1、101 函数的基本性质与基本初等函数1.函数 f(x)= +lg(3x+1)的定义域是( ).3x21-xA. B.(-13,1) (-13,+ )C. D.(-13,13 (-, -13)解析 若函数 f(x)有意义,则 所以 - 0,1-x0, 13故函数 f(x)的定义域为 .故选 A.(-13,1)答案 A2.若函数 f(x)= 则 f(f(2)=( ).ex-1,x 1,5-x2,x1,A.1 B.4C.0 D.5-e2解析 由题意知, f(2)=5-4=1,f(1)e=0=1,所以 f(f(2)=1.故选 A.答案 A3.已知定义在 R上的函数 f(x)=2-|x|,记 a=f(l
2、og0.53),b=f(log25),c=f(0),则 a、 b、 c的大小关系是( ).A.alog230,f (log25)1, 解析 (1)由题意知 1-x20,2x2-3x-2 0,即 -10,4-x0, 函数的定义域为(3,4) .答案 (3,4)2.已知函数 f(x)= 则 f(f(2)= . 2x+1,x 1,log2(x-1),x1,解析 f (2)log=2(2-1)=0,f (f(2)=f(0)=20+1=2.答案 23.已知函数 f(x)= 若 f(f(0)=2,则实数 a的值为 . 3x+1,x1 为( ).A.(1,2) B.(2,3)C.(2,3 D.(2,+ )(
3、2)已知函数 f(x)= 若 f(3a-1)8 f(a),则 a的取值范围是 . x3,x 0,-x3,x1,a-20,(a-2)1-1 loga1,(2)由题意得函数 f(x)为偶函数,且当 x0且 a1),若 f(x)在 R上是增函数,则 a的取值范2x-a,x 1,logax,x1 围是 . 解析 若 f(x)在 R上是增函数,则有 a 2 .a1,2-a 0,答案 2,+ )2.已知奇函数 f(x)为 R上的减函数,若 f(3a2)+f(2a-1)0,则 a的取值范围是 .解析 若 f(3a2)+f(2a-1)0,则 f(3a2) -f(2a-1),已知函数 f(x)为奇函数,则不等式
4、等价于 f(3a2) f(-2a+1),又函数 f(x)在 R上单调递减,则 3a2 -2a+1,即 3a2+2a-10,所以 a的取值范围是 .-1,13答案 -1,13能力 3 会综合利用函数的基本性质5【例 3】 (1)已知定义在 R上的函数 f(x)满足:对任意实数 x都有 f(x+3)=f(x-3),f(-x)=f(x),且当 x -3,0时, f(x)=lo (6+x),则 f(2018)的值为( ).g12A.-3 B.-2 C.2 D.3(2)已知函数 f(x)是奇函数,当 x0时, f(x)=ax(a0且 a1),且 f(lo 4)=-3,则 a的g12值为 . 解析 (1)
5、对任意实数 x都有 f(x+3)=f(x-3),则函数 f(x)的周期是 6,又 f(-x)=f(x),所以函数 f(x)为偶函数,则 f(2018)=f(2),根据奇偶性得到 f(2)=f(-2)=-2.故选 B.(2) 奇函数 f(x)满足 f(lo 4)=-3,而 lo 4=-20时, f(x)=ax(a0且 a1), f (2)=a2=3,解得 a= .3答案 (1)B (2) 3函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在一起命题,其中奇偶性多与单调性结合,而周期性多与抽象函数结合,并结合奇偶性求函数值 .函数的奇偶性体现的是一种对称关系,而函数的单调性体现
6、的是函数值随自变量变化而变化的规律 .因此,在解题时,往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题 .1.已知偶函数 f(x)在0, + )上单调递增,若 f(2)=-2,则满足 f(x-1) -2的 x的取值范围是( ).A.(- ,-1)(3, + )B.(- ,-13, + )C.-1,3D.(- ,-22, + )解析 由题意知偶函数 f(x)在0, + )上单调递增,若 f(2)=-2,则 f(x-1) -2f(x-1) f(2)f(|x-1|) f(2),即 |x-1|2,解得 x -1或 x3 .故选 B.答案 B62.设函
7、数 f(x)是以 2为周期的奇函数,已知当 x(0,1)时, f(x)=2x,则 f(x)在(2017,2018)上是( ).A.增函数,且 f(x)0B.减函数,且 f(x)0解析 函数 f(x)的周期是 2, 函数 f(x)在(2017,2018)上的单调性和( -1,0)上的单调性相同 . 当 x(0,1)时, f(x)=2x为增函数,函数 f(x)为奇函数, 当 x( -1,0)时, f(x)为增函数 . 当 x(0,1)时, f(x)=2x0, 当 x( -1,0)时, f(x)log23log22=log33log32,因此 bac,故选 A.7(2)由指数函数的性质可得,1 bc
8、.又 f (x)=x3+3x在 R上单调递增,f (c)ca B.cbaC.bac D.abc解析 e -11,(12)lnxc=elnx=x(e -1,1),bca. 故选 A.答案 A2.设函数 f(x)定义在实数集上, f(2-x)=f(x),且当 x1 时, f(x)=lnx,则有( ).A.f 0,x+1 1, 解得 -1bc B.bacC.bca D.cba解析 因为 00.30.3=1,clog=30.2logac,故选 B.答案 B5.已知函数 f(x)= 那么函数 f(x)的值域为( ).x-2(x 1),lnx(x1),A.(- ,-1)0, + )B.(- ,-1(0,
9、+ )C.-1,0)D.R解析 y=x- 2(x1)的值域为( - ,-1,y=lnx(x1)的值域为(0, + ), 函数 f(x)的值域为( - ,-1(0, + ).故选 B.答案 B6.若函数 y= (a0且 a1)的定义域和值域都是0,1,则 loga +loga =( ).a-ax56 485A.1 B.2 C.3 D.4解析 当 x=1时, y=0,则函数在0,1上为减函数,故 a1. 当 x=0时, y=1,则 =1,a= 2.a-1故 loga +loga =loga =log28=3.56 485 (56485)答案 C7.已知定义在 R上的奇函数 f(x),当 x0 时,
10、恒有 f(x+2)=f(x),且当 x0,1时, f(x)=ex-1,则 f(-2017)+f(2018)=( ).A.0 B.e C.e-1 D.1-e解析 由题意可知,函数 f(x)是周期为 2的奇函数,则 f(2018)=f(2018-10092)=f(0)e=0-1=0,f(-2017)=-f(2017)=-f(2017-10082)=-f(1)=-e(1-1)=1-e,据此可得 f(-2017)+f(2018)=1-e.故选 D.答案 D108.函数 y=f(x)是定义在 R上的奇函数,当 x0 时, f(x)=(-x+a+1)log2(x+2)+x+m,其中 a,m是常数,且 a0
11、,若 f(a)=1,则 a-m=( ).A.-5 B.5 C.-1 D.1解析 函数 y=f(x)是定义在 R上的奇函数 .当 x0 时, f(x)=(-x+a+1log)2(x+2)+x+m,由f(0)=0a+1+m=0,f(a)=1log2(a+2)+a+m=1log2(a+2)=2a=2得 m=-3,故 a-m=5,故选 B.答案 B9.若函数 f(x)、 g(x)分别是定义在 R上的偶函数、奇函数,且满足 f(x)+2g(x)=ex,则( ).A.f(-2)0,f(-3)= (e-3+e3)0,f(-2)-f(-3)= (e-1)(e-14(1e-e) 12 12 123-e2)0,-
12、2x+1,x 0,解析 f(f(-4)=f(9)log=39=2.答案 211.已知 f(x)=ax-log2(4x+1)是偶函数,则 a= . 解析 f (x)=axlog-2(4x+1)是偶函数,f (1)=f(-1),即 a-log2(41+1)=-a-log2(4-1+1),解得 a=1.11答案 112.若函数 f(x)= 是奇函数,则实数 a的值为 . x2-5x,x 0,-x2+ax,x0解析 f (x)为奇函数, f (-1)=-f(1),即 -1-a=4,a=- 5.答案 -5三、解答题13.已知定义在 R上的偶函数 f(x)在0, + )上单调递减,且 f(1)=0,求不等式 f(log4x)+f(lo x)0 的解集 .g14解析 因为 log x=log-4x,而 f(x)为偶函数,所以 flog(4x)+flog x)=2flog(4x),14 (14故原不等式等价于 f(log4x)0,也就是 f(log4x) f(1),所以 f(|log4x|) f(1),所以 |log4x|1,所以 -1log 4x1,即 x4 .14故所求解集为 .x|14 x 4
