1、13.7 切线长定理知识要点基础练知识点 1 切线长的概念1.下列说法正确的有 (C) 切线就是切线长; 切线是可以度量的; 切线长是可以度量的; 切线与切线长是不同的量,切线是直线,而切线长是线段的长度 .A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个2.如图,直线 PA 过半圆的圆心 O,交半圆于 A,B 两点, PC 切半圆于点 C,已知 PC=3,PB=1,则该半圆的半径为 4 . 知识点 2 切线长定理3.一个钢管放在 V 形架内,如图是其截面图, O 为钢管的圆心 .如果钢管的半径为 25 cm, MPN=60,则 OP= (A)A.50 cm B.25 cm3C. cm D.50
2、 cm5033 34.如图,若 O 的直径 AB 与弦 AC 的夹角为 30,切线 CD 与 AB 的延长线交于点 D,且 O 的半径为 2,则 CD 的长为 (A)A.2 B.4 C.2 D.43 325.如图,直尺、三角板和 O 相切, AB=8 cm.求 O 的直径 .解:设 O 与三角板相切于点 E,连接 OE,OA,OB.AC ,AB 都是 O 的切线,切点分别是 E,B, OBA= OEA=90,OE=OB.又 OA=OA , Rt OAERt OAB(HL), OAE= OAB= BAC.12 CAD=60, BAC=120, OAB= 120=60,12OB=AB =8 (cm
3、),3 3 O 的直径是 16 cm.36.如图,在 ABC 中, ABC=90,O 是 AB 上的一点,以 O 为圆心, OB 为半径的圆与 AB 交于点E,与 AC 切于点 D,连接 DB,DE,OC.若 AD=2,AE=1,求 CD 的长 .解:连接 OD. ABC=90,OB 是半径, CB 切 O 于点 B.AC 切 O 于点 D,CB=CD.又 OB=OD , OBD= ODB.BE 为 O 的直径, BDE= ODA=90, ODB= ADE, ADE= ABD,3 ADE ABD,可得 AD2=AEAB.又 AD= 2,AE=1,AB= 4.设 CD=CB=x,在 Rt ABC
4、 中,有( x+2)2=x2+42,解得 x=3,CD= 3.综合能力提升练7.已知 O 的半径是 4,P 是 O 外的一点,且 PO=8,从点 P 引 O 的两条切线,切点分别是A,B,则 AB= (C)A.4 B.4 C.4 D.22 3 38.(重庆中考)如图,已知 AB 是 O 的直径,点 P 在 BA 的延长线上, PD 与 O 相切于点 D,过点B 作 PD 的垂线交 PD 的延长线于点 C.若 O 的半径为 4,BC=6,则 PA 的长为 (A)A.4 B.2 C.3 D.2.539.已知 PA,PB 是 O 的两条切线, A,B 为切点,直线 OP 交 O 于点 C,D,交 A
5、B 于点 E,AF 为O 的直径,下列结论: ABP= AOP; ;PC PD=PEPO.其中正确的结论有 (A)BC=DFA.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个10.如图, AB 与 O 相切于点 B,线段 OA 与弦 BC 垂直于点 D, AOB=60,BC=4 cm,则切线AB= 4 cm. 11.如图,从 O 外一点 P 引 O 的两条切线 PA,PB,切点分别是 A,B,若 PA=8 cm,C4是 上的一个动点(点 C 与 A,B 两点不重合),过点 C 作 O 的切线,分别交 PA,PB 于点 D,E,AB则 PED 的周长是 16 cm . 【变式拓展】如图,半圆 O 与
6、等腰直角三角形两腰 CA,CB 分别切于 D,E 两点,直径 FG 在 AB 上,若 BG= -1,则 ABC 的周长2为 (A)A.4+2 B.62C.2+2 D.4212.如图, EB,EC 是 O 的两条切线, B,C 是切点, A,D 是 O 上的两点 .若 E=46, DCF=32,则 A 的度数是 99 . 13.如图,已知在 Rt ABC 中, C=90,AD 是 BAC 的角平分线 .(1)以 AB 上的一点 O 为圆心, AD 为弦在图中作出 O;(不写作法,保留作图痕迹)(2)试判断直线 BC 与 O 的位置关系,并证明你的结论 .5解:(1) O 如图所示 .(2)相切
7、.理由:连接 OD.OA=OD , OAD= ODA.AD 是 BAC 的角平分线, OAD= DAC, ODA= DAC,OD AC.AC BC,OD BC,即 BC 是 O 的切线 .14.如图, AB 是半圆 O 的直径, C 是半圆 O 上一点, CD AB 于点 D,从 C,B 两点分别作半圆 O 的切线,它们相交于点 E,连接 AE 交 CD 于点 P.求证: PDCE=ADAB.证明: CD AB, PDA=90.EB 为半圆 O 的切线, AB 是半圆 O 的直径,EB AB,即 EBA=90,又 PAD= EAB, APD AEB,PDBE=ADAB ,EC ,EB 都是半圆
8、 O 的切线, CE=BE ,PDCE=ADAB.615.(凉山州中考)如图,已知 AB 为 O 的直径, AD,BD 是 O 的弦, BC 是 O 的切线,切点为B,OC AD,BA,CD 的延长线相交于点 E.(1)求证: DC 是 O 的切线;(2)若 AE=1,ED=3,求 O 的半径 .解:(1)连接 DO.AD OC, DAO= COB, ADO= COD.又 OA=OD , DAO= ADO, COD= COB.在 COD 和 COB 中, OD=OB , COD= COB,OC=OC, COD COB, CDO= CBO.BC 是 O 的切线, CBO=90, CDO=90,又
9、 点 D 在 O 上, DC 是 O 的切线 .(2)设 O 的半径为 R,则 OD=R,OE=R+1,CD 是 O 的切线, EDO=90,ED 2+OD2=OE2, 32+R2=(R+1)2,解得 R=4, O 的半径为 4.拓展探究突破练16.如图,在正方形 ABCD 中,以 BC 为直径在正方形 ABCD 内作半圆 O,AE 切半圆于点 F 交 CD于点 E.(1)求证: AO EO;7(2)连接 DF,求 tan FDE 的值 .解:(1) ABC= DCB=90,AB ,CD 均为半圆的切线,连接 OF,AE 切半圆于点 F, BAO= FAO, CEO= FEO. BAE+ CEA=180, OAF+ OEF=90, AOE=90,AO EO.(2)设 OB=OC=2,则 AB=4.易证 Rt AOBRt OEC,CE=EF= 1,DE=3,AE=AF+EF=AB+EF=5.过点 F 作 FG DE 于点 G,则 FG AD. ,即 ,EFEA=FGAD=EGED 15=FG4=EG3FG= ,EG= ,DG= ,45 35 125 tan FDE= .13
