1、112 排列、组合与二项式定理1.从 4 本不同的课外读物中,买 3 本送给 3 名同学,每人 1 本,则不同的送法种数是( ).A.12 B.24 C.64 D.81解析 4 本不同的课外读物选 3 本送给 3 名同学,每人 1 本,则不同的送法种数是A =24. 34答案 B2.从 4 名男同学和 3 名女同学中选出 3 名参加某项活动,则男女生都有的选法种数是( ).A.18 B.24 C.30 D.36解析 (法一)选出的 3 人中有 2 名男同学、1 名女同学的选法有 CC =18 种,选出 2413的 3 人中有 1 名男同学、2 名女同学的选法有 CC =12 种,故 3 名学生
2、中男女生都有的选 1423法有 CC CC =30 种 . 2413 +1423(法二)所求选法种数等于从 7 名同学中任选 3 名的选法种数,再除去所选 3 名同学全是男生或全是女生的选法种数,即 - - =30.C37C34C33答案 C3.用数字 1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为( ).A.8 B.24 C.48 D.120解析 末位数字排法有 A 种,其他位置排法有 A 种,共有 AA =48 种 . 12 34 1234答案 C4.已知 的展开式的第 4 项等于 5,则 x 等于( ).(x-1x)7A. B.- C.7 D.-717 17解析 由 T4C x4
3、 =5,得 x=- .=37(-1x)3 17答案 B2能力 1 排列问题【例 1】 有 3 名男生、4 名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法种数 .(1)选 5 人排成一排;(2)排成前后两排,前排 3 人,后排 4 人;(3)(一题多解)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾;(4)全体排成一排,女生必须站在一起;(5)全体排成一排,男生互不相邻 .解析 (1)从 7 人中选 5 人排列,有 A =76543=2520 种排列方法 . 57(2)分两步完成,先选 3 人站前排,有 种排列方法,再将余下 4 人站后排,有 种排列方A37 A44法,共有 =5040 种排列方法 .A37 A
4、44(3)(法一:特殊元素优先法)先排甲,有 5 种排列方法,再排其余 6 人,有 种排列方法,A66共有 5 =3600 种排列方法 .A66(法二:特殊位置优先法)首尾位置可安排另外 6 人中的 2 人,有 种排法,其他位置安排A26余下 5 人,有 种排列方法,共有 =3600 种排列方法 .A55 A26 A55(4)(捆绑法)先将女生看作一个整体与 3 名男生一起全排列,有 种排列方法,再将女生A44全排列,有 种排列方法,共有 =576 种排列方法 .A44 A44 A44(5)(插空法)先排女生,有 种排列方法,再在女生之间及首尾 5 个空位中任选 3 个空位A44安排男生,有
5、种排列方法,共有 =1440 种排列方法 .A35 A44 A35排列应用问题的分类与解法3(1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法 .(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法 .(1)7 人站成两排队列,前排 3 人,后排 4 人,现将甲、乙、丙 3 人加入队列,前排加 1 人,后排加 2 人,其他人保持相对位置不变,则不同的加入方法种数为( ).A.120 B.240 C.360 D
6、.480(2)某班准备从甲、乙等 7 人中选派 4 人发言,要求甲、乙 2 人至少有 1 人参加,那么不同的发言顺序有( ).A.30 种 B.600 种C.720 种 D.840 种解析 (1)第一步,从甲、乙、丙 3 人中选 1 人加入前排,有 3 种方法,第二步,前排 3人形成了 4 个空位,任选 1 个空位加入 1 人,有 4 种方法,第三步,后排 4 人形成了 5 个空位,任选 1 个空位加入 1 人,有 5 种方法,此时形成 6 个空位,任选 1 个空位加入 1 人,有 6 种方法,根据分步乘法计数原理,有 3456=360 种方法 .(2)若甲、乙 2 人只有 1 人参加,则有
7、=480 种方法;若甲、乙 2 人都参加,则有C12C35A44=240 种方法 .故共有 480+240=720 种方法 .C22C25A44答案 (1)C (2)C能力 2 组合问题【例 2】 某市工商局对 35 种商品进行抽样检查,已知其中有 15 种假货 .现从 35 种商品中选取 3 种 .(1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种?(2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种?(3)恰有 2 种假货在内,不同的取法有多少种?(4)至少有 2 种假货在内,不同的取法有多少种?4解析 (1)从余下的 34 种商品中选取 2 种,有 C =561 种取法 . 234 某一种假货
8、必须在内的不同取法有 561 种 .(2)从 34 种可选商品中选取 3 种,有 =5984 种取法 .C334 某一种假货不能在内的不同取法有 5984 种 .(3)从 20 种真货中选取 1 种,从 15 种假货中选取 2 种,有 =2100 种取法 .C120C215 恰有 2 种假货在内的不同取法有 2100 种 .(4)选取 2 种假货,有 种取法,选取 3 种假货,有 种取法,共有C120C215 C315+ =2100+455=2555 种取法 .C120C215C315 至少有 2 种假货在内的不同取法有 2555 种 .组合问题常有以下两类题型变化(1)“含有”或“不含有”某
9、些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取 .(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解 .用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理 .(1)在爸爸去哪儿第二季第四期中,村长给 6 位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务 .已知: 食物投掷地点有远、近两处; 由于 Grace 年纪尚小,所以要么不参与该项任务,但此时另需一位小孩在大本营陪同,要么参与搜寻近处投掷点的食物; 所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组
10、,一组去远处,一组去近处 .那么不同的搜寻方案有( ).A.80 种 B.70 种C.40 种 D.10 种(2)若从 1,2,3,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( ).A.60 种 B.63 种C.65 种 D.66 种5解析 (1)若 Grace 不参与该项任务,则有 CC =30 种搜寻方案;若 Grace 参与该项 1524任务,则有 C =10 种搜寻方案 .故共有 30+10=40 种搜寻方案 ,故选 C. 25(2)这 9 个整数中共有 4 个不同的偶数和 5 个不同的奇数,要使取出的 4 个数的和为偶数,则这 4 个数全为奇数,或全为偶
11、数,或为 2 个奇数和 2 个偶数,故不同的取法共有 + +C45C44=66(种) .C25C24答案 (1)C (2)D能力 3 排列与组合的综合应用【例 3】 (1)从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为( ).A.24 B.18 C.12 D.6(2)某学校派出 5 名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流,每所中学至少派 1名教师,则不同的分配方法有( ).A.80 种 B.90 种C.120 种 D.150 种解析 (1)从 0,2 中选一个数字 0,则 0 只能排在十位,从 1,3,5 中选两个数字排在个位与百位,共有
12、A =6 个奇数;从 0,2 中选一个数字 2,则 2 排在十位(或百位),从 1,3,5 中 23选两个数字排在百位(或十位)与个位,共有 AA =12 个奇数 .故共有 A AA =18 个奇 1223 23 +1223数 .(2)有两类情况: 其中一所学校 3 名教师,另外两所学校各 1 名教师的分法有 =60C35A33种; 其中一所学校 1 名教师,另外两所学校各 2 名教师的分法有 =90 种 .共有 150C15C24A22 A33种分法,故选 D.答案 (1)B (2)D6(1)解排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置) .对于
13、排列组合的综合题目,一般是将符合要求的元素取出或进行分组,再对取出的元素或分好的组进行排列 .(2)不同元素的分配问题,往往是先分组再分配 .在分组时,通常有三种类型: 不均匀分组; 均匀分组; 部分均匀分组,注意各种分组类型中,不同分组方法的差异 .其次对于相同元素的“分配”问题,常用的方法是采用“隔板法” .(1)若无重复数字的三位数满足条件: 个位数字与十位数字之和为奇数; 所有数位上的数字和为偶数 .则这样的三位数的个数是( ).A.540 B.480 C.360 D.200(2)国家教育部为了发展贫困地区教育,在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生,毕业后要分到相应的地区任教,现有
14、 6 个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到 3 所学校去任教,有 种不同的分派方法 . 解析 (1)由个位数字与十位数字之和为奇数知,个位数字、十位数字 1 奇 1 偶,有CCA =50 种排法 .所有数位上的数字和为偶数,则百位数字是奇数,有 C =4(种)满足题 151522 14意的选法 .故满足题意的三位数共有 504=200(个) .(2)先把 6 个毕业生平均分成 3 组,有 种分法,再将 3 组毕业生分到 3 所学校,有C26C24C22A33=6 种分法,故 6 个毕业生平均分到 3 所学校,共有 =90 种分派方法 .A33C26C24C22A33 A33答案 (1)D
15、(2)90能力 4 展开式中的特定项或项的系数【例 4】 (1) 的展开式中,常数项是( ).(x2-12x)6A.- B. C.- D.54 54 1516 1516(2)若 的展开式中前三项的系数分别为 A,B,C,且满足 4A=9(C-B),则展开式中(x+13x)nx2的系数为 . 7解析 (1)Tr+1C (x2)6-r =C x12-3r,令 12-3r=0,解得 r=4, 常数项为=r6 (-12x)r (-12)rr6C = .(-12)4461516(2)由题意得 A=1,B= ,C= = ,n3 C2n9n(n-1)18 4=9 ,即 n2-7n-8=0,解得 n=8 或
16、n=-1(舍去) .(n2-n18-n3)在 的展开式中, 其通项 Tr+1= x8-r = x8-2r,令 8-2r=2,得 r=3, 展(x+13x)8 Cr8 (13x)rCr83r开式中 x2的系数为 .5627答案 (1)D (2)5627(1)二项式定理的核心是通项公式,求解此类问题可以分两步完成:第一步,根据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件,即 n,r 均为非负整数,且 n r,如常数项指数为零、有理项指数为整数等);第二步,根据所求的指数,再求所求的项 .(2)求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法
17、计数原理讨论求解 .(1)已知 的展开式中 的系数为 30,则实数 a= . ( x-ax)5 x32(2)已知 的展开式中 x7的系数为 -10,则 x 的系数为 .(用数字作答) (x2+mx)5解析 (1) 的展开式的通项为 Tr+1C ( )5-r =(-aC ( x-ax)5 =r5 x (- ax)r )rr5.x5-2r2依题意,令 5-2r=3,得 r=1, (-a)1 =30,解得 a=-6.C15(2)二项式 的展开式的通项为 Tr+1= x2(5-r) =mr x10-3r.(x2+mx)5 Cr5 (mx)r Cr5令 10-3r=7,得 r=1,m =-10,C15解
18、得 m=-2.令 10-3r=1,得 r=3, 展开式中 x 的系数为( -2)3 =-80.C35答案 (1)-6 (2)-808一、选择题1.从 6 本不同的书中选出 4 本,分别发给 4 名同学,已知其中 2 本书不能发给甲同学,则不同的分配方法有( ).A.180 种 B.220 种C.240 种 D.260 种解析 因为其中 2 本书不能发给甲同学,所以甲只能从剩下的 4 本书中分得 1 本,然后从余下的 5 本书中选 3 本分给 3 名同学,故有 A A =240 种分配方法 . 1435答案 C2.(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)=(
19、 ).A.x5B.x5-1C.x5+1 D.(x-1)5-1解析 逆用二项式定理,得原式 =(x-1)+15-1=x5-1.答案 B3.从 1,3,5,7,9 这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为 a,b,共可得到 lga-lgb 的不同值的个数是( ).A.9 B.10 C.18 D.20解析 lga-lgb=lg (a0,b0),ab lg 有多少个不同的值,只需看 不同值的个数 .ab ab从 1,3,5,7,9 中任取两个不同的数,得到 的值有 个,又 与 相同, 与 相同, lga-lgbab A25 13 39 31 93的不同值的个数是 -2=18.A25答案 C4.10 名
20、同学合影,站成了前排 3 人,后排 7 人,现摄影师要从后排 7 人中抽 2 人站前排,其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数为( ).A. B.C27A55 C27A229C. D.C27A25 C27A35解析 首先从后排的 7 人中抽 2 人,有 C 种方法;再把 2 个人在 5 个位置中选 2 个 27位置进行排列有 A 种 .由分步乘法计数原理知不同调整方法的种数为 CA . 25 2725答案 C5.设 的展开式的各项系数之和为 M,各二项式系数之和为 N,若 M-N=240,则展开(5x-1x)n式中 x 的系数为( ).A.500 B.150 C.20 D.5解析 由已知条
21、件得 4n-2n=240,解得 n=4,Tr+1= (5x)4-r =(-1)r54-r ,Cr4 (-1x)r Cr4x4-3r2令 4- =1,得 r=2,故 T3=150x.故选 B.3r2答案 B6.有六人排成一排,其中甲只能在排头或排尾,乙、丙两人必须相邻,则满足要求的排法有( ).A.34 种 B.48 种C.96 种 D.144 种解析 特殊元素优先安排,先让甲从排头、排尾中选取一个位置,有 C 种选法,再将 12乙、丙相邻,捆绑在一起看作一个元素,与其余三个元素全排列,最后乙、丙可以换位,故共有 C A A =96 种排法 . 124422答案 C7.甲、乙两人要在一排 8 个
22、空座上就坐,若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座,则坐法种数为( ).A.10 B.16 C.20 D.24解析 一排共有 8 个座位,现有两人就坐,故有 6 个空座 . 要求每人左右均有空座, 在 6 个空座的中间 5 个空中插入 2 个座位让两人就坐,即有 A =20 种坐法 . 25答案 C8.已知(1 +x)n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( ).10A.29B.210 C.211 D.212解析 由题意知 C C ,解得 n=10,则奇数项的二项式系数和为 2n-1=29. 3n =7n答案 A9.在 2018 年的自主招生中,某校高三奥赛班
23、有 5 名同学获得甲、乙两所高校的推荐资格,且每人限推荐一所高校 .若这两所高校中每个学校都至少有 1 名同学获得推荐,则这 5 名同学不同的推荐方案共有( ).A.20 种 B.30 种 C.36 种 D.40 种解析 将推荐方案分成两类:一类是一所高校推荐 3 人,另一所高校推荐 2 人;另一类是一所高校推荐 4 人,另一所高校推荐 1 人 .所以共有 CA CA =30 种不同的推荐方案, 3522 +4522故选 B.答案 B10.在 的展开式中,只有第 5 项的二项式系数最大,则展开式的常数项为( ).(x2- 13x)nA.-7 B.7 C.-28 D.28解析 依题意有 +1=5
24、,n= 8.二项式 8的展开式的通项公式 Tk+1=(-1)kCn2 (x2- 13x),令 8- k=0,得 k=6,故常数项为 T7=(-1)6C =7.(12)8-kk8x8-43k 43 (12)268答案 B二、填空题11.某班主任准备请 2016 届毕业生做报告,要从甲、乙等 8 人中选 4 人发言,要求甲、乙 2人至少有 1 人参加,若甲、乙同时参加,则他们发言中间需恰隔 1 人,那么不同的发言顺序共有 种 .(用数字作答) 解析 若甲、乙同时参加,有 ACCA =120 种发言顺序;若甲、乙 2 人中只有 1 人 22161522参加,有 CCA =960 种发言顺序 .从而不
25、同的发言顺序共有 1080 种 . 123644答案 108012.现有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球,同色球不加区分,将这 9 个球排成一列,有 种不同的排列方法 .(用数字作答) 11解析 第一步,从 9 个位置中选出 2 个位置,分给相同的红球,有 C 种选法;第二步, 29从剩余的 7 个位置中选出 3 个位置,分给相同的黄球,有 C 种选法;第三步,剩下的 4 个位 37置全部分给 4 个白球,有 1 种选法 .根据分步乘法计数原理,排列方法共有 CC =1260(种) . 2937答案 126013.从 6 名同学中选派 4 人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛,若其
26、中甲、乙2 名同学不能参加生物竞赛,则选派方案共有 种 .(用数字作答) 解析 特殊位置优先考虑,既然甲、乙都不能参加生物竞赛,则先从另外 4 人中选择1 人参加,有 C 种选派方案;然后从剩下的 5 人中选择 3 人分别参加剩下的三科知识竞赛, 14有 A 种选派方案 .故共有 CA =460=240 种选派方案 . 35 1435答案 24014. 的展开式中常数项是 .(用数字作答) (2x+1x-1)5解析 = = 的展开式中,通项公式(2x+1x-1)5(2x+1x)-15(-1)+(2x+1x)5为 Tr+1= (-1)5-r ,Cr5 (2x+1x)r其中 的通项公式为(2x+1x)rTk+1= (2x)r-k =2r-k xr-2k,Ckr (1x)k Ckr令 r-2k=0,则 k=0,r=0 或 k=1,r=2 或 k=2,r=4.因此常数项为 (-1)5+ (-1)32 + (-1)22 =-161.C05 C25 C12C45 C24答案 -161
