1、109 三视图、表面积与体积计算1.如图所示的几何体,其表面积为(5 + ),下部分圆柱的底面直径与该圆柱的高相等,上5部分圆锥的母线长为 ,则该几何体的正(主)视图的面积为( ).5A.4 B.6 C.8 D.10解析 设圆柱与圆锥底面半径都为 a,则圆柱高为 2a.因为圆锥的母线长为 ,所以5几何体的表面积为 a + a2+4 a2=( a+5a2) =(5+ ),解得 a=1,所以该几何体的5 5 5正(主)视图的面积为三角形面积与正方形面积之和,为 2 +22=6,故选 B.12 5-1答案 B2.一个简单几何体的三视图如图所示,其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是边长为
2、2 的等边三角形,则该几何体的体积等于 . 解析 由三视图还原可知,原图形是底面边长为 2 和 的矩形,一个侧面是正三角形3且垂直于底面的四棱锥,高为 ,所以该几何体的体积 V= 2 =2.313 3 3答案 23.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ).2A.8+2 B.16+4C.16+2 D.8+4解析 由三视图可知,该几何体由一个正方体截去两个半圆柱而形成,则该几何体的表面积为 224- 122+ 122=16+2,故选 C.答案 C4.在如图所示的斜截圆柱中,已知圆柱底面的直径为 40 cm,母线最长为 80 cm,最短为50 cm,则斜截圆柱的侧面积 S= cm2.
3、解析 如图,假设还有一个同样的斜截圆柱,拼在其上面,则构成一个圆柱,于是 S= S12圆柱侧 = 40 (80+50)=2600 cm 2.12答案 2600能力 1 能正确绘制几何体的三视图【例 1】 已知三棱柱 HIG-EFD 的底面为等边三角形,且侧棱垂直于底面,将该三棱柱截去三个角(如图(1)所示, A,B,C 分别是 HIG 三边的中点)后得到的几何体如图(2),则该几何体沿图(2)所示方向的侧(左)视图为( ).3(1)(2)解析 因为平面 DEHG平面 EFD,所以几何体的侧(左)视图为直角梯形,直角腰在侧(左)视图的左侧,故选 A.答案 A本题主要考查空间想象力和投影知识,借助
4、直三棱柱,即可画出侧(左)视图 .将长方体 ABCD-A1B1C1D1截去一个直三棱柱,两个三棱锥(如图(1)所示)后得到的几何体如图(2),该几何体沿图(2)所示方向的侧(左)视图为( ).(1)(2)4解析 侧(左)视图轮廓为长方形,故选 B.答案 B能力 2 会通过三视图还原几何体【例 2】 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积 V=( ).A. B. C.3 D.83 103 203解析 由三视图还原几何体,可知该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥后所得的部分,其中直三棱柱的底面是直角边为 2 的等腰直角三角形,高为 2,三棱锥的底面与棱柱的底面相同,高为 1,故该几何体的体积 V=
5、V 柱 -V 锥 = ,故选 B.103答案 B本题主要考查空间想象能力和体积公式 .先还原出空间几何体,再利用 V=V 柱 -V 锥 求体积 .如图,网格纸上正方形小格的边长为 1,实线画出的是某几何体的三视图,则围成该几何体的所有面中的最大面的面积为( ).5A. B.9 C. D.25272 5 9292解析 由三视图可知,该几何体为三棱锥,如图所示 .由题意知, AB=6,BC=3 ,BD=CD=3 ,AD=9,AC=3 .因为 ABC 和 ABD 为同高的直角2 5 6三角形,且 BCBD,所以 S ABCS ABD=9 ,S BCD=66-36-33 =13 .因为 cos ADC
6、=512 12= = ,所以 sin ADC= ,所以 S ACD= 93 = ,故选 C.DC2+AD2-AC22DCAD 45+81-542359 435 2935 12 5 29359292答案 C能力 3 会计算几何体的表面积【例 3】 如图所示的是某几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为( ).A.24 B.36C.40 D.400解析 该几何体是底面为等腰三角形的直三棱柱,由图可知,底面是顶角为 120的等腰 ABC,侧棱 AA1垂直底面, AC=2 ,AA1=2 ,AB= =2.设 ABC 外接圆的半径为 r,则3 63sin606S ABC= AB2sin 120= ,得
7、 r=2.由直三棱柱的性质可知 ,球心到底面外接圆圆心的距离12 AB2AC4rd= = .由球体的性质得 R2=d2+r2=10,即外接球的表面积为 40,故选 C.AA12 6答案 C涉及球与棱柱、棱锥的切和接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解 .某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ).A.14 +24 B.12 +32C.12 +24 D.14 +32解析 由三视图
8、可知该空间几何体为 个圆柱和 个球和 1 个长方体的组合体, S 表 = S 球12 12 12+ S 圆柱侧面 + S 圆柱底面 +S 长方体 -S 长方体的一个底面 - S 圆柱底面12 12 12= 4 22+ 2 22+ 22+42+2(22+24)- 22=12 +32,故选 B.12 12 12 12答案 B能力 4 会计算几何体的体积【例 4】 如图所示的是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( ).7A.2 B.4 C. D.3 3233 433解析 由三视图可知几何体为直三棱柱,直观图如图所示 .其中底面为直角三角形, AD=2,AF= ,高 AB=2.3 该几何体的体积
9、V= 2 2=2 ,12 3 3故选 A.答案 A先还原出几何体,并抓住几何体特征,再利用体积公式求解 .已知一个四棱锥的三视图如图所示,则此四棱锥的体积为 . 解析 该几何体是如图所示的四棱锥 P-ABCD,其中 PA底面 ABCD,底面四边形由直角梯形 ABED 与直角 DCE 组成, AB DE,AB BC,AB=1,DE=2,BE=EC=1,PA=2.8S 底面 ABCD= 1+ 21= ,V= 2= .1+22 12 52 13 52 53答案 53一、选择题1.如图所示的是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积为( ).A. B.2 C.6 D.43 83解析 如图,该几何体还原
10、后是一个底面为直角三角形的三棱锥 S-ABD,VS-ABD= 22 2= ,故选 A.12 13 43答案 A2.如图所示的是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积为( ).A. B.4 C. D.423 83 1639解析 如图,该几何体还原后是一个底面为矩形的四棱锥 A1-ABC1D1.连接 A1D 交 AD1于点 O,因为 A1D AD1,A1D AB,所以 A1D平面 ABC1D1,所以四棱锥的高 H 为 A1O,AB=2,BC1=2 ,A1O= ,2 2所以 =22 = , 故选 C.VA1-ABC1D1 213 283答案 C3.如图所示的是一个空间几何体的三视图,则该几何体的最
11、长棱长为( ).A. B.3 C.2 D.25 2 3解析 如图,该几何体还原后是一个底面为直角三角形的三棱锥 C1-MNC.由图可知棱 C1M 最长,且 C1M= = =3,故选 B.MC2+CC21 MB2+BC2+CC21答案 B4.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则这个几何体的外接球体积为( ).A.4 B.4 310C. D. 43 83解析 由题得几何体还原后为四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,且PA底面 ABCD,PA=2.把几何体放在边长为 2 的正方体中, P,A,B,C,D 恰好是正方体的五个顶点,所以这个正方体
12、的外接球和四棱锥的外接球是同一个球,所以四棱锥的外接球半径为正方体的体对角线的一半,即 ,3所以几何体外接球的体积 V= ( )3=4 ,故答案为 B.43 3 3答案 B5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积 V=( ).A. B. C.3 D.83 103 203解析 如图,由三视图还原几何体,可知该几何体为直三棱柱截去两个三棱锥后所得的部分,其中直三棱柱的底面是直角边为 2 的等腰直角三角形,高为 2,三棱锥的底面与棱柱的底面相同,高为 1,故该几何体的体积 V=V 柱 -2V 锥 = ,故选 A.83答案 A6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ).11A.24
13、+( -2) B.245C.24+(2 -2) D.16-22解析 该几何体由一个正方体挖去两个相同的圆锥而形成,由三视图可知正方体的棱长为 2,圆锥的底面圆的半径为 1,母线为 ,所以该几何体的表面积为正方体的表面积减去2两个圆锥的底面的面积再加上两个圆锥的侧面积,因此 S=226-2 + 1 2=24+(2 -2),故选 C.2 2答案 C7.将一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图如图所示,则该几何体的俯视图为( ).解析 由正(主)视图可以看出去掉的小长方体在正视图的左上角,从侧(左)视图可以看出去掉的小长方体在侧(左)视图的右上角,故选 C.答案 C8.已
14、知在四面体 ABCD 中, AB=CD= ,AC=BD= ,AD=BC= ,则四面体 ABCD 的外接球的34 37 29表面积为( ).A.25 B.50C.100 D.20012解析 此四面体可看成一个长方体的一部分,长方体的长、宽、高分别为 、4、21,四面体 ABCD 如图所示,所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线长,即 2R=13= ,所以外接球的表面积为 50,故选 B.( 21)2+( 13)2+42 50答案 B二、填空题9.如图,一个正四棱台的上底面的边长为 3 ,下底面的边长为 5 ,高为 8,则其外接球的2 2表面积为 . 解析 如图所示,作出正四棱台的最大轴截面
15、,由正四棱台的特征知 O1C 为四棱台上底面的外接圆半径, O2B 为四棱台下底面的外接圆半径, OC=OB=R,R 为球的半径 .因为上、下底面都为正方形,所以 O1C=3,O2B=5,O1O2=h=8.又 O1O2+O1C2=R2, O2O2+O2B2=R2, O1O+O2O=O1O2=8, 联立三式解得 O1O=5,O2O=3,R2=34,所以 S 球 =4 34=136 .答案 13610.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 . 13解析 由三视图知几何体的左边是半圆锥,右边是四棱锥,如图所示 .其中圆锥的底面半径为 1,高为 ,四棱锥的底面是边长为 2 的正方形,高为
16、.3 3所以几何体的体积为 12 + 22 = + .12 13 313 3 36 433答案 +36 43311.如图所示的是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积为 . 解析 该几何体为一个半球和一个正四棱锥,球的半径为 3 ,四棱锥的底面边长为26,高为 4,四棱锥的侧面为等腰三角形,侧面的斜高为 5,S 表 =S 半球 +S 四棱锥侧面 +S 圆 -S 正=2 (3 )2+4 + (3 )2-36=54 +24.2652 2答案 54 +2412.如图,已知球 O 的面上四点 A、 B、 C、 D,DA平面 ABC,AB BC,DA=AB=BC= ,则球 O 的体积3等于 . 解析
17、 由题意知, DAC, DBC 都是直角三角形,且有公共的斜边,所以 DC 边的中点到点 B 和 A 的距离都等于 DC 的一半,所以 DC 边的中点是球心并且半径为线段 DC 长的一半 .因为 DC= =3,所以球的体积 V= = .DA2+AB2+BC243 (32)39214答案 92三、解答题13.如图所示的是一个几何体的三视图 .(1)求该几何体的表面积和体积 .(2)求该几何体的外接球与内切球的半径之比 .解析 (1)如图所示,由三视图知该几何体为正四面体 B1-ACD1,AD1=AC=CD1=B1A=B1C=B1D1=4 ,S 表 =4 =4 (4 )2=32 .2 S ACD1
18、34 2 3设等边 ACD1的中心为 O,连接 B1O,OC,由正四面体的特征知, B1O 是正四面体的高, OC是等边三角形 ACD1的外接圆的半径,所以 B1OC 为直角三角形, OC= .463因为 OC2+B1O2=B1C2,所以 B1O= , = 8 = .833 VB1-ACD113 833 3643(2)正四面体的外接球即正方体的外接球,外接球的直径为正方体的体对角线,所以R1=2 .3设正四面体 B1-ACD1的内切球的球心为 O1,半径为 R2,连接 O1B1,O1A,O1C,O1D1,则=4 =4 8 R2= ,解得 R2= ,所以 =3.VB1-ACD1 VO1-ACD113 3 643 233 R1R2
