1、1小专题(二) 利用相似三角形的性质解决几何问题相似三角形是一种最简单的相似图形,相似三角形有以下几个重要性质:(1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例;(2)相似三角形对应线段的比等于它们的相似比,即相似三角形对应边、对应中线、对应角平分线、对应高、对应周长的比都等于相似比;(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方 .类型 1 利用相似三角形求线段的长度1.如图,在 ABC中, AB=AC,BD=CD,CE AB于点 E.(1)求证: ABD CBE;(2)若 BD=3,BE=2,求 AC的值 .解:(1) AB=AC ,BD=CD,AD BC.CE AB, ADB= CEB=90. B是
2、公共角, ABD CBE.(2)AC=9.2.如图,在 ABC中, AC=4,D为 BC边上的一点, CD=2,且 ADC与 ABD的面积比为 1 3.(1)求证: ADC BAC;(2)当 AB=8时,求 AD的长度 .解:(1)易知 BD=3CD=6,BC=BD+CD= 8,在 ADC与 BAC中, ACD= BCA, ,ACBC=CDAC=122 ADC BAC.(2) ADC BAC, .ADCD=ABAC又 AB= 8,AC=4,CD=2,AD= =4.2843.如图,在正方形 ABCD中, M为 BC上一点, F是 AM的中点, EF AM,垂足为 F,交 AD的延长线于点 E,交
3、 DC于点 N.(1)求证: ABM EFA;(2)若 AB=12,BM=5,求 DE的长 .解:(1) 四边形 ABCD是正方形,AB=AD , B=90,AD BC, AMB= EAF.又 B= AFE, ABM EFA.(2)AM= =13,AD=12.122+52F 是 AM的中点, AF= AM=6.5.12 ABM EFA, ,BMAF=AMAE即 ,AE= 16.9,56.5=13AEDE=AE-AD= 4.9.类型 2 利用相似三角形证明线段成比例34.如图,菱形 ABCD的对角线 AC,BD交于点 O,BE DC,垂足为 E,交 AC于点 F.求证:(1) ABF BED;(
4、2) .ACBE=BDDE证明:(1) 四边形 ABCD是菱形,AC BD,AB CD, ABF CEF.BE DC, FEC= BED. DBE+ BDE= FCE+ BDE=90, DBE= FCE, BED CEF, ABF BED.(2)AB CD, , .AFAC=BFBE ACBE=AFBF ABF BED, , .BDDE=AFBF ACBE=BDDE5.如图, AB为 O的直径,点 C在 O上, AD CD于点 D,且 AC平分 DAB.求证:(1)直线 DC是 O的切线;(2)AC2=2ADAO.解:(1)连接 OC.OA=OC , OAC= OCA.AC 平分 DAB, O
5、AC= DAC, DAC= OCA,OC AD.又 AD CD,OC DC,4DC 是 O的切线 .(2)连接 BC.AB 为 O的直径,AB= 2AO, ACB=90.AD DC, ADC= ACB=90.又 DAC= CAB, DAC CAB, ,即 AC2=ABAD.AB= 2AO,ACAB=ADACAC 2=2ADAO.6.如图,在 ABC中,点 D,G分别在边 AB,BC上, ACD= B,AG与 CD相交于点 F.(1)求证: AC2=ADAB;(2)若 ,求证: CG2=DFBG.ADAC=DFCG证明:(1) ACD= B, CAD= BAC, ACD ABC, ,AC 2=A
6、DAB.ACAB=ADAC(2) ACD ABC, ADF= ACG. , ADF ACG, DAF= CAF,ADAC=DFCG过点 C作 CH AB,交 AG的延长线于点 H, DAF= H, CAF= H,AC=CH.由 CH AB得 CHG BAG, , , ,CHAB=CGBG ACAB=CGBG DFCG=CGBGCG 2=DFBG.5类型 3 利用相似三角形求图形的面积7.如图,已知 AC BD,AB和 CD相交于点 E,AC=6,BD=4,F是 BC上一点, S BEFS CEF=2 3.(1)求 EF的长;(2)如果 BEF的面积为 4,求 ABC的面积 .解:(1) AC
7、BD, ACE BDE, .CEDE=ACBDAC= 6,BD=4, .CEDE=64=32 BEF和 CEF同底,且 S BEFS CEF=2 3, , , .CFBF=32 CEDE=CFBF CECD=CFBC又 ECF= DCB, ECF DCB, CEF= D,EF BD, ,EFBD=CFBC ,EF= .EF4=35 125(2)AC BD,EF BD,EF AC, BEF BAC, .S BEFS ABC=(BFBC)2=(25)2S BEF=4,S ABC=25.类型 4 利用相似三角形解决实际问题8.某社区拟筹资金 2000元,计划在一块上、下底分别是 10米、20 米的梯
8、形空地上种植花木(如图所示),他们想在 AMD和 BMC地带种植单价为 10元 /米 2的太阳花,当 AMD地带6种满花后,已经花了 500元,请你预算一下,若继续在 BMC地带种植同样的太阳花,资金是否够用?并说明理由 .解:资金不够用 .理由: 梯形 ABCD中, AD BC, AMD CMB.AD= 10,BC=20, .S AMDS BMC=(1020)2=14S AMD=50010=50(m2),S BMC=200 m2,还需要资金 20010=2000(元) .又 剩余资金为 2000-500=15002000, 资金不够用 .9.如图,小亮在晚上由路灯 A走向路灯 B,当他走到点
9、 P时,发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯 A的底部;当他向前再步行 12米到达点 Q时,发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯 B的底部 .已知小亮的身高是 1.6米,两个路灯的高度都是 9.6米,求两个路灯之间的距离 .解:在 APM和 ABD中, DAB是公共角, APM= ABD=90, AMP ADB, ,解得 AB=18.APMP=ABDB,AB-1221.6=AB9.6即两个路灯之间的距离为 18米 .10.为了测量校园内水平地面上的一棵树的高度,小明在距树 5米处立了一根高为 3米的标杆,然后小明前后调整自己的位置,7当小明与标杆相距 1米时,小明眼睛 A、标杆顶端 F、树的顶端 E在同一直线上,已知小明的眼睛距地面 1.5米,求树的高度 .解:如图,过点 A作 AH ED,垂足为 H,交线段 FC于点 G.由题知 FG EH, AFG AEH,.又 AG=BC= 1,HG=CD=5,GC=HD=AB=1.5,FGEH=AGAH ,解得 HE=9,16=1.5HE则 ED=DH+HE=1.5+9=10.5.答:树 ED的高为 10.5米 .
