1、1专题 1 函数与导数一、函数1.函数的三要素是什么?定义域、值域和对应关系是函数的三要素,是一个整体,研究函数问题时必须“定义域优先” .2.求函数的定义域应注意什么?求函数的定义域时,若已知函数的解析式,则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围,只需构建并解不等式(组) .在实际问题中,除要考虑解析式有意义外,还要使实际问题有意义 .已知 f(x)的定义域是 a,b,求 f(g(x)的定义域,是指满足 a g(x) b 的 x的取值范围,而已知 f(g(x)的定义域是 a,b,指的是 x a,b.3.判断函数的单调性有哪些方法?单调性是函数在其定义域上的局部性质 .常见判定方法:
2、定义法,取值、作差、变形、定号,其中变形是关键,常用的方法有通分、配方、因式分解; 图象法; 复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则; 导数法 .4.函数的奇偶性有什么特征?奇偶性的特征及常用结论: 若 f(x)是奇函数,0 在其定义域内,则 f(0)=0.f (x)是偶函数 f(x)的图象关于 y 轴对称; f(x)是奇函数 f(x)的图象关于原点对称 . 奇函数在对称(关于原点对称)的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称(关于原点对称)的单调区间内有相反的单调性 . 若 f(x+a)为奇函数,则 f(x)的图象关于点( a,0)对称;若 f(x+a)为偶函数,则 f(x)的图象关于直线
3、x=a 对称 .5.指数函数、对数函数的图象与性质有哪些?指数函数与对数函数的图象和性质:指数函数 y=ax 对数函数 y=logax图象2当 01 时,函数在 R 上单调递增当 01 时,函数在(0, + )上单调递增00 时,0101 时, y0性质a1,当 x0 时, y1;当 x1,当 x1 时, y0;当 00(f(x)0,右侧 f(x)0,则 f(x0)为函数 f(x)的极小值 .将函数 y=f(x)在 a,b上的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值 .3.利用导数可以解决哪些不等式问题?(1)利用导数证明不等式:证明 f(x)
4、g(x)对一切 x I 恒成立 I 是 f(x)g(x)的解集的子集 f(x)-g(x)min0(x I); x I,使 f(x)g(x)成立 I 与 f(x)g(x)的解集的交集不是空集 f(x)-g(x)max0(x I); 对 x1,x2 I,f(x1) g(x2)f(x)max g(x)min; 对 x1 I,x2 I,f(x1) g(x2)f(x)min g(x)min.函数是一条主线,贯穿于整个高中数学,导数是重要的解题工具,是解决函数问题的利器,因此,函数与导数在高考数学中的地位不言而喻 .本专题内容也是高考中重要的考点之一,从近年高考的命题情况来看,本专题在高考分值中占 20%
5、左右,试题的易、中、难比例相当,选择题、填空题和解答题均有考查 .一、选择题和填空题的命题特点4(一)考查函数图象的判断及简单应用 .试题难度中档,综合考查函数的解析式、定义域、值域及单调性、奇偶性等性质的综合 .1.(2018全国 卷理 T3 改编)函数 f(x)= 的图象大致为( ).5x-5-xx2解析 f (x)的定义域为( - ,0)(0, + ),且 f(-x)= =-f(x),f (x)是奇函5-x-5xx2数,其图象关于原点对称,排除 A;又当 x0 时,5 x15-x,f (x)0,排除 D;f(2)1,排除 C.故选 B.答案 B2.(2017全国 卷文 T8 改编)函数
6、y= 的部分图象大致为( ).sin2x1+cosx解析 因为函数为奇函数,所以其图象关于原点对称,所以选项 C,D 错误;又当 x=0 时, y=0,所以选项 B 错误 .故选 A.答案 A(二)考查函数的基本性质及简单应用 .试题难度中档,综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性及图象的推理能力等 .3.(2018全国 卷理 T11 改编)已知 f(x)是定义域为 R 的奇函数,满足 f(1-x)=f(1+x).若 f(1)=2,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(2018)=( ).A.-2018 B.0 C.2 D.50解析 f (x)是奇函数,且 f(1-x)=f(1+x),f (1-
7、x)=f(1+x)=-f(x-1),f(0)=0,5f (x+2)=-f(x),f (x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数 f(x)是周期为 4 的周期函数 .f (1)=2,f (2)=f(0)=0,f(3)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,f (1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,f (1)+f(2)+f(3)+f(2018)=504f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)=2+0=2.故选 C.答案 C(三)考查基本初等函数的性质及应用 .试题难度较大,综合考查基本初等函数的性质与图象 .4.(2018
8、全国 卷文 T16 改编)已知函数 f(x)=log2( -x)+2,f(a)=3,则 f(-a)= .1+x2解析 因为 f(x)log=2( -x)+2,1+x2所以 f(x)+f(-x)=log2( -x)+2+log2 -(-x)+2=log2(1+x2-x2)1+x2 1+(-x)2+4=4.因为 f(a)=3,所以 f(-a)=4-f(a)=4-3=1.答案 15.(2018全国 卷文 T13 改编)已知函数 f(x)=log3(x2+a),若 f(2)=1,则 a= . 解析 f (2)=1,log 3(4+a)=1, 4+a=3,a=- 1.答案 -16.(2017全国 卷文
9、T8 改编)函数 y=ln(-x2+2x+3)的单调递减区间是( ).A.(-1,1 B.1,3)C.(- ,1 D.1,+ )解析 令 t=-x2+2x+3,由 t0,求得 -10 时,由于 y=4x-x2在( - ,2)上单调递增,在(2, + )上单调递减,且 y=a(10x-2+10-x+2)在( - ,2)上单调递减,在(2, + )上单调递增,所以函数 y=4x-x2的图象的最高点为A(2,4),y=a(10x-2+10-x+2)的图象的最低点为 B(2,2a),由题意可知点 A 与点 B 重合时满足条件,即 2a=4,解得 a=2,符合条件 .故选 C.答案 C(五)考查导数的几
10、何意义及简单的导数计算 .导数的几何意义一直是高考的热点和重点,试题综合考查导数的计算及直线方程的知识,难度较小 .8.(2018全国 卷理 T5 改编)设函数 f(x)=x3+(a+1)x2+ax.若 f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 . 解析 因为函数 f(x)是奇函数,所以 a+1=0,解得 a=-1,所以 f(x)=x3-x,f(x)=3x2-1,所以 f(0)=-1,所以曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y=-x.答案 y=-x二、解答题的命题特点在全国卷中,函数与导数的综合试题一般为第 21 题,是全卷的压轴题 .试题难度较大,综合性强
11、,主要考查函数单调性的判断,函数零点个数的判断,极(最)值的应用,恒成立问题,不等式的证明等 .1.(2018全国 卷文 T21 改编)已知函数 f(x)=aex+lnx+1.(1)设 x=2 是 f(x)的极值点,求 a,并求 f(x)的单调区间;7(2)证明:当 a - 时, f(x)0 .1e解析 (1)f(x)的定义域为(0, + ),f(x)=eax+ .1x由题设知, f(2)=0,所以 a=- .12e2从而 f(x)=- ex+lnx+1,12e2则 f(x)=- ex+ .12e2 1x当 00;当 x2 时, f(x)0;当 x1 时, g(x)0 时, g(x) g(1)
12、=0.因此,当 a - 时, f(x)0 .1e2.(2017全国 卷文 T21 改编)已知函数 f(x)=ex(ex-a)-a2x,其中参数 a0 .(1)讨论 f(x)的单调性;(2)若 f(x)0,求 a 的取值范围 .解析 (1)f(x)=e22x-eax-a2=(e2x+a)e(x-a). 若 a=0,则 f(x)=e2x,其在 R 上单调递增 . 若 a0.(-, ln(-a2) (ln(-a2),+ )故 f(x)在 上单调递减,在 上单调递增 .(-, ln(-a2) (ln(-a2),+ )(2) 当 a=0 时, f(x)=e2x0 恒成立 . 若 a0,f(x)0 的解集,求单调区间应遵循定义域优先的原则;(2)含参函数的单调性要分类讨论,通过确定导数的符号判断函数的单调性;(3)注意两种表述“函数 f(x)在( a,b)上为减函数”与“函数 f(x)的减区间为( a,b)”的区别 .6.利用导数研究函数极值、最值的方法:(1)若求极值,则先求方程 f(x)=0 的根,再检查 f(x)在方程根的左右函数值的符号;(2)若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f(x)=0 根的大小或存在情况来求解;(3)求函数 f(x)在闭区间 a,b上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值 f(a),f(b)与 f(x)的各极值进行比较得到函数的最值 .
