M,ON CE 于点 N. 四边形 AECD 为平行四边形, AD=C
10、E.又 AD=BC ,CE=CB ,OM 垂直平分 BC,ON 垂直平分 CE,CN=CM.又 OC=OC , ONC= OMC=90,8 ONC OMC, NCO= MCO,即 CO 平分 BCE.拓展探究突破练18.(温州中考)如图, D 是 ABC 的 BC 边上一点,连接 AD,作 ABD 的外接圆,将 ADC 沿直线 AD 折叠,点 C 的对应点 E 落在 O 上 .(1)求证: AE=AB;(2)若 CAB=90,cos ADB= ,BE=2,求 BC 的长 .13解:(1)由折叠的性质可知 ADE ADC, AED= ACD,AE=AC, ABD= AED, ABD= ACD,AB=AC ,AE=AB.(2)过点 A 作 AH BE 于点 H,AB=AE ,BE=2,BH=EH= 1, ABE= AEB, ABE= AEB= ADB,cos ADB= ,13 cos ABE=cos ADB= ,13 ,AC=AB= 3.BHAB=13 BAC=90,AC=AB,BC= 3 .29
